2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 限時(shí)集訓(xùn)7 用樣本估計(jì)總體 文

專題限時(shí)集訓(xùn)(七)　用樣本估計(jì)總體 [建議A、B組各用時(shí)：45分鐘] [A組　高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．某同學(xué)將全班某次數(shù)學(xué)考試成績整理成頻率分布直方圖后，并將每個(gè)小矩形上方線段的中點(diǎn)連接起來得到頻率分布折線圖(如圖7­9所示)，據(jù)此估計(jì)此次考試成績的眾數(shù)是(　　) 圖7­9 A．100　 　 B．110　 　 C．115　 　 D．120 C　[分析頻率分布折線圖可知眾數(shù)為115，故選C.] 2．(2017·黃岡一模)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn是某市n(n≥3，n∈N*)個(gè)普通職工的年收入，設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，則這(n＋1)個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是(　　) A．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變 B．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大 C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變 D．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變 B　[∵數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn是某市n(n≥3，n∈N*)個(gè)普通職工的年收入，xn＋1為世界首富的年收入，則xn＋1遠(yuǎn)大于x1，x2，x3，…，xn，故這(n＋1)個(gè)數(shù)據(jù)中，年收入平均數(shù)大大增大；中位數(shù)可能不變，也可能稍微變大；由于數(shù)據(jù)的集中程度受到xn＋1的影響比較大，更加離散，則方差變大．] 3．(2016·沈陽模擬)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，現(xiàn)已將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖7­10)．若要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024076】 圖7­10 A．2 B．3 C.4 D．5 B　[依題意可得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)＝1，解得a＝0.030，故身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生比例為3∶2∶1，所以從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為3.] 4．(2017·淮北二模)為比較甲乙兩地某月11時(shí)的氣溫情況，隨機(jī)選取該月5天11時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖7­11所示的莖葉圖，已知甲地該月11時(shí)的平均氣溫比乙地該月11時(shí)的平均氣溫高1 ℃，則甲地該月11時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差為(　　) 圖7­11 A．2 B. C．10 D. B　[甲地該月11時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)為28,29,30,30＋m,32； 乙地該月11時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)為26,28,29,31,31， 則乙地該月11時(shí)的平均氣溫為(26＋28＋29＋31＋31)÷5＝29(℃)， 所以甲地該月11時(shí)的平均氣溫為30 ℃， 故(28＋29＋30＋30＋m＋32)÷5＝30，解得m＝1，則甲地該月11時(shí)的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差為 ＝，故選B. 5．(2016·鄭州模擬)某車間共有6名工人，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖7­12所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．從該車間6名工人中，任取2人，則至少有1名優(yōu)秀工人的概率為(　　) 圖7­12 A. B. C. D. C　[依題意，平均數(shù)＝＝22，故優(yōu)秀工人只有2人，用a，b表示優(yōu)秀工人，用c，d，e，f表示非優(yōu)秀工人，故任取2人的情況如下： (a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15種，其中至少有1名優(yōu)秀工人只有9種情況，故所求概率P＝＝.] 二、填空題 6．某中學(xué)共有女生2 000人，為了了解學(xué)生體質(zhì)健康狀況，隨機(jī)抽取100名女生進(jìn)行體質(zhì)監(jiān)測，將她們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖7­13所示的頻率分布直方圖，則直方圖中x的值為________；試估計(jì)該校體重在[55,70)的女生有________人． 圖7­13 0.024　1 000　[由5×(0.06＋0.05＋0.04＋x＋0.016＋0.01)＝1，得x＝0.024.在樣本中，體重在[55,70)的女生的頻率為5×(0.01＋0.04＋0.05)＝0.5， 所以該校體重在[55,70)的女生估計(jì)有2 000×0.5＝1 000人．] 7．從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，其莖葉圖如圖7­14.根據(jù)莖葉圖，樹苗的平均高度較高的是__________種樹苗，樹苗長得整齊的是__________種樹苗． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024077】 圖7­14 乙　甲　[根據(jù)莖葉圖可知，甲種樹苗中的高度比較集中，則甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊；而通過計(jì)算可得，甲＝27，乙＝30，即乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度．] 8.某校開展“ 愛我海西、愛我家鄉(xiāng)” 攝影比賽，9位評(píng)委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖7­15所示．記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是________． 圖7­15 1　[當(dāng)x≥4時(shí)， ＝≠91， ∴x<4，∴＝91， ∴x＝1.] 三、解答題 9．(2017·全國卷Ⅲ)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率． (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率． [解] (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25， 2分 由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6． 6分 (2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；6分 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 8分 若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y的所有可能值為900,300，－100． 10分 Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8． 12分 10．(2016·鄭州一模)為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰．為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會(huì)闖紅燈，處罰時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)： 處罰金額x(單位：元) 5 10 15 20 會(huì)闖紅燈的人數(shù)y 50 40 20 10 若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率． (1)當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少？ (2)將先取的200人中會(huì)闖紅燈的市民分為兩類：A類市民在罰金不超過10元時(shí)就會(huì)改正行為；B類是其他市民．現(xiàn)對(duì)A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為B類市民的概率是多少. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024078】 [解] (1)設(shè)“當(dāng)罰金定為10元時(shí)，闖紅燈的市民改正行為”為事件A， 2分 則P(A)＝＝． 6分 所以當(dāng)罰金定為10元時(shí)，比不制定處罰，行人闖紅燈的概率會(huì)降低． 6分 (2)由題可知A類市民和B類市民各有40人，故分別從A類市民和B類市民中各抽出2人，設(shè)從A類市民中抽出的2人分別為A1，A2，從B類市民中抽出的2人分別為B1，B2.設(shè)“A類與B類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷”為事件M， 8分 則事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6種． 同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6種． 故事件M共有24種． 10分 設(shè)“抽取4人中前兩位均為B類市民”為事件N，則事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)． ∴P(N)＝＝． 12分 [B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7­16所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的m，n的比值＝(　　) 圖7­16 A．1　　　　　　　 B． C. D. C　[由莖葉圖可知乙的中位數(shù)是＝33，根據(jù)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，可得m＝3，所以甲的平均數(shù)為＝33，又由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，可得＝33，解得n＝8，所以＝，故選C.] 2．(2017·長沙模擬)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖7­17所示． 圖7­17 若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績?cè)趨^(qū)間[139,151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　[從35人中用系統(tǒng)抽樣方法抽取7人，則可將這35人分成7組，每組5人，從每一組中抽取1人，而成績?cè)赱139,151]上的有4組，所以抽取4人，故選B.] 3．為了了解某城市今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖7­18)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶ 2∶ 3，第2小組的頻數(shù)為120，則抽取的學(xué)生人數(shù)是(　　) 圖7­18 A．240 B．280 C．320 D．480 D　[由頻率分布直方圖知：學(xué)生的體重在65～75 kg的頻率為(0.012 5＋0.037 5)× 5＝0.25， 則學(xué)生的體重在50～65 kg的頻率為1－0.25＝0.75.從左到右第2個(gè)小組的頻率為0.75×＝0.25. 所以抽取的學(xué)生人數(shù)是120÷0.25＝480, 故選D.] 4．3個(gè)老師對(duì)某學(xué)校高三三個(gè)班級(jí)各85人的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，已知甲班平均分為116.3分，乙班平均分為114.8分，丙班平均分為115.5分，成績分布直方圖如圖7­19，據(jù)此推斷高考中考生發(fā)揮差異較小的班級(jí)是(　　) 圖7­19 A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷 C　[由于平均分相差不大，由直方圖知丙班中，學(xué)生成績主要集中在110～120區(qū)間上且平均分較高，其次是乙，分?jǐn)?shù)相對(duì)甲來說比較集中，相對(duì)丙而言相對(duì)分散．?dāng)?shù)據(jù)最分散的是甲班，雖然平均分較高，但學(xué)生兩極分化，彼此差距較大，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式和性質(zhì)知甲的方差大于乙的方差大于丙的方差，所以丙班的學(xué)生發(fā)揮差異較?。蔬xC.] 二、填空題 5．已知某單位有40名職工，現(xiàn)要從中抽取5名職工，將全體職工隨機(jī)按1～40編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分成5組．按系統(tǒng)抽樣方法在各組內(nèi)抽取一個(gè)號(hào)碼． 圖7­20 (1)若第1組抽出的號(hào)碼為2，則所有被抽出職工的號(hào)碼為________； (2)分別統(tǒng)計(jì)這5名職工的體重(單位：kg)，獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖7­20所示，則該樣本的方差為________． (1)2,10,18,26,34　(2)62　[(1)分段間隔為＝8，則所有被抽出職工的號(hào)碼為2,10,18,26,34. (2)＝(59＋62＋70＋73＋81)＝69. s2＝[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.] 6．如圖7­21是某個(gè)樣本的頻率分布直方圖，分組為[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150)，已知a，b，c成等差數(shù)列，且區(qū)間[130,140)與[140,150)上的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相差10，則區(qū)間[110,120)上的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為__________． 圖7­21 20　[由頻率分布直方圖得[130,140)上的頻率為0.025×10＝0.25， [140,150)上的頻率為0.015×10＝0.15. 設(shè)樣本容量為x，則由題意知0.25x－0.15x＝0.1x＝10，解得x＝100. 因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c. 又10a＋10b＋10c＝1－0.25－0.15＝0.6?a＋b＋c＝0.06?3b＝0.06，解得b＝0.02. 故區(qū)間[110,120)上的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為10×0.020×100＝20.] 三、解答題 7．(2017·貴陽二模) 為監(jiān)測空氣質(zhì)量，某市環(huán)保局隨機(jī)抽取了甲、乙兩地2016年20天的PM2.5日平均濃度(單位：微克/立方米)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，得到甲地PM2.5日平均濃度的頻率分布直方圖和乙地PM2.5日平均濃度的頻數(shù)分布表： 甲地20天PM2.5日平均濃度頻率分布直方圖 圖7­22 乙地20天PM2.5日平均濃度頻數(shù)分布表 PM2.5日平均濃度 (單位：微克/立方米) [0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] 頻數(shù)(天數(shù)) 2 3 4 6 5 (1)根據(jù)乙地20天PM2.5日平均濃度的頻數(shù)分布表，作出相應(yīng)的頻率分布直方圖，并通過兩個(gè)頻率分布直方圖比較兩地PM2.5日平均濃度的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)； (2)通過調(diào)查，該市居民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度從高到低分為三個(gè)等級(jí)： 滿意度等級(jí) 非常滿意 滿意 不滿意 PM2.5日平均濃度 (單位：微克/立方米) 不超過20 大于20 不超過60 超過60 從乙地這20天PM2.5日平均濃度不超過40的天數(shù)中隨機(jī)抽取2天，求這2天中至少有1天居民對(duì)空氣質(zhì)量滿意度為“非常滿意”的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：04024079】 [解] (1)乙地20天PM2.5日平均濃度頻率分布直方圖如圖所示． 由圖可知，甲地PM2.5日平均濃度的平均值低于乙地PM2.5日平均濃度的平均值，而且甲地的數(shù)據(jù)比較集中，乙地的數(shù)據(jù)比較分散． 6分 (2)由題意，可設(shè)乙地這20天中PM2.5的日平均濃度不超過40的5天分別為a，b，c，d，e，其中a，b表示居民對(duì)空氣質(zhì)量的滿意度為“非常滿意”的2天，則從5天中任取2天共有以下10種情況： (a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)， 9分 其中至少有1天為“非常滿意”的有以下7種情況： (a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)， 所以所求概率P＝． 12分 8．在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)．某考場考生的兩科考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖7­23所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人． 圖7­23 (1)求該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)； (2)若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，求該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分； (3)已知參加本考場測試的考生中，恰有2人的兩科成績均為A，在至少一科成績?yōu)锳的考生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人的兩科成績均為A的概率． [解] (1)因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績等級(jí)為B的考生有10人，所以該考場有10÷0.25＝40(人)， 2分 所以該考場考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績等級(jí)為A的人數(shù)為40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3． 6分 (2)該考場考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]÷40＝2.9． 8分 (3)由題圖可知，“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績?yōu)锳的有3人，“閱讀與表達(dá)”科目的成績?yōu)锳的有3人，因?yàn)榍∮?人的兩科成績等級(jí)均為A，所以還有2人只有一個(gè)科目得分為A. 設(shè)這4人為甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是兩科成績都是A的同學(xué)，則在至少一科成績等級(jí)為A的考生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，基本事件空間為Ω＝{{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6個(gè)基本事件． 設(shè)“隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，這2人的兩科成績等級(jí)均為A”為事件B，所以事件B中包含的基本事件有1個(gè)，則P(B)＝． 12分 11