高中北師大版數(shù)學(xué)必修2精練：第一章 水平測試 Word版含解析

第一章水平測試 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第Ⅰ卷(選擇題，共60分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列三視圖表示的幾何體是(　　) A．圓臺(tái) B．棱錐 C．圓錐 D．圓柱 答案　A 解析　由于俯視圖是兩個(gè)同心圓，則這個(gè)幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又左視圖和主視圖均是等腰梯形，所以該幾何體是圓臺(tái)． 2．已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一個(gè)(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．三邊中有兩邊相等的等腰三角形 D．三邊互不相等的三角形 答案　A 解析　根據(jù)“斜二測畫法”可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝.故原△ABC是一個(gè)等邊三角形． 3．已知某個(gè)幾何體的三視圖如下圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是(　　) A. cm3 B. cm3 C．2000 cm3 D．4000 cm3 答案　B 解析　由三視圖得該幾何體為四棱錐，則其體積為V＝×20×20×20＝ cm3. 4．已知一個(gè)圓錐的展開圖如右圖所示，其中扇形的圓心角為120°，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為(　　) A. B. C. D.π 答案　A 解析　由底面圓的半徑為1，可知扇形的弧長為2π，又扇形的圓心角為120°，所以圓錐母線長為＝3，高為＝2，所求體積V＝×π×12×2＝. 5. 如右圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為(　　) A．6 B．6 C．4 D．4 答案　B 解析　該多面體是如下圖所示的棱長為4的正方體內(nèi)的三棱錐E－CC1D1(其中E為BB1的中點(diǎn))，其中最長的棱為D1E＝＝6. 6．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A. B. C．2π D．4π 答案　B 解析　由題意，該幾何體可以看作兩個(gè)底面半徑和高都為的圓錐的組合體，其體積為2××π×()2×＝. 7．正方體ABCD－A1B1C1D1如下圖所示，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．異面直線AD與CB1所成的角為60° 答案　D 解析　對(duì)于A，由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；對(duì)于B，連接AC，易證BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD；對(duì)于C，因?yàn)锽D∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，同理可證AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1；對(duì)于D，因?yàn)锽C∥AD，所以∠B1CB即AD與CB1所成的角，此角為45°，故D錯(cuò)． 8．如下圖所示，在四面體ABCD中，E、F分別是AC與BD的中點(diǎn)，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為(　　) A．90° B．45° C．60° D．30° 答案　D 解析　取BC的中點(diǎn)H，連接EH、FH，則∠EFH為所求的角，可證△EFH為直角三角形，EH⊥EF，F(xiàn)H＝2，EH＝1，∴sin∠EFH＝＝，∴∠EFH＝30°. 9．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，則EF與平面BB1D1D的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．相交 C．EF?平面BB1D1D D．無法判斷 答案　A 解析　取B1C1中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H， ∵E、F、H分別為BC、D1C1、B1C1中點(diǎn)， ∴FH∥D1B1，EH∥BB1， ∴平面EFH∥平面BB1D1D ∵EF平面EFH， ∴EF∥平面BB1D1D. 10．如圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A′，B′，C′，若＝，則＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，從而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，＝2＝2＝，所以＝，所以＝，故選D. 11．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D．α與β相交，且交線平行于l 答案　D 解析　由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則交線平行于l，故選D. 12．已知平面ABC外一點(diǎn)P，且PH⊥平面ABC于點(diǎn)H.給出下列四個(gè)說法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點(diǎn)H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則點(diǎn)H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，則PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)H是△ABC的外心．其中正確說法的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　對(duì)于①，易知AH⊥BC，BH⊥AC，所以點(diǎn)H是△ABC的垂心；對(duì)于②，易知PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC，同理，PA⊥BC，由①可知點(diǎn)H是△ABC的垂心；對(duì)于③，∠ABC＝90°，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以PA＝PB＝PC；對(duì)于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，PA＝PB＝PC，所以HA＝HB＝HC，即點(diǎn)H是△ABC的外心．①②③④都正確，故選D. 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上) 13．下列說法正確的是________．(填序號(hào)) ①連接圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； ③圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面； ④圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長． 答案　④ 解析　本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．根據(jù)圓柱母線的定義，①說法錯(cuò)誤；以直角梯形垂直于上、下底的腰為軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，以另一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，故②說法錯(cuò)誤；圓錐只有—個(gè)底面，故③說法錯(cuò)誤；根據(jù)圓錐母線的定義，④說法正確． 14．把直徑分別為6 cm,8 cm,10 cm的三個(gè)鐵球熔成一個(gè)大鐵球，則這個(gè)大鐵球的半徑為________cm. 答案　6 解析　設(shè)大鐵球的半徑為R cm，由πR3＝π×3＋π×3＋π×3，得R3＝216，得R＝6. 15．如圖所示，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個(gè)面所在的平面中，與直線CE平行、相交的平面?zhèn)€數(shù)分別為m，n，則m＋n＝________. 答案　5 解析　CE與正方體上底面平行，且在正方體下底面所在的平面內(nèi)，而與它相交的平面分別是前、后、左、右四個(gè)平面，即m＝1，n＝4，因此m＋n＝5. 16．如圖所示的四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是________．(填序號(hào)) 答案?、佗? 解析?、僦?，記點(diǎn)B正上方的頂點(diǎn)為C，連接AC，則易證平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP；④中AB∥NP，根據(jù)空間直線與平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均與平面MNP相交． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求證：直線AA1，BP，CQ相交于一點(diǎn)． 證明　如圖，連接PQ. 由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1， 得PQ∥B1C1，且PQ＝B1C1. 又BC綊B1C1，∴四邊形BCQP為梯形， ∴直線BP，CQ相交，設(shè)交點(diǎn)為R，則R∈BP，R∈CQ. 又BP平面AA1B1B，CQ平面AA1C1C， ∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C， ∴R在平面AA1B1B與平面AA1C1C的交線上，即R∈AA1， ∴直線AA1，BP，CQ相交于一點(diǎn)． 18．(本小題滿分12分)某幾何體的三視圖如圖所示(不考慮接觸點(diǎn))． (1)求該幾何體的表面積； (2)求該幾何體的體積． 解　(1)由三視圖，知該幾何體由兩部分組成，上部分是直徑為1的球，下部分是底面邊長為2，高為3的正三棱柱． 表面積S＝4π×2＋×2××2＋2×3×3＝π＋2＋18. (2)體積V＝×2××3＋π×3＝3＋. 19．(本小題滿分12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥AC.D，E分別是BB1，A1C1的中點(diǎn)． (1)求證：DE∥平面A1BC； (2)若AB⊥BC，求證：A1B⊥平面ABC； (3)在(2)的條件下，AB＝BC＝1，BB1＝，求三棱錐A1－BCC1的體積． 解　(1)證明：取A1C的中點(diǎn)F，連接BF，EF， ∵E是A1C1的中點(diǎn)， ∴EF∥CC1，且EF＝CC1. 又CC1∥BB1，D是BB1的中點(diǎn)， ∴EF∥DB，且EF＝DB， ∴四邊形BDEF是平行四邊形， ∴DE∥BF，而DE平面A1BC，BF平面A1BC， ∴DE∥平面A1BC. (2)證明：∵AA1⊥BC，AB⊥BC，AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B. 又A1B⊥AC，AC∩BC＝C， ∴A1B⊥平面ABC. (3)由(2)的結(jié)論，得A1B⊥AB， ∵AB⊥BC，∴AB⊥平面A1BC. ∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面A1BC. 由B1C1∥BC，可知B1C1∥平面A1BC. ∵A1B1＝AB＝1，BB1＝， ∴A1B＝1， ∴三棱錐A1－BCC1的體積 V＝V＝V ＝S·A1B1＝××BC×A1B×A1B1 ＝××1×1×1＝. 20．(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC＝90°，BC＝BB1，M，N分別是A1B1，AC1的中點(diǎn)． 求證：(1)MN∥平面BCC1B1； (2)平面MAC1⊥平面ABC1. 證明　(1)取BC1的中點(diǎn)D，連接B1D，ND， ∵D，N分別是BC1，AC1的中點(diǎn)， ∴ND∥AB，ND＝AB. 又M為A1B1的中點(diǎn)，AB∥A1B1，∴ND綊B1M， ∴MNDB1為平行四邊形，∴MN∥B1D. 又B1D平面BCC1B1，MN平面BCC1B1， ∴MN∥平面BCC1B1. (2)由題可知AB⊥B1D，B1D⊥BC1. 又AB平面ABC1，BC1平面ABC1，AB∩BC1＝B， ∴B1D⊥平面ABC1. 又B1D∥MN，∴MN⊥平面ABC1. 又MN平面MAC1，∴平面MAC1⊥平面ABC1. 21．(本小題滿分12分)如圖，已知二面角α－MN－β的大小為60°，菱形ABCD在面β內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中點(diǎn)，DO⊥面α，垂足為O. (1)證明：AB⊥平面ODE； (2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值． 解　(1)證明：如圖，因?yàn)镈O⊥α，AB?α，所以DO⊥AB. 連接BD，由題設(shè)，知△ABD是正三角形， 又E是AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB. 而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE. (2)因?yàn)锽C∥AD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角． 由(1)，知AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE. 又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α－MN－β的平面角， 從而∠DEO＝60°. 不妨設(shè)AB＝2，則AD＝2，易知DE＝. 在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝. 連接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝＝. 故異面直線BC與OD所成角的余弦值為. 22．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB1C1C. (1)證明：B1C⊥AB； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高． 解　(1)證明：如圖，連接BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)．因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，所以B1C⊥BC1. 又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，而AO∩BO＝O，故B1C⊥平面ABO. 由于AB平面ABO，故B1C⊥AB. (2)如圖，作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.作OH⊥AD，垂足為H. 由于BC⊥AO，BC⊥OD， 故BC⊥平面AOD，所以O(shè)H⊥BC. 又OH⊥AD，所以O(shè)H⊥平面ABC. 因?yàn)椤螩BB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形． 又BC＝1，可得OD＝. 由于AC⊥AB1，所以O(shè)A＝B1C＝. 由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝. 又O為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC的距離為. 故三棱柱ABC－A1B1C1的高為.