【人教A版】新編高中數(shù)學必修二：全冊作業(yè)與測評 綜合質量評估

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1、 新編人教版精品教學資料 綜合質量評估 (第一至第四章) (120分鐘　150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.已知圓的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,則點P(3,2)滿足　(　　) A.是圓心　　 B.在圓上　　 C.在圓內　　 D.在圓外 【解析】選C.因為(3-2)2+(2-3)2=2<4,故點P(3,2)在圓內. 2.直線x-y-4=0與圓x2+y2-2x-2y-2=0的位置關系是　(　　) A.相交　　　　　　　　　 B.相切 C.相交且過圓心 D.相離 【解析

2、】選D.圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4, 則圓心到直線的距離d==2>2,所以直線與圓相離. 【補償訓練】(2015·鄭州高一檢測)對任意實數(shù)k,圓C:(x-3)2+(y-4)2=13與直線l:kx-y-4k+3=0的位置關系是　(　　) A.相交 B.相切 C.相離 D.與k取值有關 【解析】選A.對任意實數(shù)k,直線l:kx-y-4k+3=0恒過定點(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定點(4,3)在圓C內部,所以直線與圓相交. 3.(2015·烏海高一檢測)已知空間兩點P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),則|P1P2|等于　 (　　

3、) A. B.3 C. D. 【解析】選A.==. 4.已知兩圓的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么這兩個圓的位置關系是　 (　　) A.外離 B.相交 C.外切 D.內切 【解析】選C.將圓x2+y2-6x-8y+9=0,化為標準方程得(x-3)2+(y-4)2=16. 所以兩圓的圓心距為=5,又r1+r2=5,所以兩圓外切. 5.設l,m,n表示三條直線,α,β,γ表示三個平面,給出下列四個結論: ①若l⊥α,m⊥α,則l∥m; ②若m?β,n是l在β內的射影,m⊥l,則m⊥n; ③若m?α,m∥n,則n∥α; ④

4、若α⊥γ,β⊥γ,則α⊥β.其中正確的為　(　　) A.①②　 B.①②③　　 C.①②③④　 D.③④ 【解析】選A.①正確,②可用線面垂直證明,正確,③中,n可能在α內;④中,可能有α,β相交或平行,故選A. 6.(2015·臨汾高一檢測)垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=1相切于第一象限的直線方程是　(　　) A.x+y-=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+=0 【解析】選A.由題意可設所求的直線方程為y=-x+k,則由=1,得k=±.由切點在第一象限知,k=.故所求的直線方程y=-x+,即x+y-=0. 【補償訓練】過點(2

5、,1)的直線中,被圓x2+y2-2x+4y=0截得的最長弦所在的直線方程為　(　　) A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0 【解析】選A.依題意知所求直線通過圓心(1,-2),由直線的兩點式方程,得=,即3x-y-5=0. 7.在空間直角坐標系中,點(-2,1,4)關于x軸的對稱點的坐標為　(　　) A.(-2,1,-4) B.(2,1,-4) C.(-2,-1,-4) D.(2,-1,4) 【解析】選C.點(-2,1,4)關于x軸的對稱點的坐標為(-2,-1,-4). 【變式訓練】(2014·寧波高一檢測

6、)已知點Q是點P(3,4,5)在平面xOy上的射影,則線段PQ的長等于　(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】選D.由題意,Q(3,4,0),故線段PQ的長為5. 8.與圓O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圓O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直線條數(shù)是　 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】選B.兩圓的方程配方得,O1:(x+2)2+(y-2)2=1,O2:(x-2)2+(y-5)2=16,圓心O1(-2,2),O2(2,5),半徑r1=1,r2=4,所以|O1O2|==5,r1+r2=5.所以|O1O2|=r1+

7、r2,故兩圓外切,故有3條公切線. 9.已知直線l與直線4x-3y+5=0關于y軸對稱,則直線l的方程為　(　　) A.4x+3y+5=0 B.4x+3y-5=0 C.3x+4y+5=0 D.3x+4y-5=0 【解析】選B.直線l的斜率與直線4x-3y+5=0的斜率互為相反數(shù),且過點,所以直線l的方程為4x+3y-5=0. 【拓展延伸】直線關于直線對稱問題的兩種情形 (1)兩直線平行,我們可轉化為點關于直線的對稱問題去求解. (2)兩直線相交.一般解題步驟是:①在所求曲線上選一點M(x,y);②求出這點關于中心或軸的對稱點M'(x0,y0)與M(x,y)之間的關系;

8、③利用f(x0,y0)=0求出曲線g(x,y)=0. 10.(2015·大連高一檢測)當點P在圓x2+y2=1上變動時,它與定點Q(3,0)的連線PQ的中點的軌跡方程是　(　　) A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 【解析】選C.設P(x1,y1),Q(3,0),設線段PQ中點M的坐標為(x,y),則x=,y=,所以x1=2x-3,y1=2y.又點P(x1,y1)在圓x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1. 故線段PQ中點的軌跡方程為(2x-3)2+4y2=1. 11.(201

9、5·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是　(　　) A.8cm3 B.12cm3 C.cm3 D.cm3 【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐的組合,所以體積V=23+×22×2=(cm3). 12.(2015·濰坊高一檢測)方程=lgx的根的個數(shù)是　(　　) A.0 B.1 C.2 D.無法確定 【解析】選B.設f(x)=,g(x)=lgx,則方程根的個數(shù)就是f(x)與g(x)兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù).如圖所示,在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象. 由圖可得函數(shù)f(x)=與g(x)=lgx僅有1個

10、交點,所以方程僅有1個根. 【延伸探究】曲線y=1+與直線y=k(x-2)+4有兩個交點,則實數(shù)k的取值范圍是　(　　) A. B. C. D. 【解析】選D.如圖所示,曲線y=1+ 變形為x2+(y-1)2=4(y≥1),直線y=k(x-2)+4過定點(2,4),當直線l與半圓相切時,有=2,解得k=.當直線l過點(-2,1)時,k=.因此,k的取值范圍是

11、 【解析】BC的中點為D(1,-2,3),則|AD|==2. 答案:2 14.已知直線a和兩個不同的平面α,β,且a⊥α,a⊥β,則α,β的位置關系是　　　　. 【解析】垂直于同一直線的兩個平面互相平行. 答案:平行 15.已知一個球的表面積為36πcm2,則這個球的體積為　　　cm3. 【解析】設球的半徑為r,因為4πr2=36π,所以r=3,故體積為πr3=36π. 答案:36π 16.(2015·大慶高一檢測)方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圓,①關于直線y=x對稱;②關于直線x+y=0對稱;③其圓心在x軸上,且過原點;④其圓心在y軸上,且過原點,其中敘述正確的

12、是　　　　. 【解析】已知方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0),圓心坐標為(-a,a),它在直線x+y=0上,所以已知圓關于直線x+y=0對稱.故②正確. 答案:② 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(10分)已知直線l1:ax+by+1=0(a,b不同時為0),l2:(a-2)x+y+a=0, (1)若b=0且l1⊥l2,求實數(shù)a的值. (2)當b=3且l1∥l2時,求直線l1與l2之間的距離. 【解題指南】(1)當b=0時,直線l1的斜率不存在,此時l1⊥l2,即l2的斜率為0,a-2=0. (

13、2)l1∥l2,即A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0,求出a的值,利用平行線間距離公式d=求解. 【解析】(1)當b=0時,l1:ax+1=0,由l1⊥l2知a-2=0,解得a=2. (2)當b=3時,l1:ax+3y+1=0, 當l1∥l2時,有解得a=3, 此時,l1的方程為:3x+3y+1=0, l2的方程為:x+y+3=0,即3x+3y+9=0, 則它們之間的距離為d==. 18.(12分)自A(4,0)引圓x2+y2=4的割線ABC,求弦BC中點P的軌跡方程. 【解析】連接OP,則OP⊥BC,設P(x,y),當x≠0時,kOP·kAP=-1,即·=-1.

14、 即x2+y2-4x=0.① 當x=0時,P點坐標為(0,0)是方程①的解,所以BC中點P的軌跡方程為x2+y2-4x=0(在已知圓內). 【一題多解】由上述解法可知OP⊥AP,取OA中點M,則M(2,0),|PM|=|OA|=2,由圓的定義,知P點軌跡方程是以M(2,0)為圓心,2為半徑的圓. 故所求的軌跡方程為(x-2)2+y2=4(在已知圓內). 19.(12分)(2015·滁州高一檢測)已知圓M:x2+y2-2mx+4y+m2-1=0與圓N:x2+y2+2x+2y-2=0相交于A,B兩點,且這兩點平分圓N的圓周,求圓M的圓心坐標. 【解析】由圓M與圓N的方程易知兩圓的圓心分別

15、為M(m,-2),N(-1,-1).兩圓的方程相減得直線AB的方程為2(m+1)x-2y-m2-1=0. 因為A,B兩點平分圓N的圓周,所以AB為圓N的直徑,所以AB過點N(-1,-1).所以2(m+1)×(-1)-2×(-1)-m2-1=0,解得m=-1. 故圓M的圓心M(-1,-2). 20.(12分)(2015·湖北高考)《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑. 如圖,在陽馬P-ABCD中,側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點E是PC的中點,連接DE,BD,BE. (1)證明:DE⊥平面PBC.試

16、判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結論);若不是,請說明理由. (2)記陽馬P-ABCD的體積為V1,四面體EBCD的體積為V2,求的值. 【解析】(1)因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD為長方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.DE?平面PCD,所以BC⊥DE.又因為PD=CD,點E是PC的中點,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形,即四面體EBCD是一個鱉臑,其四個面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.

17、 (2)由已知,PD是陽馬P-ABCD的高, 所以V1=SABCD·PD=BC·CD·PD; 由(1)知,DE是鱉臑D-BCE的高,BC⊥CE, 所以V2=S△BCE·DE=BC·CE·DE. 在Rt△PDC中,因為PD=CD,點E是PC的中點, 所以DE=CE=CD, 于是===4. 21.(12分)(2015·廣東高考)如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)證明:BC∥平面PDA. (2)證明:BC⊥PD. (3)求點C到平面PDA的距離. 【解析】(1)因為四邊形ΑΒCD是長方形, 所以ΒC∥

18、ΑD, 因為ΒC?平面ΡDΑ,ΑD?平面ΡDΑ, 所以ΒC∥平面ΡDΑ. (2)因為四邊形ΑΒCD是長方形, 所以ΒC⊥CD, 因為平面ΡDC⊥平面ΑΒCD, 平面ΡDC∩平面ΑΒCD=CD,ΒC?平面ΑΒCD, 所以ΒC⊥平面ΡDC, 因為ΡD?平面ΡDC, 所以ΒC⊥ΡD. (3)取CD的中點Ε,連接ΑΕ和ΡΕ, 因為ΡD=ΡC,所以ΡΕ⊥CD, 在Rt△ΡΕD中,ΡΕ===, 因為平面ΡDC⊥平面ΑΒCD, 平面ΡDC∩平面ΑΒCD=CD, ΡΕ?平面ΡDC, 所以ΡΕ⊥平面ΑΒCD, 由(2)知:ΒC⊥平面ΡDC, 由(1)知:ΒC∥ΑD, 所以Α

19、D⊥平面ΡDC, 因為ΡD?平面ΡDC,所以ΑD⊥ΡD, 設點C到平面ΡDΑ的距離為h, 因為V三棱錐C-ΡDΑ=V三棱錐Ρ-ΑCD, 所以S△ΡDΑ·h=S△ΑCD·ΡΕ, 即h===, 所以點C到平面ΡDΑ的距離是. 22.(12分)(2015·杭州高一檢測)已知曲線C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1. (1)求證:曲線C表示圓,并且這些圓心都在同一條直線上. (2)證明曲線C過定點. (3)若曲線C與x軸相切,求k的值. 【解析】(1)原方程可化為(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2.因為k≠-1,所以5(k+1)2

20、>0. 故方程表示圓心為(-k,-2k-5),半徑為|k+1|的圓.設圓心的坐標為(x,y),則 消去k,得2x-y-5=0. 所以這些圓的圓心都在直線2x-y-5=0上. (2)將原方程變形為(2x+4y+10)k+(x2+y2+10y+20)=0,所以上式對于任意k≠-1恒成立,所以解得所以曲線C過定點(1,-3). (3)因為圓C與x軸相切,所以圓心(-k,-2k-5)到x軸的距離等于半徑. 即|-2k-5|=|k+1|. 兩邊平方,得(2k+5)2=5(k+1)2. 解得k=5±3. 【補償訓練】已知圓C的圓心為原點O,且與直線x+y+4=0相切. (1)求圓C

21、的方程. (2)點P在直線x=8上,過P點引圓C的兩條切線PA,PB,切點為A,B,求證:直線AB恒過定點. 【解題指南】求出圓的半徑即可寫出圓的方程,而公共弦的方程只需將兩圓的方程相減即可得到. 【解析】(1)依題意得:圓C的半徑r==4, 所以圓C的方程為x2+y2=16. (2)因為PA,PB是圓C的兩條切線, 所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP為直徑的圓上, 設點P的坐標為,b∈R, 則線段OP的中點坐標為, 所以以OP為直徑的圓方程為+=42+,b∈R, 化簡得:x2+y2-8x-by=0,b∈R, 因為AB為兩圓的公共弦, 所以直線AB的方程為8x+by=16,b∈R, 所以直線AB恒過定點. 關閉Word文檔返回原板塊