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1、
解答題(一)
17．(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(shè)(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sinC.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝.
因?yàn)?°
2、20°，所以sin(C＋60°)＝，
故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝.
18．(2019·廣東梅州總復(fù)習(xí)質(zhì)檢)如圖，正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE.
(1)求證：AB⊥平面ADE；
(2)當(dāng)EA＝ED時(shí)，求二面角D－EB－C的余弦值．
解 (1)證明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD.又四邊形ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，AB∥CD，∴AB⊥AE，AE∩AD＝A，
∴AB⊥平面ADE.
(2)由(1)知，AB⊥平面ADE，DE?
3、平面ADE，
∴AB⊥DE，∴CD⊥DE.
過E作Ey∥CD，則有EA⊥Ey，EA⊥ED，ED⊥Ey.
以E為原點(diǎn)，分別以ED，Ey，EA為坐標(biāo)軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)EA＝ED＝a>0，∴CD＝AD＝a.可得E(0,0,0)，A(0,0，a)，B(0，－a，a)，D(a,0,0)，C(a，－a,0)．
則＝(a,0,0)，＝(0，－a，a)，＝(a，－a,0)．
設(shè)平面DEB的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，
則有
令y＝，得n＝(0，，2)．
設(shè)平面EBC的一個(gè)法向量為m＝(p，q，r)，則
令q＝，得m＝(2，，2)．
得cos〈n，m〉＝＝
＝
4、＝.
所以二面角D－EB－C的余弦值為.
19．(2019·安徽蚌埠第三次質(zhì)檢)已知點(diǎn)E(－2,0)，F(xiàn)(2,0)，P(x，y)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，P可以與點(diǎn)E，F(xiàn)重合．當(dāng)P不與E，F(xiàn)重合時(shí)，直線PE與PF的斜率之積為－.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)一個(gè)矩形的四條邊與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡均相切，求該矩形面積的取值范圍．
解 (1)當(dāng)P與點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，kPE·kPF＝－，得·＝－，即＋y2＝1(y≠0)，
當(dāng)P與點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，P(－2,0)或P(2,0)．
綜上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋y2＝1.
(2)記矩形面積為S，當(dāng)矩形一邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，易知S＝8.
當(dāng)矩形各邊均不與坐
5、標(biāo)軸平行時(shí)，根據(jù)對稱性，設(shè)其中一邊所在直線方程為y＝kx＋m，則其對邊方程為y＝kx－m，另一邊所在直線方程為y＝－x＋n，則其對邊方程為y＝－x－n，
聯(lián)立得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，則Δ＝0，即4k2＋1＝m2.
矩形的一邊長為d1＝，同理，＋1＝n2，矩形的另一邊長為d2＝，
S＝d1·d2＝·＝
＝4 ＝4
＝4 ＝4∈(8,10]．
綜上，S∈(8,10]．
20．(2019·安徽江淮十校第三次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x－，g(x)＝(ln x)2－2aln x＋a.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若存在x1∈[0,1]，使得對任意的
6、x2∈[1，e2]，f(x1)≥g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)f′(x)＝1＋>0，又x≠－1，故f(x)在(－∞，－1)為增函數(shù)，在也為增函數(shù)．
(2)由(1)可知，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)為增函數(shù)，f(x)max＝f(1)＝，由題意可知g(x)＝(ln x)2－2aln x＋a≤對任意的x∈[0,2]恒成立．令t＝ln x，則當(dāng)x∈[1，e2]時(shí)，t∈[0,2]，令h(t)＝t2－2at＋a－，問題轉(zhuǎn)化為h(t)≤0對任意的t∈[0,2]恒成立，由拋物線h(t)的開口向上，知即解得≤a≤.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
21．(2019·福建龍巖質(zhì)檢)某醫(yī)院為篩查某種疾
7、病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有n(n∈N*)份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：(1)逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；(2)混合檢驗(yàn)，將其中k(k∈N*，且k≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k＋1次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p(0
8、能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；
(2)現(xiàn)取其中k(k∈N*且k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為ξ1，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為ξ2.
①試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識，若E(ξ1)＝E(ξ2)，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式p＝f(k)；
②若p＝1－，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更小，求k的最大值．
參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.6931，ln 3≈1.0986，ln 4≈1.3863，ln 5≈1.6094，ln 6≈1.7918.
解 (1)因?yàn)镻＝＝，所以恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為
9、.
(2)①由已知得E(ξ1)＝k，ξ2的所有可能取值為1，k＋1，
∴P(ξ2＝1)＝(1－p)k，P(ξ2＝k＋1)＝1－(1－p)k，
∴E(ξ2)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k.
若E(ξ1)＝E(ξ2)，則k＝k＋1－k(1－p)k，
∴k(1－p)k＝1，即(1－p)k＝，∴1－p＝，
∴p＝1－，∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為p＝1－ (k∈N*且k≥2)．
②由題意可知E(ξ2)k，設(shè)f(x)＝ln x－x(x>0)，∵f′(x)＝，∴當(dāng)x>3時(shí)，f′(x)<0，即f
10、(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞減，又ln 4≈1.3863，≈1.3333，∴l(xiāng)n 4>，ln 5≈1.6094，≈1.6667，
∴l(xiāng)n 5<，∴k的最大值為4.
22．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，θ∈[0，π)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sin.
(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，求圓C的圓心的直角坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)P(1，)，若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求證：|PA|·|PB|為定值，并求出該定值．
解 (1)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ＋4cosθ，又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
11、則圓C：x2＋y2－4x－4y＝0，圓心坐標(biāo)C(2,2)．
(2)將代入C：x2＋y2－4x－4y＝0，得t2－(2sinθ＋2cosθ)t－12＝0，
設(shè)點(diǎn)A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝－12，
∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝12.
23．(2019·四川廣安、眉山畢業(yè)班第一次診斷性考試)已知不等式|2x＋1|＋|x－1|<3的解集M.
(1)求M；
(2)若m，n∈M，求證：<1.
解 (1)當(dāng)x<－時(shí)，不等式即為－2x－1－x＋1<3，
解得－11時(shí)，不等式即為2x＋1＋x－1<3，此時(shí)無解．
綜上可知，不等式的解集M＝{x|－10，
因?yàn)閙，n∈(－1,1)，所以(m2－1)(n2－1)>0顯然成立．
所以<1成立．
高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第二部分 解答題一 Word版含解析
