高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例課件 文

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1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例總綱目錄教材研讀1.平面向量的數(shù)量積考點(diǎn)突破2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示1.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積(1)向量a與b的夾角:已知兩個(gè)非零向量a,b,過(guò)O點(diǎn)作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.當(dāng)=90時(shí),a與b垂直,記作ab;當(dāng)=0時(shí),a與b同向;當(dāng)=180時(shí),a與b反向.(2)a與b的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為,則把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab=|a|b

2、|cos.OAOB教材研讀教材研讀(3)規(guī)定0a=0.(4)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影設(shè)是a與b的夾角,則|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù),而不是向量.(5)ab的幾何意義ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.2.向量的數(shù)量積的性質(zhì)向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則(1)ea=ae=|a|cos .(2)abab=0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),ab=|a|b|.當(dāng)a與b反向時(shí),ab=-|a|b|.特別地,aa=|a|2.(4)cos =

3、 .(5)|ab|a|b|.| |a bab3.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律向量的數(shù)量積的運(yùn)算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.4.平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|= .(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|= ,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b為非零向量,則abx1x2+y1y2=0. 22xyAB222121()()x

4、xyy1.已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角為120,則ab為()A.10 B.-10 C.10 D.-1033D答案答案 D ab=|a|b|cos 120=54cos 120=20=-10.故選D.122.已知|a|=2,|b|=6,ab=-6,則a與b的夾角為()A. B. C. D. 3632356D答案答案 D cos =-.又因?yàn)?,所以=,故選D.| |a bab6 32632563.設(shè)a=(5,-7),b=(-6,t),若ab=-2,則t的值為()A.-4 B.4 C. D.- 327327A答案答案 A由ab=-2得,5(-6)+(-7)t=-2,-7t=28,所以t=

5、-4,故選A.4.在邊長(zhǎng)為1的等邊ABC中,設(shè)=a,=b,=c,則ab+bc+ca=( )A.- B.0 C. D.3BCCAAB3232答案答案 A依題意有ab+bc+ca=+=-,故選A.12121232A5.(2017課標(biāo)全國(guó),13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,則m= .2答案答案2解析解析ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2.6.已知平面向量a,b的夾角為,|a|=2,|b|=1,則|a+b|= .233答案答案 3解析解析|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=4+2|a|b|cos+1=4-2+1=3,|a+b

6、|=.233典例典例1(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|=6,|=4.若點(diǎn)M,N滿足=3,=2,則=()A.20 B.15 C.9 D.6(2)(2017課標(biāo)全國(guó),12,5分)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則(+)的最小值是()A.-2 B.- C.- D.-1ABADBMMCDNNCAMNMPAPBPC3243考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案(1)C(2)B解析解析(1)依題意有=+=+,=+=-=-,所以=-=9.故選C.(2)以AB所在直線為x軸,AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,則A(-1,0),B(1,

7、0),C(0,),設(shè)P(x,y),取BC的中點(diǎn)D,則D.AMABBMAB34BCNMNCCM13DC14BC13AB14BCAMNM34ABBC1134ABBC132AB3162BC313,22(+)=2=2(-1-x,-y)=2=2.因此,當(dāng)x=-,y=時(shí),(+)取得最小值,為2=-,故選B.PAPBPCPAPD13,22xy13(1)22xxyy22133444xy1434PAPBPC3432方法技巧方法技巧向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法方法運(yùn)用提示適用題型定義法當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題坐標(biāo)法當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)

8、,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題1-1 (2017陜西西安八校聯(lián)考)已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影是()A.-3 B.- C.3 D. CDBA53 2253 22答案答案 A依題意得,=(-2,-1),=(5,5),=(-2,-1)(5,5)=-15,|=,因此向量在方向上的投影是=-3,故選A.BACDBACDBA5CDBA|BA CDBA1555A1-2已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接D

9、E并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則的值為()A.- B. C. D. AFBC581814118B答案答案 B建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.所以=,所以=(1,0)=.故選B.AF15 3,88AFBC15 3,8818則B,C,A,所以=(1,0).易知DE=AC,FEC=ACE=60,則EF=AC=,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為,1,021,0230,2BC12141413,88考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題方向命題視角平面向量模的問(wèn)題求平面向量的?；蛞阎Ｇ蠼鈫?wèn)題平面向量的夾角問(wèn)題求兩向量的夾角或已知夾角求參數(shù)平面向量的垂直問(wèn)題利用兩向量垂直的條件求參數(shù)典例典例2(1)(

10、2018河南鄭州質(zhì)檢)已知平面向量a與b的夾角等于,若|a|=2,|b|=3,則|2a-3b|=()A. B. C.57 D.61(2)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿足|=1,則|+|的最大值是 .357613CDOAOBOD命題方向一平面向量模的問(wèn)題命題方向一平面向量模的問(wèn)題答案答案(1)B(2)+17解析解析(1)由題意可得ab=|a|b|cos=3,所以|2a-3b|=,故選B.(2)設(shè)D(x,y),由=(x-3,y)及|=1,知(x-3)2+y2=1,即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)C為圓心的單位圓.又+=(-1,0)+(0,)+(x,y)=(x-

11、1,y+),|+|=.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓(x-3)2+y2=1上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1,-)間距離的最大值.圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1,-)之間的距離為=,故的最大值為+1.即|+|的最大值是+1.32(23 )ab224|9|12aba b16813661CDCDOAOBOD33OAOBOD22(1)(3)xy3322(3 1)(03)722(1)(3)xy7OAOBOD7典例典例3(1)(2016課標(biāo)全國(guó),3,5分)已知向量=,=,則ABC=()A.30 B.45 C.60 D.120(2)已知向量a=(1,),b=(3,m).若向量a,b的夾角為,則實(shí)數(shù)m=()A.2 B. C.0 D.- BA13,

12、22BC3 1,2236333命題方向二平面向量的夾角問(wèn)題命題方向二平面向量的夾角問(wèn)題答案答案(1)A(2)B解析解析(1)cosABC=,向量間的夾角的取值范圍是0,所以ABC=30,故選A.(2)a=(1,),b=(3,m),|a|=2,|b|=,ab=3+m,又a,b的夾角為,=cos,即=,+m=,解得m=.| |BA BCBABC32329m36| |a bab62332 9mm32329m3典例典例4(1)ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是()A.|b|=1 B.abC.ab=1 D.(4a+b)(2)已知向量a=(k,3),b=

13、(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,則實(shí)數(shù)k=()A.- B.0 C.3 D. ABACBC92152命題方向三平面向量的垂直問(wèn)題命題方向三平面向量的垂直問(wèn)題答案答案(1)D(2)C解析解析(1)b=-=,|b|=|=2,故A錯(cuò);=22cos 60=2,即-2ab=2,ab=-1,故B、C都錯(cuò);(4a+b)=(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,(4a+b),故選D.(2)2a-3b=(2k-3,-6),由(2a-3b)c,得(2a-3b)c=0,即4k-6-6=0,解得k=3.選C.ACABBCBCBABCBCBC規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)平面向量數(shù)量積求解問(wèn)題的策略(1)求兩向量的

14、夾角:cos =,要注意0,.(2)兩向量垂直的應(yīng)用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有a2=aa=|a|2或|a|=.|ab|=.若a=(x,y),則|a|=.| |a baba a2()ab222aa bb 22xy2-1(2017課標(biāo)全國(guó)課標(biāo)全國(guó)理理,13,5分分)已知向量已知向量a,b的夾角為的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|= .答案答案2 3解析解析由題意知ab=|a|b|cos 60=21=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4=12.所以|a+2b|=2.1232-2

15、 (2017課標(biāo)全國(guó),13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m= .7答案答案7解析解析a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a,(a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.2-3若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b與c的夾角為鈍角,則k的取值范圍是 .答案答案 9,2 9,32解析解析2a-3b與c的夾角為鈍角,(2a-3b)c0,即(2k-3,-6)(2,1)0,4k-6-60,k3.又若(2a-3b)c,則2k-3=-12,即k=-.當(dāng)k=-時(shí),2a-3b=(-12,-6)=-6c

16、,即2a-3b與c反向.綜上,k的取值范圍為.92929,2 9,32典例典例5已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.3考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題解析解析(1)因?yàn)閍=(cos x,sin x),b=(3,-),ab,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,則sin x=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)=3co

17、s x-sin x=2cos.因?yàn)閤0,所以x+,從而-1cos.于是,當(dāng)x+=,即x=0時(shí), f(x)取到最大值3;3333563336x67,666x3266當(dāng)x+=,即x=時(shí), f(x)取到最小值-2.6563規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式,先運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式,解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等.3-1已知向量m=(sin -2,-cos ),n=(-sin ,cos ),其中R.(1)若mn,求;(2)若|m-n|=,求cos 2的值.2解析解析(1)若mn,則mn=0,即-sin (sin -2)-cos2=0,即sin =,可得=2k+或=2k+,kZ.(2)若|m-n|=,即有(m-n)2=2,即(2sin -2)2+(-2cos )2=2,126562即4sin2+4-8sin +4cos2=2,即有8-8sin =2,可得sin =,34所以cos 2=1-2sin2=1-2=-.91618