數(shù)學分析教案 (華東師大版)第七章實數(shù)的完備性

《數(shù)學分析》教案 第七章 實數(shù)的完備性 教學目的： 1.使學生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義； 2.明確基本定理是數(shù)學分析的理論基礎，并能應用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關命題，從而掌握應用基本定理進行分析論證的能力。 教學重點難點：本章的重點是實數(shù)完備性的基本定理的證明；難點是基本定理的應用。 教學時數(shù)：14學時 § 1 關于實數(shù)集完備性的基本定理（4學時） 教學目的： 1.使學生掌握六個基本定理，能準確地加以表述，并深刻理解其實質(zhì)意義； 2.明確基本定理是數(shù)學分析的理論基礎。 教學重點難點：實數(shù)完備性的基本定理的證明。 一．確界存在定理：回顧確界概念．  Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界 . 二. 單調(diào)有界原理: 回顧單調(diào)和有界概念 . Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 . 三.  Cantor閉區(qū)間套定理 : 1.  區(qū)間套: 設 是一閉區(qū)間序列. 若滿足條件 ⅰ> 對 , 有 , 即 , 亦即后一個閉區(qū)間包含在前一個閉區(qū)間中 ; ⅱ> . 即當 時區(qū)間長度趨于零. 則稱該閉區(qū)間序列為一個遞縮閉區(qū)間套,簡稱為區(qū)間套 .  簡而言之, 所謂區(qū)間套是指一個 “閉、縮、套” 區(qū)間列.  區(qū)間套還可表達為: . 我們要提請大家注意的是, 這里涉及兩個數(shù)列 和 , 其中 遞增, 遞減. 例如 和 都是區(qū)間套. 但 、 和 都不是. 2.  Cantor區(qū)間套定理: Th 3 設 是一閉區(qū)間套. 則存在唯一的點 ,使對 有 . 簡言之, 區(qū)間套必有唯一公共點.   四． Cauchy收斂準則 —— 數(shù)列收斂的充要條件 :  1.  基本列 : 回顧基本列概念 . 基本列的直觀意義 . 基本列亦稱為Cauchy列.  例1 驗證以下兩數(shù)列為Cauchy列 : ⑴ . ⑵ . 解 ⑴ ; 對 ，為使 ，易見只要 . 于是取 . ⑵ . 當 為偶數(shù)時 , 注意到上式絕對值符號內(nèi)有偶數(shù)項和下式每個括號均為正號 , 有 , 又 . 當 為奇數(shù)時 , , . 綜上 , 對任何自然數(shù) , 有 . ……   Cauchy列的否定: 例2 . 驗證數(shù)列 不是Cauchy列. 證 對 , 取 , 有 . 因此, 取 ,…… 2.       Cauchy收斂原理: Th 4 數(shù)列 收斂 是Cauchy列. ( 要求學生復習函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)的Cauchy準則，并以Cauchy收斂原理為依據(jù)，利用Heine歸并原則給出證明 )   五. 致密性定理: 數(shù)集的聚點 定義 設 是無窮點集. 若在點 (未必屬于 )的任何鄰域內(nèi)有 的無窮多個點, 則稱點 為 的一個聚點. 數(shù)集 = 有唯一聚點 , 但 ; 開區(qū)間 的全體聚點之集是閉區(qū)間; 設 是 中全體有理數(shù)所成之集, 易見 的聚點集是閉區(qū)間 .  1.  列緊性: 亦稱為Weierstrass收斂子列定理.  Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界數(shù)列必有收斂子列.  2. 聚點原理 : Weierstrass聚點原理.  Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.   六. Heine–Borel 有限復蓋定理: 1.  復蓋: 先介紹區(qū)間族 . 定義( 復蓋 ) 設 是一個數(shù)集 , 是區(qū)間族 . 若對 ,則稱區(qū)間族 復蓋了 , 或稱區(qū)間族 是數(shù)集 的一個復蓋. 記為 若每個 都是開區(qū)間, 則稱區(qū)間族 是開區(qū)間族 . 開區(qū)間族常記為 . 定義( 開復蓋 ) 數(shù)集 的一個開區(qū)間族復蓋稱為 的一個開復蓋, 簡稱為 的一個復蓋.  子復蓋、有限復蓋、有限子復蓋.   例3  復蓋了區(qū)間 , 但不能復蓋 ;復蓋 , 但不能復蓋 . 2.  Heine–Borel 有限復蓋定理:   Th 7 閉區(qū)間的任一開復蓋必有有限子復蓋.   § 2 實數(shù)基本定理等價性的證明（4學時） 證明若干個命題等價的一般方法.  本節(jié)證明七個實數(shù)基本定理等價性的路線 : 證明按以下三條路線進行:  Ⅰ: 確界原理 單調(diào)有界原理 區(qū)間套定理 Cauchy收斂準則 確界原理 ; Ⅱ: 區(qū)間套定理 致密性定理 Cauchy收斂準則 ;   Ⅲ: 區(qū)間套定理 Heine–Borel 有限復蓋定理 區(qū)間套定理 .  一. “Ⅰ” 的證明: (“確界原理 單調(diào)有界原理”已證明過 ).   1.  用“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”:   Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 .   證 2. 用“單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”: Th 3 設 是一閉區(qū)間套. 則存在唯一的點 ,使對 有 . 證 系1 若 是區(qū)間套 確定的公共點, 則對 , 當 時, 總有 . 系2 若 是區(qū)間套 確定的公共點, 則有 ↗ , ↘ , . 3. 用“區(qū)間套定理”證明“Cauchy收斂準則”: Th 4 數(shù)列 收斂 是Cauchy列. 引理 Cauchy列是有界列. ( 證 )   Th 4 的證明: ( 只證充分性 ) 教科書P217—218上的證明留作閱讀 . 現(xiàn)采用[3]P70—71例2的證明, 即三等分的方法, 該證法比較直觀.   4． 用“Cauchy收斂準則” 證明“確界原理” ：   Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界 .  證 （只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設 為非空有上界數(shù)集 . 當 為有限集時 , 顯然有上確界 .下設 為無限集, 取 不是 的上界, 為 的上界. 對分區(qū)間 , 取 , 使 不是 的上界, 為 的上界. 依此得閉區(qū)間列. 驗證 為Cauchy列, 由Cauchy收斂準則, 收斂; 同理 收斂. 易見 ↘. 設 ↘ .有 ↗ .下證 .用反證法驗證 的上界性和最小性. 二.“Ⅱ” 的證明:   1.  用“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”:   Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界數(shù)列必有收斂子列.   證 （ 突出子列抽取技巧 ）  Th 6 每一個有界無窮點集必有聚點.  證 （ 用對分法 ）  2．用“致密性定理” 證明“Cauchy收斂準則” ： Th 4 數(shù)列 收斂 是Cauchy列. 證 （ 只證充分性 ）證明思路 ：Cauchy列有界 有收斂子列 驗證收斂子列的極限即為 的極限. 三.   “Ⅲ” 的證明:   1.   用“區(qū)間套定理”證明“Heine–Borel 有限復蓋定理”:   證 2.  用“Heine–Borel 有限復蓋定理” 證明“區(qū)間套定理”:   證 采用[3]P72例4的證明.   § 3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明（4學時）   教學目的： 能應用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關命題，從而掌握應用基本定理進行分析論證的能力。 教學重點難點：基本定理的應用。 一. 有界性:   命題1 , 在 上 .  證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ). 反證法.   證法 二 ( 用列緊性 ). 反證法.  證法 三 ( 用有限復蓋定理 ).  二.   最值性:  命題2 , 在 上取得最大值和最小值. ( 只證取得最大值 )  證 ( 用確界原理 ) 參閱[1]P226[ 證法 二 ]后半段.  三. 介值性: 證明與其等價的“零點定理 ”.   命題3 ( 零點定理 )   證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ) .  證法 二 ( 用確界原理 ). 不妨設 .  令 , 則 非空有界, 有上確界. 設 ,有 . 現(xiàn)證 , ( 為此證明 且 ). 取 > 且. 由 在點 連續(xù)和 , , .于是.由在點連續(xù)和, . 因此只能有 . 證法 三 ( 用有限復蓋定理 ). 四. 一致連續(xù)性:   命題4 ( Cantor定理 )  證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ) . 參閱[1]P229—230 [ 證法一 ]   證法 二 ( 用列緊性 ). 參閱[1]P229—230 [ 證法二 ]   習 題 課（2學時）   一．實數(shù)基本定理互證舉例：   例1  用“區(qū)間套定理”證明“單調(diào)有界原理”. 證 設數(shù)列 遞增有上界. 取閉區(qū)間 , 使 不是 的上界, 是 的上界. 易見在閉區(qū)間 內(nèi)含有數(shù)列 的無窮多項, 而在 外僅含有 的有限項. 對分 , 取 使有 的性質(zhì).…….于是得區(qū)間套 ,有公共點 . 易見在點 的任何鄰域內(nèi)有數(shù)列 的無窮多項而在其外僅含有 的有限項, . 例2  用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”. 證 為區(qū)間套. 先證每個 為數(shù)列 的下界, 而每個 為數(shù)列的上界. 由確 界原理 , 數(shù)列 有上確界, 數(shù)列 有下確界 . 設 , . 易見有 和 . 由 ， . 例3  用“有限復蓋定理”證明“聚點原理”.  證 ( 用反證法 ) 設 為有界無限點集, . 反設 的每一點都不是 的聚點, 則對 , 存在開區(qū)間 , 使在 內(nèi)僅有 的有限個點. …… .   例4  用“確界原理”證明“聚點原理”.  證 設 為有界無限點集. 構造數(shù)集 中大于 的點有無窮多個 . 易見數(shù)集 非空有上界, 由確界原理, 有上確界. 設 . 則對 ,由 不是 的上界, 中大于 的點有無窮多個; 由 是 的上界,  中大于 的點僅有有限個. 于是, 在 內(nèi)有 的無窮多個點,即 是 的一個聚點 .  二. 實數(shù)基本定理應用舉例： 例5  設 是閉區(qū)間 上的遞增函數(shù), 但不必連續(xù) . 如果 ,,則,使.(山東大學研究生入學試題) 證法 一 ( 用確界技術 . 參閱[3] P76例10 證法1 )  設集合 . 則 , 不空 ; ,有界 .由確界原理 , 有上確界. 設 , 則 .下證 . ⅰ> 若 , 有 ; 又 , 得 . 由遞增和 , 有 , 可見 . 由 , . 于是 , 只能有 . ⅱ> 若 , 則存在 內(nèi)的數(shù)列 , 使 ↗ , ; 也存在數(shù)列, ↘ , . 由 遞增, 以及 , 就有式對任何 成立 . 令 , 得 于是有 . 證法二 ( 用區(qū)間套技術, 參閱[3] P77例10 證法2 ) 當 或 時, 或 就是方程 在 上的實根 . 以下總設 . 對分區(qū)間 , 設分點為 . 倘有 , 就是方程 在 上的實根.(為行文簡練計, 以下總設不會出現(xiàn)這種情況 ) . 若 , 取 ; 若, 取 , 如此得一級區(qū)間 . 依此構造區(qū)間套 , 對 ,有 . 由區(qū)間套定理, , 使對任何 , 有 . 現(xiàn)證 . 事實上, 注意到 時 ↗ 和 ↘ 以 及 遞增, 就有 . 令 , 得 于是有 . 例6  設在閉區(qū)間 上函數(shù) 連續(xù), 遞增 , 且有 ,. 試證明: 方程 在區(qū)間 內(nèi)有實根 . （ 西北師大2001年碩士研究生入學試題 ） 證 構造區(qū)間套 ,使 .由區(qū)間套定理, , 使對 , 有 . 現(xiàn)證 . 事實上, 由 在 上的遞增性和 的構造以及 ↗ 和 ↘ ,, 有 . 注意到 在點 連續(xù)，由Heine歸并原則, 有 , , . 為方程 在區(qū)間 內(nèi)的實根.  例7  試證明: 區(qū)間 上的全體實數(shù)是不可列的 .  證 ( 用區(qū)間套技術, 具體用反證法 ) 反設區(qū)間 上的全體實數(shù)是可列的,即可排成一列: 把區(qū)間 三等分，所得三個區(qū)間中至少有一個區(qū)間不含 ，記該區(qū)間為一級區(qū)間 . 把區(qū)間 三等分，所得三個區(qū)間中至少有一個區(qū)間不含 ，記該區(qū)間為二級區(qū)間 . …… .依此得區(qū)間套 , 其中區(qū)間 不含 . 由區(qū)間套定理, , 使對 , 有 . 當然有 .但對 有 而 , . 矛盾 . - 13 -