工程電磁場導論：第0章 矢量分析

第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析標量場和矢量場標量場的梯度矢量場的通量與散度矢量場的環(huán)量與旋度無源場與無旋場第0章 矢量分析下 頁返 回Vector Analysis電磁場的特殊形式微分算子及矢量運算亥姆霍茲定理第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.1.1 場的概念 如果在空間的某區(qū)域中，每一點都存在一個確定的物理量，我們就說，此區(qū)域中存在由此物理量構成的場，此物理量稱為場量，該區(qū)域稱為場域。 如果這個物理量是標量，稱為標量場；若為矢量，稱為矢量場。 按場中物理量是否隨時間變化，又可分為靜態(tài)場（恒定場）和時變場（動態(tài)場）。0.1 標量場和矢量場Scalar Field and Vector Field下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.1.2 場的描述 表示場量空間和時間分布特性的函數(shù)稱為場函數(shù)。記為 或 。例如，在直角坐標下：)2() 1( 45),(222zyxzyx 標量場zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量場如溫度場、電位場、高度場等；如流速場、電場、渦流場等。下 頁上 頁返 回),(trA),(tr第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析const),( zyxh其方程為:圖0.1.1 等高線 標量場-等值線(面)形象描繪場分布的工具場線（圖）思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析zAyAxAzyxddd三維場二維場yAxAyxdd圖0.1.2 矢量線矢量場-矢量線0dlA其方程為：在直角坐標下：下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2 標量場的梯度 Gradient of Scalar Field 研究一個標量場，不僅要掌握物理量 在空間的分布情況，更為重要的是要知道它的變化規(guī)律以及與其它物理量之間的相互關系。本節(jié)將介紹標量場的方向導數(shù)和梯度。0.2.1 方向導數(shù) 標量場 的分布情況，可借助于等值面或等值線來了解，但這只能大致地了解標量場 的整體分布情況。而要詳細地研究標量場，還必須對它作局部性的下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析了解，即要考察物理量在場中各點處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此，引入方向導數(shù)的概念。 數(shù)學上，標量函數(shù) (P)從點P0 沿路徑 l 變到點 P 的變化率稱為方向導數(shù)，記作 ，即l coscoscoszyxleeee 式中 , , 分別是任一方向 與 x, y, z 軸的夾角,l 方向的單位矢量可以表示為l下 頁上 頁返 回coscoscoszyxl第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.2.2 梯度方向導數(shù)解決了標量場中 (P)在給定點處沿某一方向l 的變化率問題。但是，函數(shù) (P)從給定點出發(fā)有無窮多個變化方向，其中哪個方向的變化率最大？最大變化率是多少？以下從方向導數(shù)的計算公式出發(fā)來討論此問題。 設下 頁上 頁返 回),cos(|llleggeg則有：zyxzyxeeeg第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析上式表明：l與g 方向一致時,方向導數(shù)取最大值, 增加得最快；l與g 方向相反時,方向導數(shù)取最小值,減小得最快；l 與g 方向垂直時,方向導數(shù)為0。定義矢量函數(shù)g為標量場的梯度，記作grad 。在直角坐標系中，下 頁上 頁返 回zyxzyxeeegrad梯度(gradient)第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析哈密頓算子式中圖0.1.3 等溫線分布梯度的方向為該點最大方向導數(shù)的方向。梯度的大小為該點標量函數(shù) 的最大變化率，即最大方向導數(shù)。標量場的梯度是一個矢量，是空間坐標點的函數(shù)。梯度的意義下 頁上 頁返 回zyxzyxeee第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.1 三維高度場的梯度圖0.2.1 三維高度場的梯度高度場的梯度與過該點的等高線垂直；數(shù)值等于該點位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.2.2 電位場的梯度圖0.2.2 電位場的梯度電位場的梯度與過該點的等位線垂直；數(shù)值等于該點的最大方向導數(shù)；指向電位增加的方向。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3 矢量場的通量與散度0.3.1 通量 ( Flux )1.面元矢量一個曲面有兩側，對于非閉合曲面（開曲面），可以規(guī)定其中一側為正側；對于閉合曲面，則是規(guī)定其外側為正側。規(guī)定了正側的曲面為有向曲面。 稱為面元矢量。Flux and Divergence of Vector Field下 頁上 頁返 回SddnS第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2.通量 矢量E 沿有向曲面 S 的面積分SE dS若 S 為閉合曲面 根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質：SSE d 0 (有正源) = 0 (無源)圖0.3.2 矢量場通量的性質 下 頁上 頁返 回圖0.3.1 矢量場的通量 SE ddE稱為 穿過 的通量Sd 0,則該點有發(fā)出通量線的正源，若divA0,則該點有發(fā)出通量線的負源，若divA=0,則該點無源。如下圖所示。 下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 2.表達式 根據(jù)散度的定義，divA描述的是一點的值，與體積元V形狀無關，在取零極限時，所有尺寸都趨于零，在推導散度的表達式時，采用直角坐標系，體積元取平行六面體元，可得：散度 (divergence)zAyAxAzyxAAdiv下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3.散度的意義 在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場中處處 A=0 ，稱之為無源場。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數(shù)；散度代表矢量場的通量源的分布特性。 (無源）0 A (正源) A (負源) A圖0.3.3 通量的物理意義 下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem ) A圖0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯公式VSVASA d d矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉換。VSdV Vlimd1nn0VnnAASA 下 頁上 頁返 回SVVdSA10lim第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4 矢量場的環(huán)量與旋度0.4.1 環(huán)量 ( Circulation ) 矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分環(huán)量LlAd 環(huán)量的大小與閉合路徑L及沿L的積分正方向（通常為逆時針）有關，它表示繞環(huán)線旋轉趨勢的大小。Circulation and Rotation of Vector Field下 頁上 頁返 回圖0.4.1 環(huán)量的計算第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 矢量場的環(huán)量與通量一樣，是描述矢量場特性的重要積分量。我們已知，若矢量場通過閉合曲面的通量不為零，表示該閉合面內(nèi)存在通量源。而如果矢量場沿某閉合曲線的環(huán)量不為零，則此矢量場中必有產(chǎn)生場的旋渦源。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析水流沿平行于水管軸線方向流動，= 0，無渦旋運動。例：流速場圖0.4.2 流速場流體做渦旋運動， 0，有產(chǎn)生渦旋的源。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.4.2 旋度 ( Rotation )1. 環(huán)量密度 過點 P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當 S 點 P 時，存在極限LSSSl d1limdd0環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下 頁上 頁返 回 矢量場的環(huán)量是一個積分量，它不能說明矢量場中的旋渦源在每點上的大小和方向。為此，我們先引入矢量場在任一點處的某方向上的環(huán)量面密度的概念，再討論矢量場的旋度。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析2. 旋度 旋度是一個矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向為最大環(huán)量密度的方向AArot 旋度(curl)zyxzyxAAAzyxeeeAn) (ddeA Sne S 的法線方向它與環(huán)量密度的關系為在直角坐標下:下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。某點旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場中，若 A=J 0 稱之為旋度場（或渦旋場），J 稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處 A= 0 ，稱之為無旋場。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析4. 斯托克斯定理 ( Stockes Theorem )矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉化。圖 0.4.3 斯托克斯定理n)(ddeA SSAeAd)(d)(dnSSA)lAd(dSl斯托克斯定理下 頁上 頁 在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是 兩個非常重要的公式。返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.5 無散場與無旋場Solenoidal Field and Irrotational (Conservative) Field下 頁上 頁返 回 任何一個場必然有源來激發(fā)它，場和源是同時存在的。矢量場的散度對應著一種源，稱為通量源；矢量場的旋度對應著另一種源，稱為旋渦源。0.5.1 無散場（必有旋） 設有矢量場A , 如果在場域中每一點處恒有： ， A稱為無散場。 無散場具有兩個重要性質。 性質1 0SdSA0 A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析下 頁上 頁返 回性質2 數(shù)學上有恒等式 可令 , 稱為 的矢勢。0.5.2 無旋場（必有散） 設有矢量場A , 如果在場域中每一點處恒有： A稱為無旋場。 無旋場具有兩個重要性質。性質1 性質2 數(shù)學上有恒等式 可令 , 稱為 的標勢。 0(F)FAFA0AL0dlA0()AA第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析下 頁上 頁返 回0.5.3 調和場 設有矢量場A , 如果在場域中每一點處恒有： A稱為調和場。 0A0 A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6 亥姆霍茲定理0.6.1 亥姆霍茲定理內(nèi)容 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件（矢量 A 惟一地確定）電荷密度電流密度J 場域邊界條件在電磁場中Hymherze Theorem下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.6.2 場方程 矢量場A的場方程決定了場的性質，為： 亥姆霍茲定理是研究電磁場理論的一條主線。無論是靜態(tài)場還是時變場，都是圍繞著它們的旋度、散度和邊界條件展開理論分析的。 下 頁上 頁返 回JA A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析例 0.6.1 試判斷下列各圖中矢量場的性質。FF00FF00FF00下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析0.7 特殊形式的電磁場 如果在經(jīng)過某一軸線( 設為 z 軸）的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即 F= f（x,y），則稱這個場為平行平面場。1. 平行平面場Special Forms of Electromagnetic Field如無限長直導線產(chǎn)生的電場。下 頁上 頁返 回0第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 如果在經(jīng)過某一軸線 ( 設為 z 軸 )的一族子午面上，場 F 的分布都相同，即 F=f（r,），則稱這個場為軸對稱場。2. 軸對稱場 如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場；有限長直帶電導線產(chǎn)生的電場。下 頁上 頁返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析3. 球面對稱場 如果在一族同心球面上（設球心在原點），場 F 的分布都相同 ，即 F= f（r），則稱這個場為球面對稱場。 如點電荷產(chǎn)生的電場；帶電球體產(chǎn)生的電場。上 頁0返 回第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 0.8 微分算子及矢量運算Differential Operator and Vector Operation 0.8.1 微分算子在直角坐標系中，哈密頓算子梯度 散度 下 頁上 頁返 回zyxzyxeeezyxzyxeeezAyAxAzyx A第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回旋度拉普拉斯算子)()()(yAxAxAzAzAyAAAAzyxxyzzxyyzxzyxzyxeeeeeeA2222222zyx第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 （1） (2) (3) (4) 下 頁上 頁返 回0.8.2 矢量運算R)(RRR)(例 0.8.1 計算 圖0.8.1 zzyyxxRzyxzyxRzyxzyxeeeRerrReeereeer場點源點位置矢量單位矢量常矢量第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回(1)zyxzzyyxxeeeR)()()(3zRyRxRzyxR (2)0)()()(zzyyxxzyxzyxeeeR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回(3)eeeeeeRzRyRxRRRRzyxzzzyyyxxxzzyyxxzyx)()( 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回(4)eeeeeeRzzyyxxzyxzzyyxxzfyfxfRRR)()( 第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回例 0.8.2 證明RRRR（1） (2) (3) (4) (5)23)1()1(RRRRReR0)(3RR0)(3RR)(4)1(2rrR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回（1）21222)()()(zzyyxxRzRyRxRRzyxeeezRyRxRRzyxeee可證（1）。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回（2）212221)()()(zzyyxxRzRyRxRRzyx1111eeezRyRxRRzyx1111eee可證（2）。第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回（3） (4)0)1()(3RRR232223)()()(zzyyxxR0)()()()(3333RzzzRyyyRxxxRR第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回（5）當 時，用直接微分法，有rr 01)1(32RRRR當 時，不能直接計算。取以 為球心，R為半徑，作球面S, 所圍的體積為 ，將等式兩邊作體積分，有rr r4ddd1d1d1332 SRssRRRRRRSeSRS第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析 下 頁上 頁返 回（5）式得證。4d)(4rr第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析作 業(yè)00 A zzyyxxzyxzyxAAAzyxzyxzyxeeeAeeereeer),(1）2）式中：1、試證明下列各題:上 頁返 回2、重做例題0.8.1和例題0.8.2第第 零零 章章矢矢 量量 分分 析析第0章小測驗1、寫出梯度寫出梯度 在直角在直角 坐標系中的表達式。坐標系中的表達式。2、標量場、標量場 在點在點 處沿哪個方向的處沿哪個方向的方向導數(shù)最大？這個最大值是多少？方向導數(shù)最大？這個最大值是多少？3、求、求 在給定點處的值。在給定點處的值。 在點在點 處。處。AA 旋度旋度散度散度, 32yzx )1, 1 , 2( MzyxezxyexeA224 )3 , 1 , 1(MA