工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論：第0章 矢量分析

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1、第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度無(wú)源場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)第0章 矢量分析下 頁(yè)返 回Vector Analysis電磁場(chǎng)的特殊形式微分算子及矢量運(yùn)算亥姆霍茲定理第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.1.1 場(chǎng)的概念 如果在空間的某區(qū)域中，每一點(diǎn)都存在一個(gè)確定的物理量，我們就說(shuō)，此區(qū)域中存在由此物理量構(gòu)成的場(chǎng)，此物理量稱(chēng)為場(chǎng)量，該區(qū)域稱(chēng)為場(chǎng)域。 如果這個(gè)物理量是標(biāo)量，稱(chēng)為標(biāo)量場(chǎng)；若為矢量，稱(chēng)為矢量場(chǎng)。 按場(chǎng)中物理量是否隨時(shí)間變化，又可分為靜態(tài)場(chǎng)（恒定場(chǎng)）和時(shí)變場(chǎng)（動(dòng)態(tài)場(chǎng)）。0.1 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)Scalar Field and Vec

2、tor Field下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.1.2 場(chǎng)的描述 表示場(chǎng)量空間和時(shí)間分布特性的函數(shù)稱(chēng)為場(chǎng)函數(shù)。記為 或 。例如，在直角坐標(biāo)下：)2() 1( 45),(222zyxzyx 標(biāo)量場(chǎng)zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量場(chǎng)如溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等；如流速場(chǎng)、電場(chǎng)、渦流場(chǎng)等。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回),(trA),(tr第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析const),( zyxh其方程為:圖0.1.1 等高線 標(biāo)量場(chǎng)-等值線(面)形象描繪場(chǎng)分布的工具場(chǎng)線（圖）思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量

3、 分分 析析zAyAxAzyxddd三維場(chǎng)二維場(chǎng)yAxAyxdd圖0.1.2 矢量線矢量場(chǎng)-矢量線0dlA其方程為：在直角坐標(biāo)下：下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 Gradient of Scalar Field 研究一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，不僅要掌握物理量 在空間的分布情況，更為重要的是要知道它的變化規(guī)律以及與其它物理量之間的相互關(guān)系。本節(jié)將介紹標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度。0.2.1 方向?qū)?shù) 標(biāo)量場(chǎng) 的分布情況，可借助于等值面或等值線來(lái)了解，但這只能大致地了解標(biāo)量場(chǎng) 的整體分布情況。而要詳細(xì)地研究標(biāo)量場(chǎng)，還必須對(duì)它作局部性的下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢

4、 量量 分分 析析了解，即要考察物理量在場(chǎng)中各點(diǎn)處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此，引入方向?qū)?shù)的概念。 數(shù)學(xué)上，標(biāo)量函數(shù) (P)從點(diǎn)P0 沿路徑 l 變到點(diǎn) P 的變化率稱(chēng)為方向?qū)?shù)，記作 ，即l coscoscoszyxleeee 式中 , , 分別是任一方向 與 x, y, z 軸的夾角,l 方向的單位矢量可以表示為l下 頁(yè)上 頁(yè)返 回coscoscoszyxl第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2.2 梯度方向?qū)?shù)解決了標(biāo)量場(chǎng)中 (P)在給定點(diǎn)處沿某一方向l 的變化率問(wèn)題。但是，函數(shù) (P)從給定點(diǎn)出發(fā)有無(wú)窮多個(gè)變化方向，其中哪個(gè)方向的變化率最大？最大變化率是多少？以下從方向?qū)?/p>

5、數(shù)的計(jì)算公式出發(fā)來(lái)討論此問(wèn)題。 設(shè)下 頁(yè)上 頁(yè)返 回),cos(|llleggeg則有：zyxzyxeeeg第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析上式表明：l與g 方向一致時(shí),方向?qū)?shù)取最大值, 增加得最快；l與g 方向相反時(shí),方向?qū)?shù)取最小值,減小得最快；l 與g 方向垂直時(shí),方向?qū)?shù)為0。定義矢量函數(shù)g為標(biāo)量場(chǎng)的梯度，記作grad 。在直角坐標(biāo)系中，下 頁(yè)上 頁(yè)返 回zyxzyxeeegrad梯度(gradient)第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析哈密頓算子式中圖0.1.3 等溫線分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的

6、梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的意義下 頁(yè)上 頁(yè)返 回zyxzyxeee第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.1 三維高度場(chǎng)的梯度圖0.2.1 三維高度場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等高線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢(shì)升高的方向。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.2 電位場(chǎng)的梯度圖0.2.2 電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3 矢量場(chǎng)的通量與散度0.3.1 通量 ( Flux )1.面元矢量一個(gè)曲面有兩側(cè)

7、，對(duì)于非閉合曲面（開(kāi)曲面），可以規(guī)定其中一側(cè)為正側(cè)；對(duì)于閉合曲面，則是規(guī)定其外側(cè)為正側(cè)。規(guī)定了正側(cè)的曲面為有向曲面。 稱(chēng)為面元矢量。Flux and Divergence of Vector Field下 頁(yè)上 頁(yè)返 回SddnS第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2.通量 矢量E 沿有向曲面 S 的面積分SE dS若 S 為閉合曲面 根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：SSE d 0 (有正源) = 0 (無(wú)源)圖0.3.2 矢量場(chǎng)通量的性質(zhì) 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回圖0.3.1 矢量場(chǎng)的通量 SE ddE稱(chēng)為 穿過(guò) 的通量Sd 0,則該點(diǎn)有發(fā)出通量線的正源，若divA0,則該點(diǎn)有發(fā)出通量線的負(fù)

8、源，若divA=0,則該點(diǎn)無(wú)源。如下圖所示。 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 2.表達(dá)式 根據(jù)散度的定義，divA描述的是一點(diǎn)的值，與體積元V形狀無(wú)關(guān)，在取零極限時(shí)，所有尺寸都趨于零，在推導(dǎo)散度的表達(dá)式時(shí)，采用直角坐標(biāo)系，體積元取平行六面體元，可得：散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3.散度的意義 在矢量場(chǎng)中，若 A= 0，稱(chēng)之為有源場(chǎng)， 稱(chēng)為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場(chǎng)中處處 A=0 ，稱(chēng)之為無(wú)源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。 (無(wú)源

9、）0 A (正源) A (負(fù)源) A圖0.3.3 通量的物理意義 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem ) A圖0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯公式VSVASA d d矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。VSdV Vlimd1nn0VnnAASA 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回SVVdSA10lim第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.4.1 環(huán)量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分環(huán)量LlAd 環(huán)量的大小與閉合路徑L及沿L的積分正方向（通常為逆時(shí)針

10、）有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。Circulation and Rotation of Vector Field下 頁(yè)上 頁(yè)返 回圖0.4.1 環(huán)量的計(jì)算第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 矢量場(chǎng)的環(huán)量與通量一樣，是描述矢量場(chǎng)特性的重要積分量。我們已知，若矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量不為零，表示該閉合面內(nèi)存在通量源。而如果矢量場(chǎng)沿某閉合曲線的環(huán)量不為零，則此矢量場(chǎng)中必有產(chǎn)生場(chǎng)的旋渦源。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，= 0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)。例：流速場(chǎng)圖0.4.2 流速場(chǎng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)， 0，有產(chǎn)生渦旋的源。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章

11、矢矢 量量 分分 析析0.4.2 旋度 ( Rotation )1. 環(huán)量密度 過(guò)點(diǎn) P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L(zhǎng)，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng) S 點(diǎn) P 時(shí)，存在極限LSSSl d1limdd0環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回 矢量場(chǎng)的環(huán)量是一個(gè)積分量，它不能說(shuō)明矢量場(chǎng)中的旋渦源在每點(diǎn)上的大小和方向。為此，我們先引入矢量場(chǎng)在任一點(diǎn)處的某方向上的環(huán)量面密度的概念，再討論矢量場(chǎng)的旋度。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2. 旋度 旋度是一個(gè)矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向AArot 旋度(curl)zyxzyxAAAz

12、yxeeeAn) (ddeA Sne S 的法線方向它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)下:下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場(chǎng)中，若 A=J 0 稱(chēng)之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)），J 稱(chēng)為旋度源（或渦旋源）。若矢量場(chǎng)處處 A= 0 ，稱(chēng)之為無(wú)旋場(chǎng)。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖 0.4.3 斯托克斯定理n)(ddeA SSAeAd)(

13、d)(dnSSA)lAd(dSl斯托克斯定理下 頁(yè)上 頁(yè) 在電磁場(chǎng)理論中，高斯定理和斯托克斯定理是 兩個(gè)非常重要的公式。返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.5 無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)Solenoidal Field and Irrotational (Conservative) Field下 頁(yè)上 頁(yè)返 回 任何一個(gè)場(chǎng)必然有源來(lái)激發(fā)它，場(chǎng)和源是同時(shí)存在的。矢量場(chǎng)的散度對(duì)應(yīng)著一種源，稱(chēng)為通量源；矢量場(chǎng)的旋度對(duì)應(yīng)著另一種源，稱(chēng)為旋渦源。0.5.1 無(wú)散場(chǎng)（必有旋） 設(shè)有矢量場(chǎng)A , 如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有： ， A稱(chēng)為無(wú)散場(chǎng)。 無(wú)散場(chǎng)具有兩個(gè)重要性質(zhì)。 性質(zhì)1 0SdSA0 A第第 零零 章

14、章矢矢 量量 分分 析析下 頁(yè)上 頁(yè)返 回性質(zhì)2 數(shù)學(xué)上有恒等式 可令 , 稱(chēng)為 的矢勢(shì)。0.5.2 無(wú)旋場(chǎng)（必有散） 設(shè)有矢量場(chǎng)A , 如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有： A稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng)。 無(wú)旋場(chǎng)具有兩個(gè)重要性質(zhì)。性質(zhì)1 性質(zhì)2 數(shù)學(xué)上有恒等式 可令 , 稱(chēng)為 的標(biāo)勢(shì)。 0(F)FAFA0AL0dlA0()AA第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析下 頁(yè)上 頁(yè)返 回0.5.3 調(diào)和場(chǎng) 設(shè)有矢量場(chǎng)A , 如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有： A稱(chēng)為調(diào)和場(chǎng)。 0A0 A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6 亥姆霍茲定理0.6.1 亥姆霍茲定理內(nèi)容 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已

15、知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件（矢量 A 惟一地確定）電荷密度電流密度J 場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中Hymherze Theorem下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6.2 場(chǎng)方程 矢量場(chǎng)A的場(chǎng)方程決定了場(chǎng)的性質(zhì)，為： 亥姆霍茲定理是研究電磁場(chǎng)理論的一條主線。無(wú)論是靜態(tài)場(chǎng)還是時(shí)變場(chǎng)，都是圍繞著它們的旋度、散度和邊界條件展開(kāi)理論分析的。 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回JA A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.6.1 試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。FF00FF00FF00下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.7 特殊形式的電磁場(chǎng) 如

16、果在經(jīng)過(guò)某一軸線( 設(shè)為 z 軸）的一族平行平面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F= f（x,y），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。1. 平行平面場(chǎng)Special Forms of Electromagnetic Field如無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回0第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 如果在經(jīng)過(guò)某一軸線 ( 設(shè)為 z 軸 )的一族子午面上，場(chǎng) F 的分布都相同，即 F=f（r,），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)。2. 軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng) 如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)；有限長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。下 頁(yè)上 頁(yè)返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 球面對(duì)稱(chēng)場(chǎng) 如果在一族同心球面上（設(shè)球心在原點(diǎn)），

17、場(chǎng) F 的分布都相同 ，即 F= f（r），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為球面對(duì)稱(chēng)場(chǎng)。 如點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)；帶電球體產(chǎn)生的電場(chǎng)。上 頁(yè)0返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 0.8 微分算子及矢量運(yùn)算Differential Operator and Vector Operation 0.8.1 微分算子在直角坐標(biāo)系中，哈密頓算子梯度 散度 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回zyxzyxeeezyxzyxeeezAyAxAzyx A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回旋度拉普拉斯算子)()()(yAxAxAzAzAyAAAAzyxxyzzxyyzxzyxzyxeeeeeeA2222222zyx第第

18、 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 （1） (2) (3) (4) 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回0.8.2 矢量運(yùn)算R)(RRR)(例 0.8.1 計(jì)算 圖0.8.1 zzyyxxRzyxzyxRzyxzyxeeeRerrReeereeer場(chǎng)點(diǎn)源點(diǎn)位置矢量單位矢量常矢量第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回(1)zyxzzyyxxeeeR)()()(3zRyRxRzyxR (2)0)()()(zzyyxxzyxzyxeeeR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回(3)eeeeeeRzRyRxRRRRzyxzzzyyyxxxzzyyxxzyx)()( 第第 零零 章

19、章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回(4)eeeeeeRzzyyxxzyxzzyyxxzfyfxfRRR)()( 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回例 0.8.2 證明RRRR（1） (2) (3) (4) (5)23)1()1(RRRRReR0)(3RR0)(3RR)(4)1(2rrR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回（1）21222)()()(zzyyxxRzRyRxRRzyxeeezRyRxRRzyxeee可證（1）。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回（2）212221)()()(zzyyxxRzRyRxRR

20、zyx1111eeezRyRxRRzyx1111eee可證（2）。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回（3） (4)0)1()(3RRR232223)()()(zzyyxxR0)()()()(3333RzzzRyyyRxxxRR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回（5）當(dāng) 時(shí)，用直接微分法，有rr 01)1(32RRRR當(dāng) 時(shí)，不能直接計(jì)算。取以 為球心，R為半徑，作球面S, 所圍的體積為 ，將等式兩邊作體積分，有rr r4ddd1d1d1332 SRssRRRRRRSeSRS第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁(yè)上 頁(yè)返 回（5）式得證。4

21、d)(4rr第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析作 業(yè)00 A zzyyxxzyxzyxAAAzyxzyxzyxeeeAeeereeer),(1）2）式中：1、試證明下列各題:上 頁(yè)返 回2、重做例題0.8.1和例題0.8.2第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析第0章小測(cè)驗(yàn)1、寫(xiě)出梯度寫(xiě)出梯度 在直角在直角 坐標(biāo)系中的表達(dá)式。坐標(biāo)系中的表達(dá)式。2、標(biāo)量場(chǎng)、標(biāo)量場(chǎng) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處沿哪個(gè)方向的處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？這個(gè)最大值是多少？方向?qū)?shù)最大？這個(gè)最大值是多少？3、求、求 在給定點(diǎn)處的值。在給定點(diǎn)處的值。 在點(diǎn)在點(diǎn) 處。處。AA 旋度旋度散度散度, 32yzx )1, 1 , 2( MzyxezxyexeA224 )3 , 1 , 1(MA