高考數(shù)學 第十章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例、概率 第2節(jié) 用樣本估計總體 文 新人教A版

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1、第第2節(jié)用樣本估計總體節(jié)用樣本估計總體最新考綱1.了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點；2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)標準差；3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并作出合理的解釋；4.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想；5.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.1.頻率分布直方圖(1)頻率分布表的畫法：第一步：求 ，決定組數(shù)和組距，組距 ；第二步： ，通常對組內數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間

2、；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.知知 識識 梳梳 理理極差分組(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示 ，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的.2.莖葉圖統(tǒng)計中一種被用來表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù).頻率3.樣本的數(shù)字特征出現(xiàn)次數(shù)最多最中間 常用結論與微點提醒1.頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為 ，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是m a.(2)數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2.數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差

3、也為s2；數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2.1.思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中.()(3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.()(4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的順序寫，右側的葉按從小到大的順序寫，相同的數(shù)據(jù)可以只記一次.()診診 斷斷 自自 測測解析(1)正確.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)都在一定程度上反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)錯誤.方差越大，這組數(shù)據(jù)越離散.(4)錯誤.莖相同的數(shù)據(jù)，葉可不用按從小到大的順序寫，相同的數(shù)據(jù)葉要重復記錄，故

4、(4)錯誤.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修3P70改編)若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92解析這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，答案A3.(2017全國卷)為評估一種農作物的種植效果，選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產量(單位：kg)分別為x1，x2，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的是()A.x1，x2，xn的平均數(shù)B.x1，x2，xn的標準差C.x1，x2，xn的最大值D.x1，x2，xn的

5、中位數(shù)解析刻畫評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的指標是標準差.答案B4.(2018長沙一中質檢)某雷達測速區(qū)規(guī)定：凡車速大于或等于70 km/h的汽車視為“超速”，并將受到處罰.如圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測后所作的頻率分布直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車大約有()A.30輛 B.40輛C.60輛 D.80輛解析從頻率分布直方圖知，車速大于或等于70 km/h的頻率為0.02100.2.由于樣本容量為200，故“超速”被罰的汽車約有2000.240(輛).答案B5.(2016江蘇卷)已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_.答案0.1考點一

6、莖葉圖及其應用考點一莖葉圖及其應用A.3，5 B.5，5 C.3，7 D.5，7【例1】 (1)(2017山東卷)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數(shù)據(jù)(單位：件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為() (2)(2018濟南模擬)中國詩詞大會的播出引發(fā)了全民的讀書熱，某小學語文老師在班里開展了一次詩詞默寫比賽，班里40名學生得分數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.若規(guī)定得分不小于85分的學生得到“詩詞達人”的稱號，小于85分且不小于70分的學生得到“詩詞能手”的稱號，其他學生得到“詩詞愛好者”的稱號，根據(jù)該次比賽的成就按照稱號的不同進行分層抽樣抽選10名學生，則

7、抽選的學生中獲得“詩詞達人”稱號的人數(shù)為()A.2 B.4 C.5 D.6解析(1)由莖葉圖，可得甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，從而乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也是65，所以y5.由乙組數(shù)據(jù)59，61，67，65，78，可得乙組數(shù)據(jù)的平均值為66，故甲組數(shù)據(jù)的平均值也為66，答案(1)A(2)A規(guī)律方法1.莖葉圖的三個關注點(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一.(2)重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏.(3)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.2.利用莖葉圖解題的關鍵是抓住“葉”的分布特征，準確從中提煉信

8、息.【訓練1】 (1)(2018廣東廣雅中學聯(lián)考)某市重點中學奧數(shù)培訓班共有14人，分為兩個小組，在一次階段考試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學生成績的平均數(shù)是88，乙組學生成績的中位數(shù)是89，則mn的值是()A.10 B.11 C.12 D.13(2)(2018長沙模擬)空氣質量指數(shù)(Air Quality Index，簡稱AQI)是定量描述空氣質量狀況的指數(shù)，空氣質量按照AQI大小分為六級，050為優(yōu)；51100為良；101150為輕度污染；151200為中度污染；201300為重度污染；大于300為嚴重污染.從某地一環(huán)保人士某年的AQI記錄數(shù)據(jù)中，隨機抽取10個，用莖葉圖記錄如

9、下.根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計此地該年AQI大于100的天數(shù)約為_(該年為365天).解析(1)甲組學生成績的平均數(shù)是88，由莖葉圖可知788684889590m92887，m3，乙組學生成績的中位數(shù)是89，n9，mn12.答案(1)C(2)146考點二頻率分布直方圖考點二頻率分布直方圖(易錯警示易錯警示)【例2】 (2017北京卷)某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：20，30)，30，40)，80，90，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70

10、的概率；(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間40，50)內的人數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.解(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(0.020.04)100.6，所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為10.60.4.所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計為0.4.(2)根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為(0.010.020.040.02)100.9，分數(shù)在區(qū)間40，50)內的人數(shù)為1001000.955.(3)由題意可知，樣本中分數(shù)

11、不小于70的學生人數(shù)為(0.020.04)1010060，所以樣本中的男生人數(shù)為30260，女生人數(shù)為1006040，男生和女生人數(shù)的比例為604032.所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3 2.【訓練2】 某校2018屆高三文(1)班在一次數(shù)學測驗中，全班N名學生的數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下，已知分數(shù)在110120的學生有14人.(1)求總人數(shù)N和分數(shù)在120125的人數(shù)n；(2)利用頻率分布直方圖，估算該班學生數(shù)學成績的眾數(shù)和中位數(shù)各是多少？解(1)分數(shù)在110120內的學生的頻率為P1(0.040.03)50.35，分數(shù)在120125內的學生的頻率為P21(0.01

12、0.040.050.040.030.01)50.10，分數(shù)在120125內的人數(shù)n400.104.(2)由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)是最高的小矩形底邊中點的橫坐標，設中位數(shù)為a，0.0150.0450.0550.50，a110.眾數(shù)和中位數(shù)分別是107.5，110.考點三樣本的數(shù)字特征考點三樣本的數(shù)字特征【例3】 (1)(2018濟南一中質檢)2017年2月20日，摩拜單車在濟南推出“做文明騎士，周一摩拜單車免費騎”活動.為了解單車使用情況，記者隨機抽取了五個投放區(qū)域，統(tǒng)計了半小時內被騎走的單車數(shù)量，繪制了如圖所示的莖葉圖，則該組數(shù)據(jù)的方差為()A.9 B.4 C.3 D.2 (2)(2016四

13、川卷)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查.通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0，0.5)，0.5，1)，4，4.5分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.求直方圖中a的值；設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；估計居民月均用水量的中位數(shù).答案B(2)解由頻率分布直方圖可知：月均用水量在0，0.5)內的頻率為0.080.50.04.同理，在0.5，1)，1.5，2)，2，2.5)，3，3.5)，3.5，4)，4，4.5等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.

14、04，0.02.由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.5a0.5a，解得a0.30.由知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.060.040.020.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.1236 000.設中位數(shù)為x噸.因為前5組的頻率之和為0.040.080.150.210.250.730.5.又前4組的頻率之和為0.040.080.150.210.480.5.所以2x2.5.由0.50(x2)0.50.48，解得x2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.規(guī)律方法1.平均數(shù)反映

15、了數(shù)據(jù)取值的平均水平，而方差、標準差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，標準差、方差越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，越不穩(wěn)定；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.2.用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.【訓練3】 (2018北京東城質檢)某班男女生各10名同學最近一周平均每天的鍛煉時間(單位：分鐘)用莖葉圖記錄如下：假設每名同學最近一周平均每天的鍛煉時間是互相獨立的.男生每天鍛煉的時間差別小，女生每天鍛煉的時間差別大；從平均值分析，男生每天鍛煉的時間比女生多；男生平均每天鍛煉時間的標準差大于女生平均每天鍛煉時間的標準差；從10個男生中任選一人，平均每天的鍛煉時間超過65分鐘的概率比同樣條件下女生鍛煉時間超過65分鐘的概率大.其中符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結論是()A. B. C. D.解析由莖葉圖知，男生每天鍛煉時間差別小，女生差別大，正確.又根據(jù)莖葉圖，男生鍛煉時間較集中，女生鍛煉時間較分散，s甲s乙，錯誤，因此符合莖葉圖所給數(shù)據(jù)的結論是.答案C