2013-2017高考數學分類匯編-第10章圓錐曲線-2 雙曲線及其性質（理科）

第2節(jié) 雙曲線及其性質 題型116 雙曲線的定義與標準方程 1.（2013江西理14）拋物線的焦點為，其準線與雙曲線相交于兩點，若為等邊三角形，則 ． 2.(2013陜西理11） 雙曲線的離心率為，則等于 . 3．（2013廣東理7）已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，離心率等于，在雙曲線的方程是（ ）. A． B． C． D． 4.（2014 天津理 5）已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為（　?。? A.　　 B. C.　 　D. 5.（2014 廣東理 4）若實數滿足則曲線與曲線的（ ）. A.焦距相等 B.實半軸長相等 C. 虛半軸長相等 　D.離心率相等 6.（2014 北京理 11）設雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________. 7.（2015福建理3）若雙曲線 的左、右焦點分別為，點在雙曲線 上，且，則（ ）. A．11 B．9 C．5 D．3 7．解析　由雙曲線定義得，即，得．故選B． 8.（2015廣東理7）已知雙曲線的離心率，且其右焦點為， 則雙曲線的方程為（ ）. A． B． C． D． 8．解析 因為所求雙曲線的右焦點為，且離心率為，所以，， 所以，所以所求雙曲線方程為.故選C． 9.（2015天津理6）已知雙曲線 的一條漸近線過點 ，且 雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（ ）. A． B． C． D． 9．解析 雙曲線的漸近線方程為， 由點在漸近線上，所以， 雙曲線的一個焦點在拋物線準線方程上， 所以，由此可解得，，所以雙曲線方程為.故選D. 10.（2016江蘇3）在平面直角坐標系中，雙曲線的焦距是 ． 10. 解析 ，故焦距為． 11.（2016全國乙理5）已知方程Error! No bookmark name given.Error! No bookmark name given.表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 11. A 解析 由表示雙曲線，則， 得，所以焦距，得， 因此.故選A. 12.（2016天津理6）已知雙曲線，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于，，，四點，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（ ）. A. B. C. D. 12. D 解析 根據對稱性，不妨設在第一象限，， 聯(lián)立，得.所以，得. 故雙曲線的方程為.故選D. 13.（2016北京理13）雙曲線的漸近線為正方形的邊，所在的直線，點為該雙曲線的焦點.若正方形的邊長為，則_______________. 13. 解析 可得雙曲線C的漸近線方程為，所以.再由正方形的邊長為，得其對角線的長，所以，解得. 14.（2017北京理9）若雙曲線的離心率為，則實數_________. 14. 解析 由題知，則. 15.（2017天津理5）已知雙曲線的左焦點為，離心率為.若經過點和點兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（ ）. A. B. C. D. 15.解析 由題意得，，所以.又因為，所以，，則雙曲線方程為.故選B. 16.（2017全國3卷理科5）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（ ）. A． B． C． D． 16．解析 因為雙曲線的一條漸近線方程為，則 ① 又因為橢圓與雙曲線有公共焦點，易知，則 ② 由①,②，解得，則雙曲線的方程為.故選B. 題型117 雙曲線的漸近線 1.（2013江蘇3）雙曲線的兩條漸近線的方程為 . 2．（2013四川理6）拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（ ） A. B. C. D. 3. (2013福建理3）雙曲線的頂點到漸近線的距離等于（ ）. A. B. C. D. 4.（2014 新課標1理4）已知是雙曲線：的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為（ ）. A. B. C. D. 5.（2014 山東理 10）已知,橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（ ）. A. B. C. D. 6.（2014 北京理 11）設雙曲線經過點，且與具有相同漸近線，則的方程為________；漸近線方程為________. 7.（2015安徽理4）下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是（ ）. A． B． C． D． 7. 解析 由題可得選項A，C的漸近線方程都為，但選項A的焦點在軸上． 故選C． 8.（2015北京理10）已知雙曲線的一條漸近線為，則 . 8. 解析 依題意，雙曲線的漸近線方程為， 則，得. 9.（2015江蘇12）在平面直角坐標系中，為雙曲線右支上的一個動點．若 點到直線的距離大于恒成立，則實數的最大值為 ． 9. 解析 找到到直線的最小距離（或取不到），該值即為實數的最大值． 由雙曲線的漸近線為，易知與平行， 因此該兩平行線間的距離即為最小距離（且無法達到），故實數的最大值為 ． 10.（2015四川理5）過雙曲線的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩 條漸近線于兩點，則（ ）.] A. B. C. 6 D. 10. 解析 由題意可得，，故. 所以漸近線的方程為.將代入漸近線方程，得. 則.故選D. 11.（2015浙江理9）雙曲線的焦距是 ，漸近線方程是 ． 11. 解析 因為，所以焦距是，漸近線方程為. 12.（2015重慶理10）設雙曲線的右焦點為，右頂點為，過 作的垂線與雙曲線交于，兩點，過，分別作，的垂線，兩垂線交 于點.若到直線的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是 （ ）. A. B. C. D. 12. 解析 根據題意知點一定在軸上，所以點到直線的距離為，由圖知 ，，又因為， 所以，解出，所以， 根據實際情況，所以．故選A． 13.（2016上海理21（1））雙曲線的左、右焦點分別為，，直線過且與雙曲線交于，兩點.若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； 13.解析 （1）由已知，，不妨取，則，由題意，又，， 所以，即，解得， 因此漸近線方程為． 14.（2017江蘇08）在平面直角坐標系中，雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別交于點，其焦點是，則四邊形的面積是 ． 14.解析 雙曲線的漸近線方程為，而右準線為，所以，，從而．故填． 15.（2017山東理14）.在平面直角坐標系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為 . 15. 解析 設，由題意得. 又，所以， 從而雙曲線的漸近線方程為. 題型118 雙曲線離心率的值及取值范圍 1．(2013湖南理14）設是雙曲線的兩個焦點，是上一點，若 且的最小內角為，則的離心率為___. 2.（2013浙江理9）如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，分別是，在第二.四象限的公共點.若四邊形為矩形，則的離心率是 A. B. C. D. 3．（2013湖北理5）已知，則雙曲線與 的（ ）. A． 實軸長相等 B．虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率相等 4.（2014 重慶理 8）設分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得，則該雙曲線的離心率為（ ）. A. B. C. D. 5.（2014 湖北理 9）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（ ）. A. B. C.3 D.2 6.（2014 浙江理 14）設直線與雙曲線兩條漸近線分別交于點，若點滿足，則該雙曲線的離心率是__________. 7.（2015湖北理8）將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加 個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ）． A．對任意的， B．當時，；當時， C．對任意的， D．當時，；當時， 7．解析 由題意，， 當時，，；當時，，.故選D. 命題意圖 考查雙曲線的有關概念、性質及比較實數大小的基本方法 8.（2015湖南理13）設是雙曲線的一個焦點，若上存在點，使線 段的中點恰為其虛軸的一個端點，則的離心率為 . 8. 解析 根據對稱性，不妨設，短軸端點為，從而可知點在雙曲線 上，所以. 9.（2015全國II理11）已知為雙曲線的左、右頂點，點在上，為 等腰三角形，且頂角為，則的離心率為（ ）． A. B. C. D. 9. 解析 設雙曲線方程為，如圖所示， 由，，則過點作軸，垂足為， 在中，，，故點的坐標為， 代入雙曲線方程可得，即有，所以.故選D． 命題意圖 在圓錐曲線的考查中，雙曲線經常以選擇或填空題的形式出現.一般抓住其定義和性質可以求解.本題中要充分利用頂角為的等腰三角形的性質來求解. 10.(2015山東理15)平面直角坐標系中，雙曲線的漸近 線與拋物線交于點. 若△的垂心為的焦點，則的 離心率為 . 10.解析 由題意，可設所在直線方程為，則所在直線方程為， 聯(lián)立，解得，而拋物線的焦點為的垂心， 所以，所以，所以， 所以，所以． 11.（2016山東理13）已知雙曲線，若矩形的四個頂點在上，，的中點為的兩個焦點，且，則的離心率是_______. 11. 解析 由題意，，又因為，則，于是點在雙曲線上，代入方程，得，再由得的離心率為. 12.（2016全國甲理11）已知，是雙曲線E：的左，右焦點，點M在E上，與軸垂直，，則E的離心率為（ ）. A. B. C. D.2 12. A 解析 離心率，因為，所以.故選A． 13.（2016四川理19）已知數列的首項為， 為數列的前項和， ，其中， . （1）若，，成等差數列，求的通項公式； (2)設雙曲線 的離心率為 ，且 ，證明：. 13.解析 （1）由已知得，，，兩式相減得到， .又由得到，故對所有都成立. 所以，數列是首項為，公比為的等比數列.從而. 由，，成等差數列，可得，即，則. 又，所以.所以. （2）由（1）可知，. 所以雙曲線的離心率 . 由，解得. 因為，所以. 于是，故. 14.（2107全國2卷理科9）若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ）. A．2 B． C． D． 14．解析 取漸近線，化成一般式，圓心到直線的距離為，得，，．故選A. 15.（2017全國1卷理科15）已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點.若，則的離心率為________. 15. 解析 如圖所示，，.因為，所以， ，從而.又因為，所以 ，解得，則. 題型119 雙曲線的焦點三角形 1.（2014 大綱理 9）已知雙曲線的離心率為，焦點為，，點在上，若，則（ ）. A． B． C． D．