人教版九年級上冊數(shù)學(xué) 21.3 實(shí)際問題與一元二次方程 教案
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人教版九年級上冊數(shù)學(xué) 21.3 實(shí)際問題與一元二次方程 教案
教學(xué)課題
21.3實(shí)際問題與一元二次方程
教學(xué)目標(biāo)
1. 知識與技能:學(xué)會列一元二次方程解簡單應(yīng)用題。
2. 過程與方法:通過建立方程模型解決實(shí)際應(yīng)用問題。
3. 情感態(tài)度與價(jià)值觀 :進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識解決實(shí)際問題。
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
1、 重點(diǎn) 列一元二次方程解應(yīng)用題
2、 難點(diǎn) 找相等關(guān)系列方程
教學(xué)過程
知識點(diǎn)一:
1、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟:
和列一元一次方程解應(yīng)用題一樣,列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是:
“審、設(shè)、列、解、答”.
(1)“審”指讀懂題目、審清題意,明確已知和未知,以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.這一步是解決問題的基礎(chǔ);
(2)“設(shè)”是指設(shè)元,設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元,所謂直接設(shè)元就是問什么設(shè)什么,間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的,但由于對列方程有利,因此間接設(shè)元也十分重要.恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易;
(3)“列”是列方程,這是非常重要的步驟,列方程就是找出題目中的等量關(guān)系,再根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式,即方程.找出相等關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵;
(4)“解”就是求出所列方程的解;
(5)“答”就是書寫答案,應(yīng)注意的是一元二次方程的解,有可能不符合題意,如線段的長度不能為負(fù)數(shù),降低率不能大于100%等等.因此,解出方程的根后,一定要進(jìn)行檢驗(yàn).
2、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵
(1)審題是設(shè)未知數(shù)、列方程的基礎(chǔ),所謂審題,就是要善于理解題意,弄清題中的已知量和未知數(shù),分清它們之間的數(shù)量關(guān)系,尋求隱含的相等關(guān)系;
(2)設(shè)未知數(shù)分直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù),這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確選擇設(shè)未知數(shù)的方法和正確地設(shè)出未知數(shù).
★列方程解應(yīng)用題應(yīng)注意:
(1)要充分利用題設(shè)中的已知條件,善于分析題中隱含的條件,挖掘其隱含關(guān)系;
(2)由于一元二次方程通常有兩個(gè)根,為此要根據(jù)題意對兩根加以檢驗(yàn).即判斷或確定方程的根與實(shí)際背景和題意是否相符,并將不符合題意和實(shí)際意義的
知識點(diǎn)二
1、數(shù)與數(shù)字的關(guān)系
兩位數(shù)=(十位數(shù)字)×10+個(gè)位數(shù)字
三位數(shù)=(百位數(shù)字)×100+(十位數(shù)字)×10+個(gè)位數(shù)字
2、翻一番
翻一番即表示為原量的2倍,翻兩番即表示為原量的4倍.
3、增長率問題
(1)增長率問題的有關(guān)公式:
增長數(shù)=基數(shù)×增長率 實(shí)際數(shù)=基數(shù)+增長數(shù)
(2)兩次增長,且增長率相等的問題的基本等量關(guān)系式為:
原來的×(1+增長率)增長期數(shù)=后來的
說明:(1)上述相等關(guān)系僅適用增長率相同的情形;
(2)如果是下降率,則上述關(guān)系式為: 原來的×(1-增長率)下降期數(shù)=后來的
例1:兩年前生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是5000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步,現(xiàn)在生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是3000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元,哪種藥品成本的年平均下降率較大?
分析:甲種藥品成本的年平均下降額為 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙種藥品成本的年平均下降額為 (6000-3600)÷2=1200(元)
乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率
解:設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為 5000(1-x)2 元,依題意得
5000(1-x)2=3000
解方程,得
答:甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.
例2.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行,到期后支取1000元用于購物,剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行,若存款的利率不變,到期后本金和利息共1320元,求這種存款方式的年利率.
分析:設(shè)這種存款方式的年利率為x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就變?yōu)?000+2000x·80%,其它依此類推.
解:設(shè)這種存款方式的年利率為x
則:1000+2000x·80%+(1000+2000x·8%)x·80%=1320
整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0
解得:x1=-2(不符,舍去),x2==0.125=12.5%
答:所求的年利率是12.5%.
例3.某林場計(jì)劃修一條長750m,斷面為等腰梯形的渠道,斷面面積為1.6m2,上口寬比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
(1)渠道的上口寬與渠底寬各是多少?
(2)如果計(jì)劃每天挖土48m3,需要多少天才能把這條渠道挖完?
分析:因?yàn)榍钭钚?,為了便于?jì)算,不妨設(shè)渠深為xm,則上口寬為x+2,渠底為x+0.4,那么,根據(jù)梯形的面積公式便可建模.
解:(1)設(shè)渠深為xm
則渠底為(x+0.4)m,上口寬為(x+2)m
依題意,得:(x+2+x+0.4)x=1.6
整理,得:5x2+6x-8=0
解得:x1==0.8m,x2=-2(舍)
∴上口寬為2.8m,渠底為1.2m.
(2)=25天
答:渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道.
例4.如圖,要設(shè)計(jì)一本書的封面,封面長27cm,寬21cm,正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(精確到0.1cm)?
思考: (1)本體中有哪些數(shù)量關(guān)系?
(2)正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形如何理解?
(3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程?
老師點(diǎn)評:依據(jù)題意知:中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比=9:7,由此可以判定:上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9:7,設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm,則左、右邊襯的寬均為7xcm,依題意,得:中央矩形的長為(27-18x)cm,寬為(21-14x)cm.
因?yàn)樗闹艿牟噬呉r所點(diǎn)面積是封面面積的,則中央矩形的面積是封面面積的.
所以(27-18x)(21-14x)=×27×21
整理,得:16x2-48x+9=0
解方程,得:x=,
x1≈2.8cm,x2≈0.2
所以:9x1=25.2cm(舍去),9x2=1.8cm,7x2=1.4cm
因此,上下邊襯的寬均為1.8cm,左、右邊襯的寬均為1.4cm.
分析:這本書的長寬之比是9:7,依題知正中央的矩形兩邊之比也為9:7
例5 某輛汽車在公路上行駛,它行駛的路程s(m)和時(shí)間t(s)之間的關(guān)系為:s=10t+3t2,那么行駛200m需要多長時(shí)間?
分析:這是一個(gè)加速運(yùn)運(yùn),根據(jù)已知的路程求時(shí)間,因此,只要把s=200代入求關(guān)系t的一元二次方程即可.
解:當(dāng)s=200時(shí),3t2+10t=200,3t2+10t-200=0
解得t=(s)
答:行駛200m需s.
例6:某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進(jìn)大量賀年卡,一種賀年卡平均每天可售出500張,每張盈利0.3元,為了盡快減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元,那么商場平均每天可多售出100張,商場要想平均每天盈利120元,每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元?
老師點(diǎn)評:總利潤=每件平均利潤×總件數(shù).設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元,則每件平均利潤應(yīng)是(0.3-x)元,總件數(shù)應(yīng)是(500+×100)
解:設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元
則(0.3-x)(500+)=120
解得:x=0.1
答:每張賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元.
例7 有一個(gè)人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?
提出問題:
(1)第一輪傳染了多少個(gè)人?
(2)第一輪后共有多少個(gè)人患了流感?
(3)第二輪傳染了多少個(gè)人?
(4)第二輪后共有多少個(gè)人患了流感?
師生活動:出示問題,學(xué)生先獨(dú)立思考,嘗試完成.了解學(xué)生完成的情況,組織各小組展開討論.教師巡視,獲取小組討論的情況,必要時(shí)給予小組點(diǎn)撥和幫助.
解:設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人,根據(jù)題意列方程,得
1+x+x(1+x)=121,,即.
解方程,得.
經(jīng)檢驗(yàn):不符合題意,舍去.
∴x=10.
答:每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人.
思考:如果按照這樣的傳染速度,三輪傳染后共有多少個(gè)人患流感?
121+121×10=1 331(人).
故按照這樣的傳染速度,三輪傳染后共有1 331個(gè)人患流感.
例8.兩個(gè)相鄰偶數(shù)的積是168,求這兩個(gè)偶數(shù)?
解:設(shè)一個(gè)偶數(shù)為2x,另一個(gè)偶數(shù)為(2x+2), 則
2x(2x+2)=168
解方程,得 x1=-7(舍去) x2 =6
答: 這兩個(gè)偶數(shù)時(shí) 12和 14
例9.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的和是14,面積是24,求兩條直角邊的長.
解:設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長分別為 a , b
a + b=14 a=14-b
s三角形= 12 a . b
12 (14-b)b=24
解方程, 得 b1=6 b2 =8
答:直角三角形的兩條直角邊的長分別為 6 ,8
課后練習(xí)
1.上海甲商場7月份的利潤為100萬元,9月份的利潤為121萬元,乙商場7月份的利潤為200萬元,9月份的利潤為288萬元,那么哪個(gè)商場利潤的年平均上升率較大?
2. 某電腦公司2015年的各項(xiàng)經(jīng)營中,一月份的營業(yè)額為200萬元,一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元.如果平均每月營業(yè)額的增長率相同,求這個(gè)增長率.
3.如圖,某中學(xué)為方便師生活動,準(zhǔn)備在長30米、寬20米的矩形草坪上修筑兩橫兩縱四條小路,橫、縱路的寬度之比為3︰2.若要使余下的草坪面積是原來草坪面積的,則路寬分別為多少?
4.明德小學(xué)為了美化校園,準(zhǔn)備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑兩條寬度相同的道路,余下部分作草坪.現(xiàn)在有一位學(xué)生設(shè)計(jì)了如圖所示的方案,求圖中道路的寬是多少米時(shí),草坪的面積為540平方米?
5、某林場計(jì)劃修一條長750 m,橫斷面為等腰梯形的渠道,橫斷面面積為1.6 m2,上口寬比渠深多2 m,渠底寬比渠深多0.4 m.渠道的上口寬與渠底寬各是多少米?
6.參加足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽,共要比賽90場,共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽?
參考答案:
1.解:設(shè)甲商場的增長率為x.
根據(jù)題意列方程,得.
解得x1=-2.1(不合題意,應(yīng)舍去),x2=0.1=10%.
設(shè)乙商場的增長率為y.
根據(jù)題意列方程,得.
解得y1=-2.2(不合題意,應(yīng)舍去),y2=0.2=20%.
∵10%<20%,
∴乙商場利潤的年平均上升率較大.
2.解:設(shè)平均每月的增長率為x.根據(jù)題意列方程,得
200+200(1+x)+200(1+x)2=950.
整理,得x2+3x-1.75=0.
解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(不合題意,應(yīng)舍去).
答:平均每月的增長率為50%.
3、師生活動:設(shè)橫路的寬為3x米,則縱路的寬為2x米.由題意,得
.
解得(舍去).
故橫路的寬為米,縱路的寬為米.
答:橫路的寬為米,縱路的寬為米.
4.解:設(shè)道路的寬為x米.根據(jù)題意列方程,得
(32-x)(20-x)=540.
解得(不合題意,應(yīng)舍去).
答:道路寬為2米.
5.解:設(shè)渠深為x m,則渠底寬為(x+0.4)m,上口寬為(x+2)m.
根據(jù)題意列方程,得(x+2+x+0.4)x=1.6.
整理,得5x2+6x-8=0.
解得x1==0.8,x2=-2(不合題意,應(yīng)舍去).
答:上口寬為2.8 m,渠底寬為1.2 m.
6、解:設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽,則根據(jù)題意列方程,得
x(x-1)=90
解方程 , 得x1=10 x2 =-9(舍去)
答:共有10個(gè)隊(duì)參加比賽.
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