《電磁場(chǎng)與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第1章 矢量分析

《《電磁場(chǎng)與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第1章 矢量分析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《電磁場(chǎng)與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第1章 矢量分析（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第 1 章 矢量分析 在電磁理論中，我們要研究某些物理量（如電位、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度等）在空間的分布和變化規(guī)律。為此，引入了場(chǎng)的概念。如果每一時(shí)刻，一個(gè)物理量在空間中的每一點(diǎn)都有一個(gè)確定的值，則稱在此空間中確定了該物理量的場(chǎng)。 電磁場(chǎng)是分布在三維空間的矢量場(chǎng)，矢量分析是研究電磁場(chǎng)在空間的分布和變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)工具之一。標(biāo)量場(chǎng)在空間的變化規(guī)律由其梯度來(lái)描述，而矢量場(chǎng)在空間的變化規(guī)律則通過(guò)場(chǎng)的散度和旋度來(lái)描述。本章首先介紹標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)的概念，然后著重討論標(biāo)量場(chǎng)的梯度、矢量場(chǎng)的散度和旋度的概念及其運(yùn)算規(guī)律，在此基礎(chǔ)上介紹了亥姆霍茲定理。 1.1矢量代數(shù) 1.1.1 標(biāo)量和矢量 數(shù)

2、學(xué)上，任一代數(shù)量都可稱為標(biāo)量。在物理學(xué)中，任一代數(shù)量一旦被賦予“物理單位”，則稱為一個(gè)具有物理意義的標(biāo)量，即所謂的物理量，例如電壓、電荷量、質(zhì)量、能量等等都是標(biāo)量。 一般的三維空間內(nèi)某一點(diǎn)處存在的一個(gè)既有大小又有方向特性的量稱為矢量，在本書中用黑體字母表示矢量，例如，而用來(lái)表示矢量的大小（或的模）。矢量一旦被賦予“物理單位”，則稱為一個(gè)具有物理意義的矢量，如電場(chǎng)強(qiáng)度矢量、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量、作用力矢量、速度矢量等等。 一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示，線段的長(zhǎng)度表示矢量的模，箭頭指向表示矢量的方向，如圖1.1.1所示。 一個(gè)模為1的矢量稱為單位矢量。在本書中用表示與矢量同方向的單位矢量，顯然

3、 （1.1.1） 而矢量則可表示 （1.1.2） 1.1.2 矢量的加法和減法 兩個(gè)矢量與相加，其和是另一個(gè)矢量。矢量可按平行四邊形法則得到：從同一點(diǎn)畫出矢量與，構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，其對(duì)角線矢量即為矢量，如圖1.1.2所示。 矢量的加法服從交換律和結(jié)合律 （交換律） （1.1.3） （結(jié)合律） （1.1.4） 矢量的減法定義為 （1.1.5） 式中的大

4、小與的大小相等，但方向與相反，如圖1.1.3所示。 1.1.3矢量的乘法 一個(gè)標(biāo)量與一個(gè)矢量的乘積仍為一個(gè)矢量，其大小為。若，則與同方向；若，則與反方向。 兩個(gè)矢量與的乘法有兩種：點(diǎn)積（或標(biāo)積）和叉積（或矢積）。 兩個(gè)矢量與的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，定義為矢量和的大小與它們之間較小的夾角的余弦之積，如圖1.1.4所示。即 （1.1.6） 矢量的點(diǎn)積服從交互律和分配律 （交換律） （1.1.7） （分配律） （1.1.8） 兩個(gè)矢量與的叉積是一個(gè)矢量，它垂直于包含矢量和的平面，其大

5、小定義為，方向?yàn)楫?dāng)右手四個(gè)手指從矢量到旋轉(zhuǎn)時(shí)大拇指的方向，如圖1.1.5所示。即 （1.1.9） 根據(jù)叉積的定義，顯然有 （1.1.10） 因此，叉積不服從交換律，但叉積服從分配律 （分配律） （1.1.11） 矢量與矢量的點(diǎn)積稱為標(biāo)量三重積，它具有如下運(yùn)算性質(zhì) （1.1.12） 矢量與矢量的叉積稱為矢量三重積，它具有如下運(yùn)算性質(zhì) （1.1.13） 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系 為了考察物理量在空間的

6、分布和變化規(guī)律，必須引入坐標(biāo)系。在電磁場(chǎng)理論中，最常用的坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。 1.2.1 直角坐標(biāo)系 如圖1.2.1所示，直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是、和，它們的變化范圍分別是 ，， 空間任一點(diǎn)是三個(gè)坐標(biāo)曲面、和的交點(diǎn)。 在直角坐標(biāo)系中，過(guò)空間任一點(diǎn)的三個(gè)相互正交的坐標(biāo)單位矢量、和分別是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法則： 、、 （1.2.1） 任一矢量在直角坐標(biāo)系中可表示為 （1.2.2） 其中、和分別是矢量在、和方向上的投影。 兩個(gè)矢量與的和等于對(duì)應(yīng)分量之和，即

7、 （1.2.3） 與的點(diǎn)積為 （1.2.4） 與的叉積為 （1.2.5） 在直角坐標(biāo)系中，位置矢量 （1.2.6） 其微分為 （1.2.7） 而與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的三個(gè)面積元分別為 ，， （1.2.8） 體積元為

8、 （1.2.9） 1.2.2 圓柱坐標(biāo)系 如圖1.2.2所示，圓柱坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是、和，它們的變化范圍分別是 ，， 空間任一點(diǎn)是如下三個(gè)坐標(biāo)曲面的交點(diǎn)： 的圓柱面、包含軸并與平面構(gòu)成夾角為的半平面、的平面。 圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為 ，， （1.2.10） 或 圖1.2.2 圓柱面坐標(biāo)系 ， ， （1.2.11） 在圓柱坐標(biāo)系中，過(guò)空間任一點(diǎn)的三個(gè)相互正交的坐標(biāo)單位矢量、和分別是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法則，即 、、

9、 （1.2.12） 必須強(qiáng)調(diào)指出，圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量和都不是常矢量，因?yàn)樗鼈兎较蚴请S空間坐標(biāo)變化的。由圖1.2.3可得到、與、之間的變換關(guān)系為 ， （1.2.13） 或 ， （1.2.14） 由式（1.2.13）可以看出和是隨變化的，且 （1.2.15） 任一矢量在圓柱坐標(biāo)系中可以表示為 （1.2.16） 其中、和分別是矢量在、和方向上的投影。 矢量與矢量的和為 （1.2.17） 與的點(diǎn)積為

10、 （1.2.18） 與的叉積為 （1.2.19） 在圓柱坐標(biāo)系中，位置矢量為 （1.2.20） 其微分元是 （1.2.21） 它在、和增加方向上的微分元分別是、和，如圖1.2.4所示。、和都是長(zhǎng)度，它們同各自坐標(biāo)的微分之比稱為度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），即 ，， （1.2.22） 在圓柱坐標(biāo)系中，與三個(gè)坐標(biāo)單位矢量相垂直的三個(gè)面積元分別為

11、 ，， （1.2.23） 體積元?jiǎng)t為 （1.2.24） 1.2.3 球坐標(biāo)系 如圖1.2.5所示，球坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是、和，它們的變化范圍分別是 ，， 空間任一點(diǎn)是如下三個(gè)坐標(biāo)曲面的交點(diǎn)： 球心在原點(diǎn)、半徑的球面；頂點(diǎn)在原點(diǎn)、軸線與軸重合且半頂角的正圓錐面；包含軸并與平面構(gòu)成夾角為的半平面。 球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為 ，， （1.2.25） 或 ， ， （1.2.26） 圖1.2.5 球面坐標(biāo)系 在球坐標(biāo)系中，過(guò)空間任一點(diǎn)

12、的三個(gè)相互正交的坐標(biāo)單位矢量、和分別是、和增加的方向，且遵循右手螺旋法則 、、 （1.2.27） 它們與、和之間的變換關(guān)系為 （1.2.28） 或 （1.2.29） 球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)單位矢量、和都不是常矢量，且 （1.2.30） 任一矢量在球坐標(biāo)系中可表示為 （1.2.31） 其中、和分別是矢量在、和方向上的投影。 矢量與矢量的和為 （1.2.32） 與的點(diǎn)積為

13、 （1.2.33） 與的叉積為 （1.2.34） 位置矢量 （1.2.35） 其微分元是 （1.2.36） 即在球坐標(biāo)系中沿三個(gè)坐標(biāo)的長(zhǎng)度元為、和，如圖1.2.6所示。度量系數(shù)分別為 ，， （1.2.37） 在球坐標(biāo)系中，三個(gè)面積元分別為 ，， （1.2.38） 體積元 （1.2.39） 1.

14、3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 如果在一個(gè)空間區(qū)域中，某物理系統(tǒng)的狀態(tài)可以用一個(gè)空間位置和時(shí)間的函數(shù)來(lái)描述，即每一時(shí)刻在區(qū)域中每一點(diǎn)它都有一個(gè)確定值，則在此區(qū)域中就確立了該物理系統(tǒng)的一種場(chǎng)。例如物體的溫度分布即為一個(gè)溫度場(chǎng)；流體中的壓力分布即為一個(gè)壓力場(chǎng)。場(chǎng)的一個(gè)重要屬性是它占有一個(gè)空間，它把物理狀態(tài)作為空間和時(shí)間的函數(shù)來(lái)描述，而且，在此空間區(qū)域中，除開有限個(gè)點(diǎn)或某些表面外，該函數(shù)是處處連續(xù)的。若物理狀態(tài)與時(shí)間無(wú)關(guān)，則為靜態(tài)場(chǎng)；反之則為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或時(shí)變場(chǎng)。 若所研究的物理量是一個(gè)標(biāo)量，則該物理量所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)，例如：溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)、電位場(chǎng)等都是標(biāo)量場(chǎng)。在標(biāo)量場(chǎng)中，各點(diǎn)的場(chǎng)量是隨空間位置變化的標(biāo)量。因此

15、，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)表示。例如，在直角坐標(biāo)系中，可表示為 （1.3.1） 1.3.1 標(biāo)量場(chǎng)的等值面 在研究標(biāo)量場(chǎng)時(shí)，常用等值面形象直觀地描述物理量在空間的分布狀況。在標(biāo)量場(chǎng)中，使標(biāo)量函數(shù)取得相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)空間曲面，稱為標(biāo)量場(chǎng)的等值面。例如，在溫度場(chǎng)中，由溫度相同的點(diǎn)構(gòu)成等溫面；在電位場(chǎng)中，由電位相同的點(diǎn)構(gòu)成等位面。 對(duì)任意給定的常數(shù)C，方程 （1.3.2） 就是等值面方程。 不難看出，標(biāo)量場(chǎng)的等值面具有如下特點(diǎn)： ① 常數(shù)C取一系列不同的值，就得

16、到一系列不同的等值面，因而形成等值面族； ② 若是標(biāo)量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，顯然，曲面是通過(guò)該點(diǎn)的等值面，因此標(biāo)量場(chǎng)的等值面族充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間； ③ 由于標(biāo)量函數(shù)為單值的，一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上，因此標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交，如圖1.3.1所示。 1.3.2 方向?qū)?shù) 標(biāo)量場(chǎng)的等值面只描述了場(chǎng)量的分布狀況，而研究標(biāo)量場(chǎng)的另一個(gè)重要方面，就是還要研究標(biāo)場(chǎng)量在場(chǎng)中任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿各個(gè)方向的變化規(guī)律。為此，引入了標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度的概念。 1.方向?qū)?shù)的概念 設(shè)為標(biāo)量場(chǎng)中的一點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)引一條射線，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，到點(diǎn)的距離為，如圖1.3.2所示。當(dāng)點(diǎn)沿射線趨近于（即）時(shí)，比值 的極

17、限稱為標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)，記作，即 （1.3.3） 從以上定義可知，方向?qū)?shù)是標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M0處沿方向?qū)嚯x的變化率。當(dāng)時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)沿方向是增加的；當(dāng)時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)沿方向是減小的；當(dāng)時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)沿方向無(wú)變化。 方向?qū)?shù)值既與點(diǎn)有關(guān)，也與方向有關(guān)。因此，標(biāo)量場(chǎng)中，在一個(gè)給定點(diǎn) 處沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不同的。 2. 方向?qū)?shù)的計(jì)算公式 方向?qū)?shù)的定義是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的，但方向?qū)?shù)的具體計(jì)算公式與坐標(biāo)系有關(guān)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在直角坐標(biāo)系中 設(shè)方向的方向余弦是、、，即 ，， 則得到直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計(jì)算公式為

18、 （1.3.4） 1.3.3 梯度 在標(biāo)量場(chǎng)中，從一個(gè)給定點(diǎn)出發(fā)有無(wú)窮多個(gè)方向。一般說(shuō)來(lái)，標(biāo)量場(chǎng)在同一點(diǎn)處沿不同的方向上的變化率是不同的，在某個(gè)方向上，變化率可能最大。那么，標(biāo)量場(chǎng)在什么方向上的變化率最大、其最大的變化率又是多少？為了描述這個(gè)問(wèn)題，引入了梯度的概念。 1.梯度的概念 標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)處的梯度是一個(gè)矢量，它的方向沿場(chǎng)量變化率最大的方向、大小等于其最大變化率，并記作，即 （1.3.5） 式中是場(chǎng)量變化率最大的方向上的單位矢量。 2. 梯度的計(jì)算式 梯度的定義與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，但梯度的具體表達(dá)式

19、與坐標(biāo)系有關(guān)。在直角坐標(biāo)系中，若令、，由式（1.3.4）可得到 （1.3.6） 由于是與方向l無(wú)關(guān)的矢量，由式（1.3.6）可知，當(dāng)方向l與矢量G的方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，且等于矢量G的模。根據(jù)梯度的定義，可得到直角坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為 （1.3.7） 在矢量分析中，經(jīng)常用到哈密頓算符“▽”（讀作“del”或“Nabla”），在直角坐標(biāo)系中 （1.3.8） 算符▽具有矢量和微分的雙重性質(zhì)，故又稱為矢性微分算符。因此

20、，標(biāo)量場(chǎng)的梯度可用哈密頓算符▽表示為 （1.3.9） 這表明，標(biāo)量場(chǎng)的梯度可認(rèn)為是算符▽作用于標(biāo)量函數(shù)的一種運(yùn)算。 圓柱坐標(biāo)系中和球坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算式分別為 （1.3.10） （1.3.11） 3. 梯度的性質(zhì) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度具有以下特性： ① 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng)，通常稱為標(biāo)量場(chǎng)所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)； ② 標(biāo)量場(chǎng)中，在給定點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影； ③ 標(biāo)量場(chǎng)中每一點(diǎn)M處的梯度，垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面，且指向增加的方向。 例1.3.1 已知，

21、。證明： （1） ；（2）；（3）。 其中：表示對(duì)x、y、z的運(yùn)算，表示對(duì)、、的運(yùn)算。 解：（1）將代入式（1.3.7），得 （2）將代入式（1.3.7），得 （3）根據(jù)梯度的運(yùn)算公式（1.3.7），得到 同理 故得 在電磁場(chǎng)中，通常以表示源點(diǎn)的坐標(biāo)，以表示場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)，因此上述運(yùn)算結(jié)果在電磁場(chǎng)中非常有用。 1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度 若所研究的物理量是一個(gè)矢量，則該物理量所確定的場(chǎng)稱為矢量場(chǎng)。例如：力場(chǎng)、速度場(chǎng)、電場(chǎng)等都是矢量場(chǎng)。在矢量場(chǎng)中，各點(diǎn)的場(chǎng)量是隨空間位置變化的矢量。因此，一個(gè)矢量場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)來(lái)表示。在直角坐標(biāo)系中可表

22、示為 （1.4.1） 一個(gè)矢量場(chǎng)可以分解為三個(gè)分量場(chǎng)，在直角坐標(biāo)系中 （1.4.2） 式中、和是分別沿x、y和z方向的三個(gè)分量。 1.4.1矢量場(chǎng)的矢量線 對(duì)于矢量場(chǎng)，可用一些有向曲線來(lái)形象地描述矢量在空間的分布，稱為矢量線。在矢量線上，任一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的場(chǎng)矢量方向相同，如圖1.4.1。例如，靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)線，磁場(chǎng)中的磁場(chǎng)線等，都是矢量線的例子。一般地，矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)都有矢量線通過(guò)，所以矢量線也充滿矢量場(chǎng)所在的空間。 設(shè)矢量場(chǎng)、是場(chǎng)中的矢量線上任一點(diǎn)，其矢徑為 則其微分

23、矢量 在點(diǎn)M處與矢量線相切。根據(jù)矢量線的定義可知，在點(diǎn)M處與共線，即∥，于是有 （1.4.3） 這就是矢量線的微分方程組。解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。 例1.4.1 設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，在周圍空間任一點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量 式中ε為介電常數(shù)，，，求電場(chǎng)強(qiáng)度矢量Ｅ的矢量線。 解： ，由式（1.4.3）可得到矢量線的微分方程組為 由此方程組可解得 （、為任意常數(shù)） 這是從點(diǎn)電荷q所在處（坐標(biāo)原點(diǎn)）發(fā)出的射線束，如圖1.4.2所示。 1.4.2 通量 在分析和描繪矢量場(chǎng)

24、的性質(zhì)時(shí)，矢量場(chǎng)穿過(guò)一個(gè)曲面的通量是一個(gè)重要的基本概念。設(shè)為一空間曲面，為曲面上的面元，取一個(gè)與此面元相垂直的單位矢量，則稱矢量 （1.4.4） 為面元矢量。的取法有兩種情形：一是為開曲面上的一個(gè)面元，這個(gè)開曲面由一條閉合曲線C圍成，選擇閉合曲線C的繞行方向后，按右螺旋法則規(guī)定的方向，如圖1.4.3所示；另一種情形是為閉合曲面上的一個(gè)面元，則一般取的方向?yàn)殚]曲面的外法線方向。 在矢量場(chǎng)中，任取一面元矢量，矢量與面元矢量的標(biāo)量積定義為矢量穿過(guò)面元矢量的通量。將曲面上各面元的相加，則得到矢量穿過(guò)曲面的通量，即 （1.

25、4.4） 例如：在電場(chǎng)中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過(guò)該曲面的電通量；在磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在某一曲面上的面積分就是矢量通過(guò)該曲面的磁通量。 如果是一閉合曲面，則通過(guò)閉合曲面的總通量表示為 （1.4.5） 由通量的定義不難看出，若從面元矢量的負(fù)側(cè)穿到的正側(cè)時(shí)，與相交成銳角，則通過(guò)面積元的通量為正值；反之，若從面積元的正側(cè)穿到的負(fù)側(cè)時(shí)，與相交成鈍角，則通過(guò)面積元的通量為負(fù)值。式（1.4.5）中的則表示穿出閉曲面內(nèi)的正通量與進(jìn)入閉曲面的負(fù)通量的代數(shù)和，即穿出曲面的凈通量。當(dāng)時(shí)，則表示穿出閉合曲面的通量多于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面

26、內(nèi)必有發(fā)出矢量線的源，稱之為正通量源。例如，靜電場(chǎng)中的正電荷就是發(fā)出電場(chǎng)線的正通量源；當(dāng)時(shí)，則表示穿出閉合曲面的通量少于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面內(nèi)必有匯集矢量線的源，稱之為負(fù)通量源。例如，靜電場(chǎng)中的負(fù)電荷就是匯聚電場(chǎng)線的負(fù)通量源；當(dāng)時(shí)，則表示穿出閉合曲面的通量等于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面內(nèi)正通量源與負(fù)通量源的代數(shù)和為零，或閉合曲面內(nèi)無(wú)通量源。 1.4.3 散度 矢量場(chǎng)穿過(guò)閉合曲面的通量是一個(gè)積分量，不能反映場(chǎng)域內(nèi)的每一點(diǎn)的通量特性。為了研究矢量場(chǎng)在一個(gè)點(diǎn)附近的通量特性，需要引入矢量場(chǎng)的散度。 1. 散度的概念 在矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)M處作一個(gè)包圍該點(diǎn)的任意閉合曲面，當(dāng)所限定的體積以任意方式

27、趨近于零時(shí)，則比值 的極限稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的散度，并記作，即 （1.4.6） (a) divF＞0 (b) divF＜0 (c) divF＝0 圖1.4.4 散度的意義 由散度的定義可知，表示在點(diǎn)M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來(lái)的矢量的通量，所以描述了通量源的密度。若，則該點(diǎn)有發(fā)出矢量線的正通量源；若，則該點(diǎn)有匯聚矢量線的負(fù)通量源；若，則該點(diǎn)無(wú)通量源（如圖1.4.4）。 2.散度的計(jì)算式 根據(jù)散度的定義，與體積元的形狀無(wú)關(guān)，只要在取極限過(guò)程中，所有尺寸都趨于零即可。在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)很小的直

28、角六面體，各邊的長(zhǎng)度分別為、、，各面分別與各坐標(biāo)面平行，如圖1.4.5所示。矢量場(chǎng)穿出該六面體的表面的通量 在計(jì)算前、后兩個(gè)面上的面積分時(shí)，、對(duì)積分沒有貢獻(xiàn)，并且由于六個(gè)面均很小，所以 根據(jù)泰勒定理 … 所以 于是得到 同理可得 因此，矢量場(chǎng)穿出六面體的表面S的通量 根據(jù)式（1.4.6），得到散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 （1.4.7） 利用算符▽，可將表示為 （1.4.8） 類似地，可推出圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的散度計(jì)算式，分別為 （

29、1.4.9） （1.4.10） 1.4.4散度定理 矢量分析中的一個(gè)重要定理是 （1.4.11） 上式稱為散度定理（或高斯定理）。 圖1.4.6體積的剖分 現(xiàn)在來(lái)證明這個(gè)定理。如圖1.4.6所示，將閉合面包圍的體積分成許多體積元：、、，計(jì)算每個(gè)體積元的小閉合面（）上穿出的的通量，然后疊加。由于相鄰兩體積元有一個(gè)公共表面，這個(gè)公共表面上的通量對(duì)這兩個(gè)體積元來(lái)說(shuō)恰好等值異號(hào)，求和時(shí)就互相抵消了。除了鄰近面的那些體積元外，所有體積元都是由幾個(gè)與相鄰體積元間的公共表面包圍而成的，這些體積元的通量的總和為零。而鄰近面的

30、那些體積元，它們有部分表面是面上的面元，這部分表面的通量沒有被抵消，其總和恰好等于從閉合面穿出的通量。因此有 由式（1.4.7）得 ，（） 故得到 這就證明了式（1.4.11）。 式（1.4.11）表明，矢量場(chǎng)的散度在體積上的體積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的閉合面上的面積分，是矢量的散度的體積分與該矢量的閉合曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，是矢量分析中的一個(gè)重要的恒等式，在電磁理論中非常有用。 例1.4.2 已知，。求矢量在處的散度。 解：根據(jù)散度的運(yùn)算公式（1.4.7），有 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 矢量場(chǎng)的散度描述了通量源分布情況，反映了矢量場(chǎng)的一個(gè)重要性

31、質(zhì)。反映矢量場(chǎng)的空間變化規(guī)律的另一個(gè)重要性質(zhì)是矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度。 1.5.1 環(huán)流 矢量場(chǎng)沿場(chǎng)中的一條閉合路徑C的曲線積分 （1.5.1） dl F C 圖1.5.1閉合路徑 稱為矢量場(chǎng)沿閉合路徑C的環(huán)流。其中是路徑上的線元矢量，其大小為、方向沿路徑C的切線方向，如圖1.5.1所示。 矢量場(chǎng)的環(huán)流與矢量場(chǎng)穿過(guò)閉合曲面的通量一樣，都是描述矢量場(chǎng)性質(zhì)的重要的量。例如：在電磁學(xué)中，根據(jù)安培環(huán)路定理可知，磁場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合路徑C的環(huán)流就是通過(guò)以路徑C為邊界的曲面S的總電流。因此，如果矢量場(chǎng)的環(huán)流不等于零，則認(rèn)為場(chǎng)中有產(chǎn)生該

32、矢量場(chǎng)的源。但這種源與通量源不同，它既不發(fā)出矢量線也不匯聚矢量線。也就是說(shuō)，這種源所產(chǎn)生的矢量場(chǎng)的矢量線是閉合曲線，通常稱之為旋渦源。 從矢量分析的要求來(lái)看，希望知道在每一點(diǎn)附近的環(huán)流狀態(tài)。為此，在矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn)M處作一面元，取為此面元的法向單位矢量。當(dāng)面元保持以為法線方向而向點(diǎn)M處無(wú)限縮小時(shí)，極限稱為矢量場(chǎng)F在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度，記作，即 （1.5.2） 由此定義不難看出，環(huán)流面密度與面元的法線方向有關(guān)。例如：在磁場(chǎng)中，如果某點(diǎn)附近的面元方向與電流方向重合，則磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流面密度有最大值；如果面元方向與電流方向有一夾角，則磁場(chǎng)強(qiáng)度

33、的環(huán)流面密度總是小于最大值；當(dāng)面元方向與電流方向垂直時(shí)，則磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流面密度等于零。這些結(jié)果表明，矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度，就是在該點(diǎn)處沿方向的旋渦源密度。 1.5.2 旋度 1.旋度的概念 由于矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的環(huán)流面密度與面元的法線方向有關(guān)，因此，在矢量場(chǎng)中，一個(gè)給定點(diǎn)M處沿不同方向，其環(huán)流面密度的值一般是不同的。在某一個(gè)確定的方向上，環(huán)流面密度可能取得最大值。為了描述這個(gè)問(wèn)題，引入了旋度的概念。 矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的旋度是一個(gè)矢量，記作（或記作），它的方向沿著使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向、大小等于該環(huán)流面密度最大值，即 （

34、1.5.3） 式中是環(huán)流面密度取得最大值的面元正法線單位矢量。 由旋度的定義不難看出，矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處的旋度就是在該點(diǎn)的旋渦源密度。例如，在磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)強(qiáng)度H在點(diǎn)M處的旋度就是在該點(diǎn)的電流密度J。矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度等于在該方向上的投影，如圖1.5.2所示，即 （1.5.4） 圖1.5.2 在方向上的投影 2. 旋度的計(jì)算式 旋度的定義與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，但旋度的具體表達(dá)式與坐標(biāo)系有關(guān)，下面推導(dǎo)在直角坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式。 如圖1.5.3所示，以點(diǎn)為頂點(diǎn)，取一個(gè)平行于面的矩形面元，則面元矢量為。在點(diǎn)處的

35、矢量沿回路的積分為 故 此極限即是在方向上的投影。 相似的，分別取面元矢量、，用與上面相同的運(yùn)算，可得到分別在和方向上的投影為 因此，我們得到 （1.5.5） 利用算符，可將表示為 （1.5.6） 上式亦可寫成 （1.5.7） 采用同樣的方法，可導(dǎo)出在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式為 （1.5.8） 或?qū)懗? （1.5.9） 在球坐標(biāo)系中，的表達(dá)式為 （1

36、.5.10） 或?qū)懗? （1.5.11） 1.5.3斯托克斯定理 在矢量場(chǎng)所在的空間中，對(duì)于任一個(gè)以曲線C為周界的曲面S，存在如下重要關(guān)系式 （1.5.12） 圖1.5.4 曲面的劃分 上式稱為斯托克斯定理，它表明矢量場(chǎng)的旋度在曲面S上的面積分等于矢量場(chǎng)在限定曲面的閉曲線C上的線積分，是矢量旋度的曲面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，也是矢量分析中的一個(gè)重要的恒等式，在電磁理論中也是很有用的。 為了證明式（1.5.12），將曲面S 劃分成許多小面元，如圖1.5.4所示。對(duì)每一個(gè)小面元

37、，沿包圍它的閉合路徑取的環(huán)流，路徑的方向與大回路C一致，并將所有這些積分相加?？梢钥闯?，各個(gè)小回路在公共邊界上的那部分積分都相互抵消，因?yàn)橄噜徯』芈吩诠策吔缟戏e分的方向是相反的，只有沒有公共邊界的部分積分沒有抵消，結(jié)果所有沿小回路積分的總和等于沿大回路C的積分，即 對(duì)沿每一個(gè)小回路的積分應(yīng)用式（1.5.2），得 這樣 上式右邊的總和就是在曲面S上的面積分，即，從而證明了式（1.5.12）。 例1.5.1 已知，。求矢量在處的旋度. 解：根據(jù)旋度的運(yùn)算公式（1.5.7），有 1.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng) 矢量場(chǎng)散度和旋度反映了產(chǎn)生矢量場(chǎng)的兩種不同性質(zhì)

38、的源，相應(yīng)的，不同性質(zhì)的源產(chǎn)生的矢量場(chǎng)也具有不同的性質(zhì)。 1.6.1 無(wú)旋場(chǎng) 如果一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度處處為零，即 則稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，它是由散度源所產(chǎn)生的。例如，靜電場(chǎng)就是旋度處處為零的無(wú)旋場(chǎng)。 標(biāo)量場(chǎng)的梯度有一個(gè)重要性質(zhì)，就是它的旋度恒等于零，即 （1.6.1） 在直角坐標(biāo)系中很容易證明這一結(jié)論。直接取的旋度，有 因?yàn)樘荻群托鹊亩x都與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，所以式（1.6.1）是普遍的結(jié)論。 根據(jù)式（1.6.1），對(duì)于一個(gè)旋度處處為零的矢量場(chǎng)，總可以把它表示為某一標(biāo)量場(chǎng)的梯度，即如果，存在標(biāo)量函數(shù)，使得

39、 （1.6.2） 函數(shù)稱為無(wú)旋場(chǎng)的標(biāo)量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱標(biāo)量位。式（1.6.2）中的有一負(fù)號(hào)，為的是使其與電磁場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度和標(biāo)量電位的關(guān)系相一致。 由斯托克斯定理可知，無(wú)旋場(chǎng)沿閉合路徑C的環(huán)流等于零，即 這一結(jié)論等價(jià)于無(wú)旋場(chǎng)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q有關(guān)。由式（1.6.2），有 若選定點(diǎn)Q為不動(dòng)的固定點(diǎn)，則上式可看作是點(diǎn)P的函數(shù)，即 （1.6.3） 這就是標(biāo)量位u的積分表達(dá)式，任意常數(shù)取決于固定點(diǎn)Q的選擇。 將式（1.6.2）代入式（1.6.3），有

40、 （1.6.4） 這表明，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可由它的梯度完全確定。 1.6.2 無(wú)散場(chǎng) 如果一個(gè)矢量場(chǎng)的散度處處為零，即 則稱該矢量場(chǎng)無(wú)散場(chǎng)，它是由旋渦源所產(chǎn)生的。例如，恒定磁場(chǎng)就是散度處處為零的無(wú)散場(chǎng)。 矢量場(chǎng)的旋度有一個(gè)重要性質(zhì)，就是旋度的散度恒等于零，即 （1.6.5） 在直角坐標(biāo)系中證明這一結(jié)論時(shí)，直接取的散度，有 根據(jù)這一性質(zhì)，對(duì)于一個(gè)散度處處為零的矢量場(chǎng)，總可以把它表示為某一矢量場(chǎng)的旋度，即如果，則存在矢量函數(shù)，使得

41、 （1.6.6） 函數(shù)稱為無(wú)散場(chǎng)的矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱矢量位。 由散度定理可知，無(wú)散場(chǎng)通過(guò)任何閉合曲面的通量等于零，即 1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1.7.1 拉普拉斯運(yùn)算 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量場(chǎng)，如果再對(duì)求散度，即，稱為標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算，記為 或 這里“”或“”稱為拉普拉斯算符。 在直角坐標(biāo)系中，由式（1.3.7）和式（1.4.8），可得到 （1.7.1） 由式（1.3.10）和（1.4.10），可得到圓柱坐標(biāo)系中的拉普拉斯運(yùn)算 （1.7.2） 由式（1.3.11）和（1.4.11），可得到球坐標(biāo)系中的拉

42、普拉斯運(yùn)算 （1.7.3） 對(duì)于矢量場(chǎng)，由于算符對(duì)矢量進(jìn)行運(yùn)算時(shí)以失去梯度的散度的概念，因此將矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算定義為 （1.7.4） 在直角坐標(biāo)系中 將以上兩式代入式（1.7.4），可求得 同理可得和，于是得到 （1.7.5） 必須注意，只有對(duì)直角分量才有（）。 1.7.2 格林定理 格林定理又稱為格林恒等式，是由散度定理導(dǎo)出的重要數(shù)學(xué)恒等式。在散度定理 中，令，其中和是體積內(nèi)的兩個(gè)任意標(biāo)量函數(shù)，則有 由于 ， 于是得到格林第一恒等式

43、 （1.7.6） 式中是閉曲面上的外法向?qū)?shù)。 將式（1.7.6）中的與對(duì)調(diào)一下，則有 （1.7.7） 將式（1.7.6）與式（1.7.7）相減，即得到格林第二恒等式 （1.7.8） 格林定理描述了兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系，如果已知其中一個(gè)場(chǎng)的分布，可以利用格林定理求解另一個(gè)場(chǎng)的分布。因此，格林定理在電磁場(chǎng)中有著廣泛的應(yīng)用。 1.8 亥姆霍茲定理 矢量場(chǎng)的散度和旋度都是表示矢量場(chǎng)的性質(zhì)的量度，一個(gè)矢量場(chǎng)所具有的性質(zhì)，可由它的散度和旋度來(lái)說(shuō)明。而且，可以證明：在有限的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場(chǎng)由它的散度、旋度

44、和邊界條件（即限定區(qū)域V的閉合面S上的矢量場(chǎng)的分布）惟一地確定，且可表示為 （1.8.1） 其中 （1.8.2） （1.8.3） 這就是亥姆霍茲定理。它表明： （1）矢量場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和來(lái)表示。此標(biāo)量函數(shù)由的散度和在邊界S上的法向分量完全確定；而矢量函數(shù)則由的旋度和在邊界面S上的切向分量完全確定； （2）由于、，因而一個(gè)矢量場(chǎng)可以表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)之和。即 （1.8.4） 其中 ，

45、 （1.8.5） （3）如果在區(qū)域V內(nèi)矢量場(chǎng)的散度與旋度均處處為零，則由其在邊界面S上的場(chǎng)分布完全確定； （4）對(duì)于無(wú)界空間，只要矢量場(chǎng)滿足 （1.8.6） 則式（1.8.2）和（1.8.3）中的面積分項(xiàng)為零。此時(shí)，矢量場(chǎng)由其散度和旋度完全確定。因此，在無(wú)界空間中，散度與旋度均處處為零的矢量場(chǎng)是不存在的。因?yàn)槿魏我粋€(gè)物理場(chǎng)都必須有源，場(chǎng)是同源一起出現(xiàn)的，源是產(chǎn)生場(chǎng)的起因。 必須指出，只有在連續(xù)的區(qū)域內(nèi)，和才有意義，因?yàn)樗鼈兌及鴮?duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。在區(qū)域內(nèi)如果存在不連續(xù)的表面，則在這些表面上就不存在的導(dǎo)數(shù)，因而也就不能使用散度和旋度來(lái)分析表

46、面附近的場(chǎng)的性質(zhì)。 亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場(chǎng)的基本性質(zhì)，其意義是非常重要的。分析矢量場(chǎng)時(shí)，總是從研究它的散度和旋度著手，得到的散度方程和旋度方程組成了矢量場(chǎng)的基本方程的微分形式；或者從矢量場(chǎng)沿閉合曲面的通量和沿閉合路徑的環(huán)流著手，得到矢量場(chǎng)的基本方程的積分形式。 思考題 1．如果是否意味著?為什么？ 2．如果是否意味著?為什么？ 3．兩個(gè)矢量的點(diǎn)積能為負(fù)的嗎？如果是，必須是什么情況？ 4．什么是單位矢量？什么是常矢量? 單位矢量是否為常矢量？ 5．在圓柱坐標(biāo)系中，矢量，其中、、為常數(shù)，則是常矢量嗎？為什么？ 6．在球坐標(biāo)系中，矢量，其中為常數(shù)，則能是常矢量嗎？為什么？

47、 7．什么是矢量場(chǎng)的通量？通量的值為正、負(fù)、或零分別表示什么意義？ 8．什么是散度定理？它的意義是什么？ 9．什么是矢量場(chǎng)的環(huán)流？環(huán)流的值為正、負(fù)、或零分別表示什么意義？ 10．什么是斯托克斯定理？它的意義是什么？斯托克斯定理能用于閉曲面嗎？ 11．如果矢量場(chǎng)能夠表示為一個(gè)矢量函數(shù)的旋度，這個(gè)矢量場(chǎng)具有什么特性？ 12．如果矢量場(chǎng)能夠表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度，這個(gè)矢量場(chǎng)具有什么特性？ 13．只有直矢量線的矢量場(chǎng)一定是無(wú)旋場(chǎng)，這種說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？ 14．無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)的區(qū)別是什么？ 習(xí) 題 1.1 給定三個(gè)矢量、和如下： 求：（1）；（2）；

48、（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 1.2 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為、和。 （1）判斷是否為一直角三角形； （2）求三角形的面積。 1.3 求點(diǎn)到點(diǎn)的距離矢量及的方向。 1.4 給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。 1.5 給定兩矢量和，求在上的分量。 1.6 證明：如果和，則； 1.7 如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)為一已知矢量，而，和已知，試求。 1.8 在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由定出，求該點(diǎn)在：（1）直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；（2）球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。 1.9 用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)， （

49、1）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處的和； （2）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)處與矢量構(gòu)成的夾角。 1.10 球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)和定出兩個(gè)位置矢量和。證明和間夾角的余弦為 1.11 已知標(biāo)量函數(shù)，求在點(diǎn)的處沿指定方向的方向?qū)?shù)。 1.12 已知標(biāo)量函數(shù)。（1）求；（2）在哪些點(diǎn)上等于零。 1.13 方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。 1.14 利用直角坐標(biāo)，證明 1.15 一球面的半徑為，球心在原點(diǎn)上，計(jì)算： 的值。 1.16 已知矢量，試確定常數(shù)、、使為無(wú)源場(chǎng)。 1.17 在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量驗(yàn)證散度定理。 1.18 求（1）矢量的散度；（2）求對(duì)中心

50、在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分；（3）求對(duì)此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。 1.19 計(jì)算矢量對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為的球表面的積分，并求對(duì)球體積的積分。 1.20 在球坐標(biāo)系中，已知矢量，其中、和均為常數(shù)。（1）問(wèn)矢量是否為常矢量；（2）求和。 1.21求矢量沿平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對(duì)此回路所包圍的曲面的面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。 1.22 求矢量沿圓周的線積分，再計(jì)算對(duì)此圓面積的積分。 1.23 證明：（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。 1.24 一徑向矢量場(chǎng)表示，如果，那么函數(shù)會(huì)有什么特點(diǎn)呢？ 1.25 給定矢量函數(shù)，試求從點(diǎn)到點(diǎn)的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)是保守場(chǎng)嗎？ 1.26 試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式。 1.27 現(xiàn)有三個(gè)矢量、、為 （1） 哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示？ （2）求出這些矢量的源分布。 1.28 利用直角坐標(biāo)，證明 1.29 證明 1.30 利用直角坐標(biāo)，證明 1.31 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。 · 25 ·.