2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第10章圓錐曲線-3 拋物線及其性質(zhì)（理科）

第3節(jié) 拋物線及其性質(zhì) 題型120 拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 1.（2013浙江理15）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段 的中點(diǎn)，若，則直線的斜率等于________. 2.(2013全國(guó)新課標(biāo)卷理11）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的方程為（ ）. A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3.（2013山東理11） 拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則（ ）. A. B. C. D. 4.(2013天津理5）已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)． 若雙曲線的離心率為， 的面積為， 則（ ）. A． B． C． D． 5.（2014 湖南理 15）如圖所示，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則________. 6.（2015陜西理14）若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)， 則________． 6．解析 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線準(zhǔn)線方程為 ，所以. 命題意圖 考查雙曲線、拋物線的基本概念. 7.（2016全國(guó)乙理10）以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn).已知， ，則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）. A. B. C. D. 7. B 分析 以開(kāi)口向右的拋物線為例來(lái)解答，其他開(kāi)口同理. 解析 設(shè)拋物線為，圓的方程為，如圖所示. 設(shè)，，點(diǎn)在拋物線上，所以，得， 聯(lián)立①②，解得，即.則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 .故選B. 8.（2016浙江理9）若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則到軸的距離是_______． 8. 解析 由題意知，該拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為.因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以，所以點(diǎn)到軸的距離為9. 9.（2017北京理18（1））已知拋物線過(guò)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別與直線，交于點(diǎn)，，其中為原點(diǎn). （1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； 9.解析 （1）由拋物線過(guò)點(diǎn)，得.所以拋物線的方程為，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為. 10.（2017全國(guó)2卷理科16）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則 ． 10．解析 由，得，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線.如圖所示，由為的中點(diǎn)，故易知線段為梯形的中位線.因?yàn)?，，所?又由拋物線的定義知，且，所以. 題型121 與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題——暫無(wú) 1.（2014 新課標(biāo)1理10）已知拋物線： 的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（ ）. A. B. C. D. 2.（2017全國(guó)1卷理科10）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）. A． B． C． D． 2. 解析 解法一：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)， ，，，直線，直線.聯(lián)立 ，消去整理得， 所以，同理 ，從而，當(dāng)且僅 當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選A. 解法二：設(shè)的傾斜角為，拋物線的準(zhǔn)焦距為．作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，垂直 軸于點(diǎn)，如圖所示. 易知， 所以， 即，同理，所以. 又與垂直，即的傾斜角為，. 而，即， 所以 ，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.故選A. 題型122 拋物線中三角形、四邊形的面積問(wèn)題——暫無(wú) 1.（2014 新課標(biāo)2理10）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交于于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（ ）. A. B. C. D. 2.（2014 四川理 10）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ）. A． B． C． D． 3.（2015浙江理5）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不 同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之 比是（ ）． A. B. C. D. 3. 解析 依題意，．故選A． 4.（2016天津理14）設(shè)拋物線（為參數(shù)，）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.過(guò)拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為.設(shè)，與相交于點(diǎn).若，且的面積為，則的值為_(kāi)________. 4. 解析 拋物線的普通方程為，，. 又，則.由拋物線的定義得，所以， 則.由，得， 所以，， 即，． 5.（2016上海理20）有一塊正方形菜地，所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走．于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示． （1）求菜地內(nèi)的分界線的方程； （2）菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為．設(shè)是上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算以為一邊，另一邊過(guò)點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值． 5.解析 （1）不妨設(shè)設(shè)分界線上任一點(diǎn)為，依題意 化簡(jiǎn)得． （2）因?yàn)?，所以? 設(shè)以為一邊，另一邊過(guò)點(diǎn)的矩形的面積為，則， 設(shè)五邊形面積為，過(guò)作交于點(diǎn)， 則， 因?yàn)?，? 所以五邊形的面積更接近的面積． 題型（附） 拋物線（線性規(guī)劃） 1.（2013江蘇9）拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)椋ò? 三角形內(nèi)部和邊界）.若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是 .