高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 第二節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示課件 理

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1、理數(shù)課標(biāo)版第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.教材研讀教材研讀2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐標(biāo)的求法(i)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).(ii)設(shè)A(

2、x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),|=.2211xyABAB222121()()xxyy3.平面向量共線的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b0),則abx1y2-x2y1=0.1.已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為()A.B.C.D.答案答案AA(1,3),B(4,-1),=(3,-4),又|=5,與同向的單位向量為=.故選A.AB34,5543,553 4,5 54 3,5 5ABABAB|ABAB34,552.若向量a=(1,1),b=(-1,0),c=(6,4),則c=()A.4a-2bB.

3、4a+2bC.-2a+4bD.2a+4b答案答案A設(shè)c=a+b(,R),則有(6,4)=(,)+(-,0)=(-,),即-=6,=4,從而=-2,故c=4a-2b.3.如果e1,e2是平面內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A.e1與e1+e2B.e1-2e2與e1+2e2C.e1+e2與e1-e2D.e1+3e2與6e2+2e1答案答案 D選項(xiàng)A中,設(shè)e1+e2=e1,則無解;1,10,選項(xiàng)B中,設(shè)e1-2e2=(e1+2e2),則無解;選項(xiàng)C中,設(shè)e1+e2=(e1-e2),則無解;選項(xiàng)D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以兩向量是共線向量

4、.1,22 , 1,1, 124.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,若1e1+2e2=0,則1+2=.答案答案0解析解析假設(shè)10,由1e1+2e2=0,得e1=-e2,e1與e2共線,這與e1,e2是平面內(nèi)一組基底矛盾,故1=0,同理,2=0,1+2=0.215.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三點(diǎn)共線,則k=.答案答案-解析解析 =-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線,即與共線,所以=(k0),解得k=-.OAOBOC23ABOBOAACOCOAABAC42kk7223考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用

5、典例典例1(2017沈陽四中期中)在ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且=+,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,又=t,則實(shí)數(shù)t的值為.答案答案 解析解析因?yàn)?+,所以3=2+,即2-2=-,所以2=,即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn)),CP23CA13CBCMCP34CP23CA13CBCPCACBCPCACBCPAPPB考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破又因?yàn)锳,M,Q三點(diǎn)共線,設(shè)=,所以=-=-=-=+,又=t=t(-)=t=-t,AMAQCMAMACAQAC1122ABACAC2AB22ACCMCPAPAC13ABAC3tABAC故解得故t的值是.,232,2tt 3,41.2t34規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1

6、)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.(2)平面上A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是:對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y,使=x+y,且x+y=1.變式變式1-1在本例中,試問點(diǎn)M在AQ的什么位置?解析解析由例題知=+及=,又=2,=(-)+=+(1-)PAPBPCCM2AB22AC12CBCQCM12CBCA22CA2CBCA=+(1-)=.因此點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn).CQCA2CQ CA1-2在ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,且=2,=r+s,則r+s=()A.B.C.-3D.0答案答案D由題意知=(-)=-,

7、又=r+s,所以r=,s=-,所以r+s=0,故選D.CDDBCDABAC2343CD23CB23ABAC23AB23ACCDABAC2323考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例典例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b.求:(1)3a+b-3c;(2)滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(3)M,N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).解析解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).ABBCCACMCNMN(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42

8、).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),解得65,385,mnmn 1,1.mn (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),=-=3c,=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20).又=-=-2b,=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2),=(9,-18).CMOMOCOMOCCNONOCONOCMN方法技巧方法技巧平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中,常利用“向量相等,則坐標(biāo)相同”這一結(jié)論,由此可列方程(組)進(jìn)行求解.2-1已知點(diǎn)A(-1,

9、5)和向量a=(2,3),若=3a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)答案答案 D設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),則=(x+1,y-5).由=3a,得解得ABABAB16,59,xy 5,14.xy故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,14).2-2在ABC中,點(diǎn)P在BC上,且=2,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若=(4,3),=(1,5),則=()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)答案答案B=2,=3=3(+).Q是AC的中點(diǎn),=2,又=+,=3+2(+)=(-6,21).BPPCPAPQBCBPPCBCPCPAACACAQAQAPPQBCPAAPP

10、Q考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示典例典例3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(2)若(a+kc)(2b-a),求實(shí)數(shù)k.解析解析(1)由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由題意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=-.43,22,mnmn5,98.9mn1613規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.向量共線的兩種表示形式若ab(b0),則a=b;x1y2-x2y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2).至于使用哪種形式,應(yīng)視題目的具體條件而定,一般涉及坐標(biāo)時(shí)應(yīng)用.2.與向量共線有關(guān)的題型有:(1)證三點(diǎn)共線;(2)已知兩向量共線,求相關(guān)參數(shù).解決第(1)種問題時(shí),可先證明相關(guān)兩向量共線,再說明兩向量有公共點(diǎn);解決第(2)種問題時(shí),可先利用向量共線的充要條件列方程(組),再求解.3-1(2017廣東揭陽一中期末)已知向量a=(3cos,2)與向量b=(3,4sin)平行,則銳角等于()A.B.C.D.答案答案A因?yàn)閍=(3cos,2),b=(3,4sin),且ab,所以3cos4sin-23=0,解得sin2=1.因?yàn)?所以2(0,),所以2=,即=.4635120,224