（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 14個(gè)填空題專項(xiàng)強(qiáng)化練（七）平面向量與復(fù)數(shù)

14個(gè)填空題專項(xiàng)強(qiáng)化練(七)　平面向量與復(fù)數(shù) A組——題型分類練 題型一　平面向量的線性運(yùn)算 1．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若＋2＝3，則的值為________． 解析：由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝. 答案： 2．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝________(用a，b表示)． 解析：由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 3．已知Rt△ABC的面積為2，∠C＝90°，點(diǎn)P是Rt△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足＝＋，則·的最大值是________． 解析：由條件可知||·||＝4，·＝0，因?yàn)椋剑剑?，＝－＝－－，?#183;＝·＝97－9||－4||≤97－12×2＝73，當(dāng)且僅當(dāng)9||＝4||，即||＝，||＝3時(shí)等號(hào)成立． 答案：73 題型二　平面向量的坐標(biāo)表示 1．在?ABCD中，AC為一條對(duì)角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標(biāo)為________． 解析：因?yàn)椋剑?－1，－1)， 所以＝－＝－＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5) 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值是________． 解析：因?yàn)閡＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， 所以8－4x＝3＋6x，所以x＝. 答案： 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝____________. 解析：不妨設(shè)c＝(m，n)， 則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 對(duì)于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 對(duì)于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.② 聯(lián)立①②，解得m＝－，n＝－. 故c＝. 答案： 題型三　平面向量的數(shù)量積 1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：依題意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)·(a－2b)＝7λ＋1＝0，λ＝－. 答案：－ 2．已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與2a－b夾角的余弦值為__________． 解析：法一：不妨設(shè)|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝， 又因?yàn)閨a|＝1，|2a－b|＝＝＝， 所以a與2a－b夾角的余弦值為＝＝. 法二：(特殊化、坐標(biāo)化) 設(shè)|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，則向量a，b，a＋b構(gòu)成以1為邊長(zhǎng)的正三角形， 故可設(shè)a＝(1,0)，b＝，a＋b＝， 則a與2a－b的夾角的余弦值為＝＝＝. 答案： 3．已知向量與的夾角為120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：由題意得，·＝－3，由·＝(λ＋)·(－)＝0，得λ·－λ2＋2－·＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝. 答案： 4.如圖，已知△ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q.若||＝3，||＝5，則(＋)·(－)的值為________． 解析：由題意知，(＋)·(－)＝(2＋)·＝2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝32－52＝－16. 答案：－16 5．在△ABC中，已知AB＝，C＝60°，則·的最大值為________． 解析：因?yàn)椋剑? 所以2＝2＋2－2·， 所以3＝||2＋||2－||·||≥2||·||－||·||＝||·||， 即||·||≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)||＝||＝時(shí)等號(hào)成立． 所以·＝||||cos 60°＝||||≤， 所以· 的最大值為. 答案： 6．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________． 解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則B，C(0，t)，因?yàn)椋剑?，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,1)，直線BC的方程為t2x＋y－t＝0，所以點(diǎn)P到直線BC的距離為d＝，BC＝，所以△PBC的面積為××＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取等號(hào)． 答案： 題型四　復(fù)數(shù) 1．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)．若z＝(4＋3i)i，則ab的值是________． 解析：因?yàn)閦＝a＋bi且z＝(4＋3i)i，所以a＋bi＝4i＋3i2＝－3＋4i，所以a＝－3，b＝4，所以ab＝－12. 答案：－12 2．已知復(fù)數(shù)z滿足z＝(1－2i)(3＋i)，其中i為虛數(shù)單位，則|z|＝________. 解析：復(fù)數(shù)z＝(1－2i)(3＋i)，i為虛數(shù)單位，則|z|＝|1－2i||3＋i|＝×＝5. 答案：5 3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝2，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為________． 解析：由(1＋i)z＝2，得z＝＝＝＝1－i.所以z的虛部為－1. 答案：－1 4．若復(fù)數(shù)z滿足(2－i)z＝1＋i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第________象限． 解析：因?yàn)閦＝＝＝＝＋i，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限． 答案：一 B組——高考提速練 1．復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)2，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為________． 解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝(1＋2i)2＝－3＋4i，所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部為－3. 答案：－3 2.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________. 解析：因?yàn)椋剑絘－b，又＝3， 所以＝＝(a－b)，所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 3．已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，若向量a＋kb與a－kb垂直，則k＝________. 解析：因?yàn)?a＋kb)⊥(a－kb)， 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即|a|2－k2|b|2＝0. 又因?yàn)閨a|＝3，|b|＝4，所以k2＝，即k＝±. 答案：± 4．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虛部是實(shí)部的2倍，則實(shí)數(shù)a的值為________． 解析：＝＝＝，故該復(fù)數(shù)的實(shí)部是，虛部是. 由題意，知＝2×. 解得a＝6. 答案：6 5．已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是________． 解析：法一：復(fù)數(shù)z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i， 則|z|＝＝. 法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝×＝. 答案： 6．若a，b均為單位向量，且a⊥(a－2b)，則a，b的夾角大小為________． 解析：設(shè)a，b的夾角為θ.因?yàn)閍⊥(a－2b)， 所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0， 所以1－2cos θ＝0，所以cos θ＝， 而θ∈[0，π]，故θ＝. 答案： 7．若復(fù)數(shù)z滿足z＋2＝3＋2i，其中i為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為________． 解析：設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，則＝x－yi，因?yàn)閦＋2＝3＋2i，所以z＋2＝(x＋yi)＋2(x－yi)＝3x－yi＝3＋2i，所以x＝1，y＝－2，所以z＝1－2i，所以復(fù)數(shù)z的模為. 答案： 8．平面向量a，b滿足|a|＝2，|a＋b|＝4，且向量a與向量a＋b的夾角為，則|b|為________． 解析：因?yàn)橄蛄縜與向量a＋b的夾角為， 所以cos ＝＝＝， 解得a·b＝0，即a⊥b.所以|a|2＋|b|2＝|a＋b|2， 從而解得|b|＝2. 答案：2 9.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，則·的值為________． 解析：由＝2，得＝(＋2)．又＝－，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以· ＝(＋2)·(－)＝×(－9＋3)＝－2. 答案：－2 10．已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，＝2＋，則||＝________. 解析：法一：由題意得，2＝(2＋)2＝42＋2＋4·.又四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以⊥，所以·＝0.又||＝，||＝，所以2＝4×2＋2＝10，所以||＝. 法二：由題意，作出＝2＋，如圖所示，則||為邊長(zhǎng)分別為，2的矩形CFME的對(duì)角線的長(zhǎng)， 所以||＝ ＝. 答案： 11．已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動(dòng)點(diǎn)，AB＝8，CD＝6，則·的取值范圍是________． 解析：因?yàn)锳B為圓O的直徑， 所以＋＝2，① 又－＝，② ①2－②2，得4·＝42－2， 所以·＝2－16， 因?yàn)镸為圓O的弦CD上一動(dòng)點(diǎn)，AB＝8，CD＝6， 所以根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知||∈[，4]， 所以·∈[－9,0]． 答案：[－9,0] 12．在△ABC中，若·＋2·＝·，則的值為________． 解析：法一：設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c. 由·＋2·＝·， 得ac＋2bc＝ab， 化簡(jiǎn)可得a＝c. 由正弦定理得＝＝. 法二：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，a)，B(b,0)，C(c，0)， 所以＝(c，－a)，＝(b，－a)，＝(c－b,0)， ＝(－b，a)，＝(－c，a)，＝(b－c,0)， 則由·＋2·＝·， 得b2＋2cb＋2a2－c2＝0， 所以b2－2cb＋c2＝(c－b)2＝2(a2＋b2)， 所以BC＝AB. 由正弦定理得＝＝. 答案： 13．已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，則|α|的取值范圍為________． 解析：法一：由|β|＝1，且α與β－α的夾角為120°，作向量＝α，＝β－α，則＝β，在△OAB中，∠OAB＝60°，OB＝1，則由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<|α|≤. 法二：設(shè)|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由關(guān)于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0<u≤，即0<|α|≤. 答案： 14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式 2≥(m－2)·＋m(·)·(·)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d都成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是________． 解析：原不等式可化為(a－c)2＋(b－d)2≥(m－2)·(ac＋bd)＋mbc，即a2＋b2＋c2＋d2－m(ac＋bd＋bc)≥0，整理成關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式為a2－mca＋b2＋c2＋d2－mbd－mbc≥0恒成立，從而Δ1＝m2c2－4(b2＋c2＋d2－mbd－mbc)≤0，再整理成關(guān)于實(shí)數(shù)d的不等式為d2－mbd＋b2＋c2－mbc－m2c2≥0，從而Δ2＝m2b2－4≤0，再整理成關(guān)于實(shí)數(shù)b的不等式為(4－m2)b2－4mcb＋4c2－m2c2≥0，從而解得1－≤m≤－1＋，所以m的最大值是－1. 答案：－1 9