計算國土面積數(shù)值分析課程設(shè)計.doc

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課程設(shè)計題目 第一題 計算國土面積 圖 3 8 是某國的地圖 為了計算它的國土面積 首先對地圖作如下測量 以由西 向東方向為 軸 由南到北方向為 軸 選擇方便的原點 得到了表 3 6 表 3 7 的地xy 圖測量數(shù)據(jù) 比例尺為 30 毫米 數(shù)據(jù)單位 100 公里 實際單位 試由測量數(shù)據(jù) 采用插值的方法產(chǎn)生一張需要的地圖 計算該國國土的近似面積 與它的精確值 156 6500 萬平方公里比較 表 3 6 表 3 7 見附件 表3 6 下邊疆采樣坐標 x y 17 299 18 298 20 288 31 273 41 262 58 254 66 234 72 220 72 207 69 191 57 175 60 166 71 160 104 150 130 137 146 121 160 117 163 106 168 83 179 64 196 63 223 56 258 50 282 52 307 46 315 38 330 32 352 21 377 21 377 16 392 14 428 34 462 43 501 46 524 60 533 75 555 95 542 114 550 138 561 139 574 133 590 133 599 139 610 157 635 162 644 174 649 188 669 200 671 207 677 205 678 206 696 216 720 218 723 225 表3 7 上邊疆采樣坐標 x y 723 225 722 220 710 240 687 256 676 256 659 241 647 245 630 237 619 245 623 254 626 273 633 309 608 308 596 315 581 315 558 290 537 281 511 270 484 270 464 272 456 278 449 290 434 293 425 301 411 303 394 308 368 297 351 303 332 311 329 337 312 342 284 353 281 358 263 365 251 356 249 347 244 346 240 332 247 314 233 297 222 290 217 297 209 298 189 301 180 303 169 307 165 314 165 325 150 328 138 332 138 337 132 336 127 341 122 338 102 332 86 328 65 322 64 316 54 314 32 314 28 307 17 299 MATLAB 求解不規(guī)則圖形面積 摘 要 本文建立在數(shù)值分析的理論基礎(chǔ)上 對原有的數(shù)據(jù)進行三次樣條插值 運用 梯形公式求解面積 能夠在 MATLAB 環(huán)境中運行 給出了理論分析 程序清單以及計算 結(jié)果 更重要的是 還有詳細的對算法的框圖說明 關(guān)鍵詞 MATLAB 不規(guī)則圖形面積 三次樣條插值 復(fù)化梯形公式 問題提出 圖 3 8 是某國的地圖 為了計算它的國土面積 首先對地圖作如下測量 以由西 向東方向為 軸 由南到北方向為 軸 選擇方便的原點 得到了表 3 6 表 3 7 的地xy 圖測量數(shù)據(jù) 比例尺為 30 數(shù)據(jù)單位 100 公里 實際單位 試由測量數(shù)據(jù)采用 插值的方法產(chǎn)生一張需要的地圖 計算該國國土的近似面積 與它的精確值 156 6500 萬平方公里比較 表 3 6 表 3 7 見附件 問題解決 1 用 MATLAB 軟件描點繪出地圖的大概輪廓及三次樣條插值作圖 原始數(shù)據(jù)點所成圖像 三次樣條插值所成圖像 觀察圖形 對三次樣條插值后的圖和原始數(shù)據(jù)圖的比較 可得三次樣條插值后的 圖更加接近真實數(shù)據(jù)所形成的圖形 圖中 地圖的面積記為 s 國土面積記為 S 上邊 疆與 X 軸圍成的面積記為 s2 下邊疆與 X 軸圍成的面積記為 s1 從下面圖中可以得出 s s1 s1 再通過比例轉(zhuǎn)化得 S 觀察圖形發(fā)現(xiàn) 4 個特殊段與 X 軸圍成的面積 分別記 為 s11 55 x 72 s12 542 x 555 s21 619 x 633 s22 240 x 247 對特 殊段的處理見下 地圖面積 s 圖 s2 圖 s1 原始圖像和三次樣條插值的繪圖代碼可以參照附錄 2 編寫 2 對特殊段面積的計算 s11 57 x 72 s12 542 x 555 s21 619 x 633 s22 240 x 247 將特殊段分割出去 對分割出的數(shù)據(jù)進行三次樣條插值 1 再用復(fù)化梯形公式 2 求出特殊段 s11 s12 s21 s22 的值 由于這四個特殊段面積的計算方法類同 所以這里 就以 s11 的計算為例 s11 的計算 A2 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 下邊疆 A11 B13 x2 A2 1 y2 A2 2 x21 max x2 0 001 min x2 y2i1 interp1 x2 y2 x21 spline s11 trapz x21 y2i1 由于 x21 的值是降序的所以符號取反的結(jié)果才是面積 s11 計算結(jié)果為 s11 2 7150e 003 s12 1 3585e 003 s21 3 8407e 003 s22 2 2610e 003 3 計算 s1 和 s2 s1 中包含 s11 和 s12 的圖 s2 中包含 s21 和 s22 的圖 由于 s1 和 s2 的計算方法類同 所以這就以 s1 的計算為例 對分段的數(shù)據(jù)進行三 次樣條插值 除特殊段以外 具體分割見附錄 1 下邊疆 每段都運用復(fù)化梯形公式 并求出和記為 s10 觀察圖形可得出 s10 與 s1 相比就只多算了兩個特殊段的面積 s11 s12 所以 s1 s10 s11 s12 計算 s1 的關(guān)鍵代碼 s10 trapz x10 y1i trapz x30 y3i trapz x40 y4i trapz x60 y6i 用復(fù)化梯形公式求除特殊段以外的各段與 X 軸圍成的面積并求和 計算結(jié)果為 s1 7 4597e 004 s2 2 1257e 005 4 計算 S 從以上的過程已經(jīng)得出 s s2 s1 還要將 s 按比例轉(zhuǎn)化所得就是國土面積 S s s2 s1 S s 100 9 S 計算結(jié)果為 S 1 5331e 006 平方公里 5 計算相對誤差 t 相對誤差的求解公式為 065 1t eS 計算結(jié)果為 t 0 0213 6 誤差分析 誤差的產(chǎn)生主要來源于數(shù)據(jù)點的個數(shù)有點少以及數(shù)據(jù)點之間不夠均勻 這樣三次 樣條插值后的數(shù)據(jù)作圖就會與實際地圖和地形相比有較大的誤差 7 分析和總結(jié) 由于 t 的值較小 所以以上的計算結(jié)果 S 1 5331e 006 平方公里可以作為國土面 積的近似值 在以后的不規(guī)則圖形面積的計算中 此方法可以考慮選擇使用 由于梯 形公式只有一次代數(shù)精確度 3 所以會產(chǎn)生計算的結(jié)果不夠精確 但要很精確求出不 規(guī)則圖形面積 就必須測量出更多的數(shù)據(jù)點以及選用代數(shù)精確度更高的算法 才能夠 更加減少插值和計算上的誤差 至此 國土面積計算完成 注釋 1 三次樣條插值 參照 參考文獻 2 46 50 頁 2 復(fù)化梯形公式 參照 參考文獻 2 90 91 頁 3 代數(shù)精確度 參照 參考文獻 2 88 頁 參考文獻 1 李玉莉等 MATLAB 函數(shù)速查手冊 北京 化學(xué)工業(yè)出版社 2010 2 袁東錦 計算方法 數(shù)值分析 南京 南京師范大學(xué)出版社 2007 3 蒲俊 吉家鋒 伊良忠 MATLAB6 0 數(shù)學(xué)手冊 上海浦東 浦東電子出版社 2002 附錄 1 對附件數(shù)據(jù)的分段 下邊疆 A03 B10 A11 B13 特殊段 s11 A13 B31 A32 B39 A39 B40 特殊段 s12 A40 B56 上邊疆 A03 B11 A11 B14 特殊段 s21 A14 B40 A40 B41 特殊段 s22 A41 B49 A50 B52 A53 B64 2 求國土面積及相對誤差的完整代碼 A1 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 下邊疆 A03 B10 A2 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 下邊疆 A11 B13 A3 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 下邊疆 A13 B31 A4 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 下邊疆 A32 B39 A5 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 下邊疆 A39 B40 A6 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 下邊疆 A40 B56 導(dǎo)入下邊疆的實驗數(shù)據(jù)并分好計算的數(shù)據(jù)段 x1 A1 1 x2 A2 1 x3 A3 1 x4 A4 1 x5 A5 1 x6 A6 1 y1 A1 2 y2 A2 2 y3 A3 2 y4 A4 2 y5 A5 2 y6 A6 2 給相應(yīng)的變量賦值 x10 min x1 0 001 max x1 對每一段數(shù)據(jù)點按連結(jié)順序進行點橫坐標的加密處理 x20 max x2 0 001 min x2 x30 min x3 0 001 max x3 x40 min x4 0 001 max x4 x50 max x5 0 001 min x5 x60 min x6 0 001 max x6 y1i interp1 x1 y1 x10 spline 對數(shù)據(jù)進行三次樣條插值 y2i interp1 x2 y2 x20 spline y3i interp1 x3 y3 x30 spline y4i interp1 x4 y4 x40 spline y5i interp1 x5 y5 x50 spline y6i interp1 x6 y6 x60 spline x x10 x20 x30 x40 x50 x60 y y1i y2i y3i y4i y5i y6i 對三次樣條插值后的數(shù)據(jù)按連結(jié)順序合并 s10 trapz x10 y1i trapz x30 y3i trapz x40 y4i trapz x60 y6i 用梯形公式求除特殊段以外的各段與 X 軸圍成的面積并求和 s11 trapz x20 y2i 對特殊段面積 s11 的計算 s12 trapz x50 y5i 對特殊段面積 s12 的計算 s1 s10 s11 s12 計算下疆界與 X 軸圍成面積的精確值 plot x y hold on A1 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 上邊疆 A03 B11 A2 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 上邊疆 A11 B14 A3 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 上邊疆 A14 B40 A4 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 上邊疆 A40 B41 A5 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 上邊疆 A41 B49 A6 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 上邊疆 A50 B52 A7 xlsread 第一題數(shù)據(jù) 上邊疆 A53 B64 導(dǎo)入上邊疆的實驗數(shù)據(jù)并分好計算的數(shù)據(jù)段 x1 A1 1 x2 A2 1 x3 A3 1 x4 A4 1 x5 A5 1 x6 A6 1 x7 A7 1 y1 A1 2 y2 A2 2 y3 A3 2 y4 A4 2 y5 A5 2 y6 A6 2 y7 A7 2 給相應(yīng)的變量賦值 x10 min x1 0 001 max x1 對每一段數(shù)據(jù)點按連結(jié)順序進行點橫坐標的加密處理 x20 max x2 0 001 min x2 x30 min x3 0 001 max x3 x40 max x4 0 001 min x4 x50 min x5 0 001 max x5 x60 min x6 0 001 max x6 x70 min x7 0 001 max x7 y1i interp1 x1 y1 x10 spline 對數(shù)據(jù)進行三次樣條插值 y2i interp1 x2 y2 x20 spline y3i interp1 x3 y3 x30 spline y4i interp1 x4 y4 x40 spline y5i interp1 x5 y5 x50 spline y6i interp1 x6 y6 x60 spline y7i interp1 x7 y7 x70 spline x x70 x60 x50 x40 x30 x20 x10 y y7i y6i y5i y4i y3i y2i y1i 對三次樣條插值后的數(shù)據(jù)按連結(jié)順序合并 s20 trapz x10 y1i trapz x30 y3i trapz x50 y5i trapz x60 y6i trapz x70 y7i 用梯形公式求除特殊段以外的各段與 X 軸圍成的面積并求和 s21 trapz x20 y2i 對特殊段面積 s21 的計算 s22 trapz x40 y4i 對特殊段面積 s22 的計算 s2 s20 s21 s22 計算上疆界與 X 軸圍成面積的精確值 s s2 s1 S s 100 9 計算實際國土面積 S plot x y grid on t abs 1 5665e 006 S 1 5665e 006 計算相對誤差 t