高考總復習一輪《名師一號-數(shù)學》第48講.ppt

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第四十八講 第四十九講 文 空間向量的坐標運算 回歸課本1 如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直 且長都為1 則這個基底叫做單位正交基底 常用i j k來表示 在空間選定一點O和一個單位正交基底 如圖 以點O為原點 分別以i j k的方向為正方向建立三條數(shù)軸 x軸 y軸 z軸 它們都叫坐標軸 這時我們說建立了一個空間直角坐標系O xyz 點O叫原點 向量i j k都叫做坐標向量 通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面 分別稱xOy平面 yOz平面 zOx平面 作空間直角坐標系O xyz時 一般使 xOy 135 yOz 90 對于空間任一向量a 由空間向量的基本定理 存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 a1 a2 a3 使a a1i a2j a3k 有序?qū)崝?shù)組 a1 a2 a3 叫做a在空間直角坐標系O xyz中的坐標 記為a a1 a2 a3 對于空間任一點A 對應一個向量 于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x y z 使 xi yj zk 即點A的坐標為 x y z 2 向量的直角坐標運算設a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 則a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1b1 a2b2 a3b3 a b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 R 或 b1 b2 b3均不為0 a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 設A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 這就是說 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標 答案 C 答案 B 答案 B 答案 D 答案 A 類型一空間向量的坐標運算解題準備 向量坐標的運算 就是向量的同名坐標之間的代數(shù)運算 向量相等就是對應坐標相等 要注意區(qū)分點的坐標與向量的坐標的關(guān)系 典例1 設向量a 3 5 4 b 2 1 8 計算2a 3b 3a 2b a b以及a與b所成的角的余弦值 并確定 的值 使 a b與z軸垂直 3 2 5 4 8 0 0 1 4 8 0知 只要 滿足 4 8 0即可使 a b與z軸垂直 點評 由本例可知 要使向量a x1 x2 x3 與z軸垂直 只要x3 0即可 可見 要使向量a與某一個坐標軸垂直 只要向量a的相應坐標為零即可 且反之亦真 空間向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算 解決此類問題關(guān)鍵是熟練運用公式 類型二空間向量的平行與垂直問題解題準備 用向量方法證明線面平行有多種方法 一是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線 平行 向量 二是證明直線的方向向量與該平面的法向量垂直 還可以證明直線的方向向量與平面的兩不共線向量是共面向量 即利用平面向量基本定理進行證明 同學們不妨試一下這種方法 典例2 如圖 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 AB AF 1 M是線段EF的中點 1 求證 AM 平面BDE 2 求證 AM 平面BDF 3 求二面角的大小 如圖所示 在二面角 l 中 n1和n2分別為平面 和 的法向量 記二面角 l 的大小為 由cos n1 n2 m得 若二面角為銳角 則 arccos m 若二面角為鈍角 則 arccos m 典例3 2011 淄博市一模 如圖 三棱錐P ABC中 PC 平面ABC PC AC 2 AB BC D是PB上一點 且CD 平面PAB 1 求證 AB 平面PCB 2 求異面直線AP與BC所成的角的大小 3 求二面角C PA B的余弦值 點評 本題第 2 問建立空間直角坐標系 如果選取的方式不同 則圖中各點的坐標表示也不相同 第 3 問利用兩平面的法向量研究二面角問題 避免了輔助線的麻煩 但解題關(guān)鍵是平面法向量的求法 以及觀察二面角是銳角還是鈍角 不然容易出錯 平面法向量的求法 設平面的法向量為n x y z 利用與平面內(nèi)的兩個向量a b垂直 其數(shù)量積為零 列出兩個三元一次方程 然后只要取其某一組解 即得平面的法向量 如本例中平面PAC的法向量n就是這樣求得的 探究1 如圖 已知點P在正方體ABCD A B C D 的對角線BD 上 PDA 60 1 求DP與CC 所成角的大小 2 求DP與平面AA D D所成角的大小 點評 本題考查空間向量的基礎(chǔ)知識 空間向量在實際問題中的應用及運算能力 探究2 如圖所示 四邊形ABCD是菱形 PA 平面ABCD PA AD 2 BAD 60 1 求證 平面PBD 平面PAC 2 求點A到平面PBD的距離 3 求異面直線AB與PC的距離 解析 以AC BD的交點為坐標原點 快速解題技法如圖 長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 4 AD 3 AA1 2 E F分別是AB BC上的點 且EB FB 1 1 求二面角C DE C1的正切值 2 求直線EC1與FD1所成角的余弦值 快解 2 如圖延長BA 取AG BE 1 連結(jié)D1G 則D1G EC1 FD1G為所求 名師作業(yè) 練全能 點擊進入word