高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元 第六節(jié) 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)Ⅱ課件

第六節(jié) 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)yAsin(x)的圖象 設(shè)函數(shù)f(x)sinx cosx(0)的最小正周期為.(1)求平行線的振幅、初相；(2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象可由ysinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到3分析分析要作函數(shù)的圖象或討論函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)先將函數(shù)化為yAsin(x)的形式解(1)f(x)sinx cosx = ，又T， ，即2，f(x)2sin .函數(shù)f(x)sinx cosx的振幅為2，初相為 .33sin2cos23sin212xxx232x33(2)列出下表，并描點(diǎn)畫(huà)出圖象如圖（3）把ysinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，得到y(tǒng)sin（x+ ）的圖象；再把ysin （x+ ）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 (縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin( 2x+ ) 的圖象；然后把ysin(2x+ )的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin(2x+ )的圖象32133333規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點(diǎn)法，此法注意在作出一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖后，應(yīng)向兩端伸展一下，以示整個(gè)定義域上的圖象(2)變換法作圖象的關(guān)鍵是，x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對(duì)于后者可利用x(x+ )來(lái)確定平移單位(3)注意先平移再伸縮與先伸縮再平移得到的函數(shù)往往不一致變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 已知函數(shù)y sin cos (xR R)(1)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出它的圖象；(2)求它的振幅、周期及初相；(3)說(shuō)明該函數(shù)的圖象可由ysinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到2x32x【解析解析】(1)y2sin（ + ），令x ，列表如下：2x62x6描點(diǎn)連線：描點(diǎn)連線：(2)振幅A2，周期T4，初相為 .6(3)將ysinx的圖象上各點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，得到y(tǒng)sin（x+ ）的圖象；再把ysin(x+ )的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)sin( + )的圖象；最后把ysin( + )的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即得函數(shù)y2sin( + )的圖象6666662x2x2x右圖為某三角函數(shù)圖象的一段用函數(shù)yAsin(x)(A0, , )寫(xiě)出其解析式22求三角函數(shù)yAsin(x)的解析式 分析分析(1)確定振幅A，A (ymaxymin)；(2)相鄰兩個(gè)最值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)之差，或一個(gè)單調(diào)區(qū)間的長(zhǎng)度為T(mén)，由此推出的值；(3)將給定特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，結(jié)合圖象確定 21解解方法一： 又A3，所給曲線是由 的圖象沿x軸向右平移 個(gè)單位而得到的，解析式為 ，即 .212,43313TT2sin3xy 621sin3xy321sin3xy3方法二方法二：同“方法一”得A3， .T4，點(diǎn) 在函數(shù)圖象上，代入得 ，即213,3321sin33, 126sin，又22621sin3,6xy 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 給出圖象確定解析式的題型，A由最值確定，由周期確定，由最值或零值點(diǎn)確定用最值確定比較容易掌握；利用零值點(diǎn)時(shí)，要找準(zhǔn)第一個(gè)零值點(diǎn)的位置變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 2 已知函數(shù)yAsin(x)的圖象，試確定A、的值，并寫(xiě)出函數(shù)解析式 【解析解析】由圖象知A3， 且.32sin323063xy已知函數(shù)f(x) sin(x)cos(x)(0，0)為偶函數(shù)，且函數(shù)yf(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為 .(1)求f（ ）的值；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移 個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)yg(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間3函數(shù)函數(shù)y yA Asin(sin(xx) )的的性質(zhì)及應(yīng)用性質(zhì)及應(yīng)用286分析分析(1)先把函數(shù)化成f(x)Asin(x)的形式，再利用奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而求出f（ ） .(2)利用函數(shù)圖象的變換確定出新函數(shù)yg(x)的解析式，再求出其單調(diào)遞減區(qū)間8 6sin2cos21sin232cossin31xxxxxxf6sincos6cossin6sin6sinxxxx解解f(x)為偶函數(shù)，對(duì)任意xR R，f(x)f(x)恒成立，6sincos6cossinxx整理得，0且xR R，又0， 由題意得 ，2，f(x)2cos2x，因此06cossinx06cos26 xxxfcos22sin222224cos28f(2)將f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位后，得到f（x- ）的圖象；再將所得圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f( - )的圖象 當(dāng) 時(shí)，g(x)單調(diào)遞減 因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為64x zkkxkkzkkxkxxxfxg384324232232cos2642cos264zkkk384 ,32466 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)本題綜合考查了三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間的求解，還有圖象的平移問(wèn)題解題的關(guān)鍵是明確正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系一般地，正、余弦函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸(或兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心)的距離等于函數(shù)的半個(gè)周期，因此，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象上任意兩條對(duì)稱軸(或兩個(gè)對(duì)稱中心)之間的距離為 (kZ Z)，其中T為函數(shù)的最小正周期；正余弦函數(shù)圖象的任一條對(duì)稱軸與它相鄰的對(duì)稱中心之間的距離恰好是周期的 ，所以正、余弦函數(shù)圖象的任一條對(duì)稱軸和任意一個(gè)對(duì)稱中心之間的距離是 T(kZ Z)41412 k2Tk變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 (2010湖南高考)已知函數(shù)f(x)sin2x2sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的最大值及f(x)取最大值時(shí)x的集合【解析解析】(1) 函數(shù)f(x)的最小正周期為 (2)由(1)知，當(dāng) ，即 時(shí)，f(x)取到最大值1，因此函數(shù)f(x)取最大值時(shí)x的為 . 142sin22cos12sinxxxxf.22T2242kxzkkx8zkkxx,8三角函數(shù)模型yAsin(x)的應(yīng)用 受日月的引力，海水會(huì)發(fā)生漲落，這種現(xiàn)象叫潮汐，在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭，卸貨后返回海洋某港口水的深度y(m)是時(shí)間t(0t24，單位：h)的函數(shù)，記作yf(t)，下表是該港口在某季節(jié)每天水深的數(shù)據(jù)：經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀察，yf(t)的曲線可以近似地看作函數(shù)yAsintk的圖象(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)yf(t)的近似表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底離海底距離為5 m或5 m以上時(shí)認(rèn)為是安全的(船舶?？繒r(shí)，船底只需不碰到海底即可)某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5 m，如果該船想在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，問(wèn)：它至多能在港內(nèi)停留多長(zhǎng)時(shí)間(忽略進(jìn)出港所需時(shí)間)? 分析分析觀察所給表格中的數(shù)據(jù)，水深隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)周期規(guī)律，因此可以考慮用三角函數(shù)模型進(jìn)行模擬，不妨選正弦函數(shù)，并求解析式，由解析式研究問(wèn)題(2)解解(1)函數(shù)yf(t)可近似地看作yAsintk， 由數(shù)據(jù)知，它的周期T12，振幅A3，k10. 12， ， 故y3sint10.26(2)由題意，該船進(jìn)出港口時(shí)，水深應(yīng)不小于6.5511.5(m)，在港口內(nèi)永遠(yuǎn)是安全的，由 ，得 即12k1t12k5(kN N)在同一天內(nèi)，取k0或1，則1t5或13t17，該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，最遲在下午17時(shí)離港，在港口內(nèi)最多停留16 h. 5 .11106sin3tzkktkt652662,216sin 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 仔細(xì)尋求表中數(shù)據(jù)特征，聯(lián)想到所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)，抓住周期變化的特征，是選擇三角函數(shù)模型的關(guān)鍵為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個(gè)檢驗(yàn)的過(guò)程所以利用三角函數(shù)模型解決問(wèn)題的基本步驟是：建模(選擇模型)、求模、檢驗(yàn)、應(yīng)用經(jīng)長(zhǎng)期觀察，yf(t)的曲線可近似地看成是函數(shù) 的圖象 btAy2sin變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4 4 已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(m)是時(shí)間t(0t24，單位：h)的函數(shù)，記作yf(t)下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù) 的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1 m時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00到晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動(dòng)？btAy2sin61222T126sin21y21【解析解析】(1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T12， 由t0，y1.5，得Ab1.5. 由t3，y1.0，得b1.0. 由聯(lián)立，解得A ，b1， 函數(shù)表達(dá)式為(2)由題意知，當(dāng)y1時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放由 ，得 ， ，即12k3t12k3(kZ Z)0t24，可令中k分別為0,1,2，得0t3或9t15或21t24，在規(guī)定時(shí)間上午8：00到晚上20：00之間，有6個(gè)小時(shí)可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午9：00到下午15：00.1126sin21t06cost22622ktk1f(x)Asin(x)(A0，0)的性質(zhì) (1)令2k x2k (kZ Z)得增區(qū)間，令2k x2k (kZ Z)得減區(qū)間 (2)T . (3)對(duì)稱中心是 對(duì)稱軸是x (kZ Z) (4)k時(shí)是奇函數(shù)k時(shí)是偶函數(shù)(kZ Z)22320 ,k2k222f(x)Acos(x)(A0，0)的性質(zhì)(1)令2kx2k(kZ Z)得減區(qū)間，令2kx2k得增區(qū)間(2)T .(3)對(duì)稱中心是 ，對(duì)稱軸是 (kZ Z)(4) 時(shí)是偶函數(shù)，k時(shí)是奇函數(shù)(kZ Z)20,2kkx2 k3f(x)Atan(x)(A0，0)的性質(zhì)(1)令 得增區(qū)間(2) .(3)對(duì)稱中心是 ，無(wú)對(duì)稱軸(4) 時(shí)是奇函數(shù)zkkxk22T0,2kzkk24由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開(kāi)這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換 利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少 途徑一途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換) 先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0)平移|個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍(0)，便得ysin(x)的圖象 1途徑二途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換 先將ysinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍(0)，再沿x軸向左(0)或向右(0)平移 個(gè)單位，便得ysin(x)的圖象15確定yAsin(x)的解析式的步驟(1)首先確定振幅和周期，從而得到A與；(2)確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn) 作為突破口要注意從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置，同時(shí)要利用好最值點(diǎn)，具體如下：0 , “第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x0；“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為x ；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為x；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為x ；“第五點(diǎn)”為x2.2236三角函數(shù)模型的應(yīng)用及解題步驟 (1)根據(jù)圖象建立解析式或根據(jù)解析式作出圖象； (2)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型； (3)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 ，所得函數(shù)解析式為()23sinxy4456sin.236sin.256sin.436sin.xCxyCxBxyA21錯(cuò)解錯(cuò)解方法一：將原函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得： ； 再壓縮橫坐標(biāo)得 . 故選 A A.433sin243sinxxy436sinxy4方法二：方法二：將原函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得： ； 再壓縮橫坐標(biāo)得 故選B.1253sin643sinxxy256sin1256sinxxy4方方法三法三：將原函數(shù)圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)得： 再壓縮橫坐標(biāo)得 . 故選 C.433sin243sinxxy236sin4332sinxxy4錯(cuò)解分析錯(cuò)解分析這三種解法都是錯(cuò)誤的，其原因在于沒(méi)有抓住變換的對(duì)象方法一在平移變換時(shí)把 看做變換的對(duì)象；方法二中，在伸縮變換時(shí)把 看成了變換的對(duì)象；方法三則犯了上述兩種錯(cuò)誤，即把 看做變換的對(duì)象，又把3x看成了變換的對(duì)象事實(shí)上，無(wú)論是平移變換還是伸縮變換，都應(yīng)緊緊抓住“變?cè)钦l(shuí)”這個(gè)關(guān)鍵在本例中，變?cè)獂才是變換的對(duì)象，圖象向右平移個(gè)單位，是將自變量x減去 個(gè)單位長(zhǎng)度，即將x換成 ，其余的不變；橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的 ，是將x換成2x，其余的不變1253x433x4x4433x21正解正解將原函數(shù)向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度， 所得函數(shù)解析式為 ， 再壓縮橫坐標(biāo)得 . 故選 D.453sin243sinxxy456sinxy4