數(shù)學(xué)分析教案 (華東師大版)第七章實(shí)數(shù)的完備性

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1、《數(shù)學(xué)分析》教案 第七章 實(shí)數(shù)的完備性 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生掌握六個(gè)基本定理，能準(zhǔn)確地加以表述，并深刻理解其實(shí)質(zhì)意義； 2.明確基本定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)，并能應(yīng)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應(yīng)用基本定理進(jìn)行分析論證的能力。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是實(shí)數(shù)完備性的基本定理的證明；難點(diǎn)是基本定理的應(yīng)用。 教學(xué)時(shí)數(shù)：14學(xué)時(shí) § 1 關(guān)于實(shí)數(shù)集完備性的基本定理（4學(xué)時(shí)） 教學(xué)目的： 1.使學(xué)生掌握六個(gè)基本定理，能準(zhǔn)確地加以表述，并深刻理解其實(shí)質(zhì)意義； 2.明確基本定理是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：實(shí)數(shù)完備性的基本定

2、理的證明。 一．確界存在定理：回顧確界概念．? Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界 . 二.?單調(diào)有界原理: 回顧單調(diào)和有界概念 . Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 . 三.? Cantor閉區(qū)間套定理 : 1.??區(qū)間套: 設(shè) 是一閉區(qū)間序列. 若滿足條件 ⅰ> 對(duì) , 有 , 即 , 亦即后一個(gè)閉區(qū)間包含在前一個(gè)閉區(qū)間中 ; ⅱ> . 即當(dāng) 時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度趨于零. 則稱該閉區(qū)間序列為一個(gè)遞縮閉區(qū)間套,簡(jiǎn)稱為區(qū)間套 .? 簡(jiǎn)而言之, 所謂區(qū)間套是指一個(gè) “閉、縮、套” 區(qū)間列.? 區(qū)間套還可表達(dá)為:

3、 . 我們要提請(qǐng)大家注意的是, 這里涉及兩個(gè)數(shù)列 和 , 其中 遞增, 遞減. 例如 和 都是區(qū)間套. 但 、 和 都不是. 2.? Cantor區(qū)間套定理: Th 3 設(shè) 是一閉區(qū)間套. 則存在唯一的點(diǎn) ,使對(duì) 有 . 簡(jiǎn)言之, 區(qū)間套必有唯一公共點(diǎn). ? 四． Cauchy收斂準(zhǔn)則 —— 數(shù)列收斂的充要條件 :? 1.??基本列 : 回顧基本列概念 . 基本列的直觀意義 . 基本列亦稱為Cauchy列.? 例1?驗(yàn)證以下兩數(shù)列為Cauchy列 : ⑴ . ⑵ . 解 ⑴ ;

4、 對(duì) ，為使 ，易見只要 . 于是取 . ⑵ . 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí) , 注意到上式絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)有偶數(shù)項(xiàng)和下式每個(gè)括號(hào)均為正號(hào) , 有 , 又 . 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí) , , . 綜上 , 對(duì)任何自然數(shù) , 有 . …… ? Cauchy列的否定: 例2 .

5、 驗(yàn)證數(shù)列 不是Cauchy列. 證 對(duì) , 取 , 有 . 因此, 取 ,…… 2.?????? Cauchy收斂原理: Th 4 數(shù)列 收斂 是Cauchy列. ( 要求學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)的Cauchy準(zhǔn)則，并以Cauchy收斂原理為依據(jù)，利用Heine歸并原則給出證明 ) ? 五. 致密性定理: 數(shù)集的聚點(diǎn) 定義 設(shè) 是無窮點(diǎn)集. 若在點(diǎn) (未必屬于 )的任何鄰域內(nèi)有 的無窮多個(gè)點(diǎn), 則稱點(diǎn) 為 的一個(gè)聚點(diǎn). 數(shù)集 = 有唯一聚點(diǎn) , 但 ; 開區(qū)間 的全體聚點(diǎn)之集是

6、閉區(qū)間; 設(shè) 是 中全體有理數(shù)所成之集, 易見 的聚點(diǎn)集是閉區(qū)間 .? 1.??列緊性: 亦稱為Weierstrass收斂子列定理.? Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界數(shù)列必有收斂子列.? 2. 聚點(diǎn)原理 : Weierstrass聚點(diǎn)原理.? Th 6 每一個(gè)有界無窮點(diǎn)集必有聚點(diǎn). ? 六. Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理: 1.??復(fù)蓋: 先介紹區(qū)間族 . 定義( 復(fù)蓋 ) 設(shè) 是一個(gè)數(shù)集 , 是區(qū)間族 . 若對(duì) ,則稱區(qū)間族 復(fù)蓋了 , 或稱區(qū)間族 是數(shù)集 的一個(gè)復(fù)蓋. 記為 若每個(gè)

7、都是開區(qū)間, 則稱區(qū)間族 是開區(qū)間族 . 開區(qū)間族常記為 . 定義( 開復(fù)蓋 ) 數(shù)集 的一個(gè)開區(qū)間族復(fù)蓋稱為 的一個(gè)開復(fù)蓋, 簡(jiǎn)稱為 的一個(gè)復(fù)蓋.? 子復(fù)蓋、有限復(fù)蓋、有限子復(fù)蓋. ? 例3? 復(fù)蓋了區(qū)間 , 但不能復(fù)蓋 ;復(fù)蓋 , 但不能復(fù)蓋 . 2.? Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理: ? Th 7 閉區(qū)間的任一開復(fù)蓋必有有限子復(fù)蓋. ? § 2 實(shí)數(shù)基本定理等價(jià)性的證明（4學(xué)時(shí)） 證明若干個(gè)命題等價(jià)的一般方法.? 本節(jié)證明七個(gè)實(shí)數(shù)基本定理等價(jià)性的路線 : 證明按以下三條路線進(jìn)行:? Ⅰ: 確界原理 單調(diào)有界原理

8、 區(qū)間套定理 Cauchy收斂準(zhǔn)則 確界原理 ; Ⅱ: 區(qū)間套定理 致密性定理 Cauchy收斂準(zhǔn)則 ; ? Ⅲ: 區(qū)間套定理 Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理 區(qū)間套定理 .? 一. “Ⅰ” 的證明: (“確界原理 單調(diào)有界原理”已證明過 ). ? 1.??用“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”: ? Th 2 單調(diào)有界數(shù)列必收斂 . ? 證 2. 用“單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”: Th 3 設(shè) 是一閉區(qū)間套. 則存在唯一的點(diǎn) ,使對(duì) 有 . 證 系1 若 是區(qū)間套 確定的公共點(diǎn),

9、 則對(duì) , 當(dāng) 時(shí), 總有 . 系2 若 是區(qū)間套 確定的公共點(diǎn), 則有 ↗ , ↘ , . 3. 用“區(qū)間套定理”證明“Cauchy收斂準(zhǔn)則”: Th 4 數(shù)列 收斂 是Cauchy列. 引理 Cauchy列是有界列. ( 證 ) ? Th 4 的證明: ( 只證充分性 ) 教科書P217—218上的證明留作閱讀 . 現(xiàn)采用[3]P70—71例2的證明, 即三等分的方法, 該證法比較直觀. ? 4． 用“Cauchy收斂準(zhǔn)則” 證明“確界原理” ： ? Th 1 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界 .?

10、 證 （只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設(shè) 為非空有上界數(shù)集 . 當(dāng) 為有限集時(shí) , 顯然有上確界 .下設(shè) 為無限集, 取 不是 的上界, 為 的上界. 對(duì)分區(qū)間 , 取 , 使 不是 的上界, 為 的上界. 依此得閉區(qū)間列. 驗(yàn)證 為Cauchy列, 由Cauchy收斂準(zhǔn)則, 收斂; 同理 收斂. 易見 ↘. 設(shè) ↘ .有 ↗ .下證 .用反證法驗(yàn)證 的上界性和最小性. 二.“Ⅱ” 的證明: ? 1.??用“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”: ? Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界數(shù)列必有收斂子列. ? 證 （ 突出子列抽

11、取技巧 ）? Th 6 每一個(gè)有界無窮點(diǎn)集必有聚點(diǎn).? 證 （ 用對(duì)分法 ）? 2．用“致密性定理” 證明“Cauchy收斂準(zhǔn)則” ： Th 4 數(shù)列 收斂 是Cauchy列. 證 （ 只證充分性 ）證明思路 ：Cauchy列有界 有收斂子列 驗(yàn)證收斂子列的極限即為 的極限. 三.???“Ⅲ” 的證明: ? 1.?? 用“區(qū)間套定理”證明“Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理”: ? 證 2.??用“Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理” 證明“區(qū)間套定理”: ? 證 采用[3]P72例4的證明. ?

12、 § 3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明（4學(xué)時(shí)） ? 教學(xué)目的： 能應(yīng)用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)和一些有關(guān)命題，從而掌握應(yīng)用基本定理進(jìn)行分析論證的能力。 教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：基本定理的應(yīng)用。 一. 有界性: ? 命題1 , 在 上 .? 證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ). 反證法. ? 證法 二 ( 用列緊性 ). 反證法.? 證法 三 ( 用有限復(fù)蓋定理 ).? 二.???最值性:? 命題2 , 在 上取得最大值和最小值. ( 只證取得最

13、大值 )? 證 ( 用確界原理 ) 參閱[1]P226[ 證法 二 ]后半段.? 三.?介值性: 證明與其等價(jià)的“零點(diǎn)定理 ”. ? 命題3 ( 零點(diǎn)定理 ) ? 證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ) .? 證法 二 ( 用確界原理 ). 不妨設(shè) .? 令 , 則 非空有界, 有上確界. 設(shè) ,有 . 現(xiàn)證 , ( 為此證明 且 ). 取 > 且. 由 在點(diǎn) 連續(xù)和 , , .于是.由在點(diǎn)連續(xù)和, . 因此只能有 . 證法 三 ( 用有限復(fù)蓋定理 ). 四

14、. 一致連續(xù)性: ? 命題4 ( Cantor定理 )? 證法 一 ( 用區(qū)間套定理 ) . 參閱[1]P229—230 [ 證法一 ] ? 證法 二 ( 用列緊性 ). 參閱[1]P229—230 [ 證法二 ] ? 習(xí) 題 課（2學(xué)時(shí)） ? 一．實(shí)數(shù)基本定理互證舉例： ? 例1? 用“區(qū)間套定理”證明“單調(diào)有界原理”. 證 設(shè)數(shù)列 遞增有上界. 取閉區(qū)間 , 使 不是 的上界, 是 的上界. 易見在閉區(qū)間 內(nèi)含有數(shù)列 的無窮多項(xiàng), 而在 外僅含有 的有

15、限項(xiàng). 對(duì)分 , 取 使有 的性質(zhì).…….于是得區(qū)間套 ,有公共點(diǎn) . 易見在點(diǎn) 的任何鄰域內(nèi)有數(shù)列 的無窮多項(xiàng)而在其外僅含有 的有限項(xiàng), . 例2? 用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”. 證 為區(qū)間套. 先證每個(gè) 為數(shù)列 的下界, 而每個(gè) 為數(shù)列的上界. 由確 界原理 , 數(shù)列 有上確界, 數(shù)列 有下確界 . 設(shè) , . 易見有 和 . 由 ， . 例3? 用“有限復(fù)蓋定理”證明“聚點(diǎn)原理”.? 證 ( 用反證法 ) 設(shè) 為有界無限點(diǎn)集, . 反設(shè) 的每一點(diǎn)都不是 的聚點(diǎn), 則對(duì) , 存在開區(qū)間 , 使在 內(nèi)僅有 的有限個(gè)點(diǎn). …

16、… . ? 例4? 用“確界原理”證明“聚點(diǎn)原理”.? 證 設(shè) 為有界無限點(diǎn)集. 構(gòu)造數(shù)集 中大于 的點(diǎn)有無窮多個(gè) . 易見數(shù)集 非空有上界, 由確界原理, 有上確界. 設(shè) . 則對(duì) ,由 不是 的上界, 中大于 的點(diǎn)有無窮多個(gè); 由 是 的上界,? 中大于 的點(diǎn)僅有有限個(gè). 于是, 在 內(nèi)有 的無窮多個(gè)點(diǎn),即 是 的一個(gè)聚點(diǎn) .? 二.?實(shí)數(shù)基本定理應(yīng)用舉例： 例5? 設(shè) 是閉區(qū)間 上的遞增函數(shù), 但不必連續(xù) . 如果 ,,則,使.(山東大學(xué)研究生入學(xué)試題) 證法 一 ( 用確界技術(shù) . 參閱[3] P76例10 證法1 )?

17、設(shè)集合 . 則 , 不空 ; ,有界 .由確界原理 , 有上確界. 設(shè) , 則 .下證 . ⅰ> 若 , 有 ; 又 , 得 . 由遞增和 , 有 , 可見 . 由 , . 于是 , 只能有 . ⅱ> 若 , 則存在 內(nèi)的數(shù)列 , 使 ↗ , ; 也存在數(shù)列, ↘ , . 由 遞增, 以及 , 就有式對(duì)任何 成立 . 令 , 得 于是有 . 證法二 ( 用區(qū)間套技術(shù), 參閱[3] P77例10 證法2 ) 當(dāng) 或 時(shí), 或 就是方程 在 上的實(shí)根 . 以下總設(shè) . 對(duì)分區(qū)間 , 設(shè)分點(diǎn)為 . 倘有 , 就是方程 在 上的實(shí)根.(為行文簡(jiǎn)練計(jì),

18、以下總設(shè)不會(huì)出現(xiàn)這種情況 ) . 若 , 取 ; 若, 取 , 如此得一級(jí)區(qū)間 . 依此構(gòu)造區(qū)間套 , 對(duì) ,有 . 由區(qū)間套定理, , 使對(duì)任何 , 有 . 現(xiàn)證 . 事實(shí)上, 注意到 時(shí) ↗ 和 ↘ 以 及 遞增, 就有 . 令 , 得 于是有 . 例6? 設(shè)在閉區(qū)間 上函數(shù) 連續(xù), 遞增 , 且有 ,. 試證明: 方程 在區(qū)間 內(nèi)有實(shí)根 . （ 西北師大2001年碩士研究生入學(xué)試題 ） 證 構(gòu)造區(qū)間套 ,使 .由區(qū)間套定理, , 使對(duì) , 有 . 現(xiàn)證 . 事實(shí)上, 由 在 上的遞增性和 的構(gòu)造以及 ↗ 和 ↘

19、 ,, 有 . 注意到 在點(diǎn) 連續(xù)，由Heine歸并原則, 有 , , . 為方程 在區(qū)間 內(nèi)的實(shí)根.? 例7? 試證明: 區(qū)間 上的全體實(shí)數(shù)是不可列的 .? 證 ( 用區(qū)間套技術(shù), 具體用反證法 ) 反設(shè)區(qū)間 上的全體實(shí)數(shù)是可列的,即可排成一列: 把區(qū)間 三等分，所得三個(gè)區(qū)間中至少有一個(gè)區(qū)間不含 ，記該區(qū)間為一級(jí)區(qū)間 . 把區(qū)間 三等分，所得三個(gè)區(qū)間中至少有一個(gè)區(qū)間不含 ，記該區(qū)間為二級(jí)區(qū)間 . …… .依此得區(qū)間套 , 其中區(qū)間 不含 . 由區(qū)間套定理, , 使對(duì) , 有 . 當(dāng)然有 .但對(duì) 有 而 , . 矛盾 . - 13 -