湖南省2019年中考數(shù)學總復習 專題訓練07 幾何動點探究題練習

幾何動點探究題 07 幾何動點探究題 1.[2018·宿遷] 如圖ZT7-1,在邊長為1的正方形ABCD中,動點E,F分別在邊AB,CD上,將正方形ABCD沿直線EF折疊,使點B的對應點M始終落在邊AD上(點M不與點A,D重合),點C落在點N處,MN與CD交于點P,設(shè)BE=x. (1)當AM=13時,求x的值. (2)隨著點M在邊AD上位置的變化,△PDM的周長是否發(fā)生變化?如果變化,請說明理由;如果不變,請求出該定值. (3)設(shè)四邊形BEFC的面積為S,求S與x之間的函數(shù)表達式,并求出S的最小值. 圖ZT7-1 2.[2017·湘潭] 如圖ZT7-2,動點M在以O(shè)為圓心,AB為直徑的半圓弧上運動(點M不與點A,B及AB的中點F重合),連接OM,過點M作ME⊥AB于點E,以BE為邊在半圓同側(cè)作正方形BCDE,過點M作☉O的切線交射線DC于點N,連接BM,BN. (1)探究:如圖①,當動點M在AF上運動時: ①判斷△OEM∽△MDN是否成立?請說明理由. ②設(shè)ME+NCMN=k,k是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由. ③設(shè)∠MBN=α,α是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由. (2)拓展:如圖②,當動點M在FB上運動時: 分別判斷(1)中的三個結(jié)論是否保持不變?如有變化,請直接寫出正確的結(jié)論(均不必說明理由). 圖ZT7-2 3.[2018·湖州] 如圖ZT7-3①,在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC中,∠ABC=90°,頂點A在第一象限,B,C在x軸的正半軸上(C在B的右側(cè)),BC=2,AB=23,△ADC與△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱. (1)當OB=2時,求點D的坐標. (2)若點A和點D在同一個反比例函數(shù)的圖象上,求OB的長. (3)如圖②,將第(2)題中的四邊形ABCD向右平移,記平移后的四邊形為A1B1C1D1,過點D1的反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象與BA的延長線交于點P.問:在平移過程中,是否存在這樣的k,使得以點P,A1,D為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的k的值;若不存在,請說明理由. 圖ZT7-3 4.[2018·永州] 如圖ZT7-4①,在△ABC中,矩形EFGH的一邊EF在AB上,頂點G,H分別在BC,AC上,CD是邊AB上的高,CD交GH于點I.若CI=4,HI=3,AD=92,矩形DFGI恰好為正方形. (1)求正方形DFGI的邊長. (2)如圖②,延長AB至P,使得AC=CP,將矩形EFGH沿BP的方向向右平移,當點G剛好落在CP上時,試判斷移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形,為什么? (3)如圖③,連接DG,將正方形DFGI繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到正方形DF'G'I',正方形DF'G'I'分別與線段DG,DB相交于點M,N,求△MNG'的周長. 圖ZT7-4 參考答案 1.解: (1)由折疊可知,ME=BE=x, ∴AE=1-x. 在Rt△AEM中,由AM=13, 得132+(1-x)2=x2. 解得x=59. (2)不發(fā)生變化. 如圖①,連接BM,BP,過點B作BH⊥MN,垂足為H. ∵EB=EM,∴∠EBM=∠EMB. ∵∠EBC=∠EMN, ∴∠EBC-∠EBM=∠EMN-∠EMB,即∠MBC=∠BMN. ∵AD∥BC,∴∠AMB=∠MBC, ∴∠AMB=∠BMN. 又∵∠A=∠MHB,BM=BM, ∴△BAM≌△BHM. ∴AM=HM,BH=AB. ∵BC=AB,∴BH=BC. 又∵BP=BP, ∴Rt△BHP≌Rt△BCP. ∴HP=PC. ∴△MDP的周長=MD+DP+MP=MD+DP+MH+HP=MD+AM+DP+PC=AD+DC=2. ∴△MDP的周長為定值,周長為2. (3)如圖②,連接BM,過點F作FQ⊥AB,垂足為Q,則QF=BC=AB. ∵∠BEF+∠EBM=90°,∠AMB+∠EBM=90°, ∴∠BEF=∠AMB. 又∵∠A=∠EQF=90°, ∴△AMB≌△QEF. ∴AM=EQ. 設(shè)AM=a,則a2+(1-x)2=x2. ∴a=2x-1. ∴CF=QB=x-2x-1. ∴S=12(CF+BE)×1 =12(x-2x-1+x) =12(2x-2x-1). 設(shè)2x-1=t,則2x=t2+1. ∴S=12(t2+1-t)=12t-122+38. ∴當t=12,即x=58時,S的最小值為38. 2.解:(1)①△OEM∽△MDN.理由:∵ME⊥AB,∴∠MEO=90°. ∵四邊形BCDE是正方形, ∴∠NDM=90°. ∴∠NDM=∠MEO. ∵MN是過點M的☉O的切線, ∴OM⊥MN. ∴∠DMN+∠EMO=90°. 又∠EMO+∠EOM=90°, ∴∠DMN=∠EOM. ∴△OEM∽△MDN. ②設(shè)OE=x,ME=y,圓的半徑為r, 則BE=BC=CD=DE=x+r, MD=DE-ME=x+r-y,x2+y2=r2. ∵△OEM∽△MDN, ∴OEMD=OMMN=MEND,即xx+r-y=rMN=yND,可以得到MN=r(x+r-y)x,DN=y(x+r-y)x, ME+NC=ME+DC-DN=y+x+r-y(x+r-y)x=xy+x2+rx-yx-yr+y2x=x2+y2+rx-yrx=r2+rx-yrx=r(x+r-y)x=MN. ∴ME+NCMN=1, 即k=1為定值. ③α=45°為定值.如圖,在射線DC上取點H,使得ME=CH,連接BH. 在△MEB和△HCB中, ME=HC,∠MEB=∠HCB=90°,BE=BC, ∴△MEB≌△HCB(SAS). ∴∠MBE=∠HBC,BM=BH. 由②知,ME+NC=MN, ∴MN=NC+CH=NH. 在△MBN和△HBN中,MN=HN,BM=BH,BN=BN, ∴△MBN≌△HBN(SSS). ∴∠MBN=∠HBN. ∵∠EBC=∠EBM+∠MBN+∠NBC=∠MBN+∠NBH=2∠MBN=90°, ∴∠MBN=45°. (2)(1)中的第一個結(jié)論和第三個結(jié)論不變,第二個結(jié)論變成ME-NCMN=k,k為定值. 3.解:(1)如圖,過點D作DE⊥x軸于點E. ∵∠ABC=90°, ∴tan∠ACB=ABBC=3.∴∠ACB=60°. 由對稱可知DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°. ∴∠DCE=60°. ∴∠CDE=90°-60°=30°. ∴CE=1,DE=3. ∴OE=OB+BC+CE=5. ∴點D的坐標是(5,3). (2)設(shè)OB=a,則點A的坐標是(a,23). 由題意,得CE=1,DE=3. ∴點D的坐標是(3+a,3). ∵點A和點D在同一個反比例函數(shù)的圖象上, ∴23a=3(3+a). 解得a=3,即OB的長為3. (3)存在,k的值為103或123. 求解過程如下: 由(2)可知,D的坐標為(6,3). ∴點D1的縱坐標為3. ∵點D1在反比例函數(shù)y=kx的圖象上, ∴點D1的橫坐標為k3=3k3. ∴點D1的坐標為3k3,3. 同理,點P的坐標為3,k3. 由(2)可知,點A,D的橫坐標相差3, ∴點A1的橫坐標為3k3-3. ∴點A1的坐標為3k3-3,23. 由此可得A1D2=3k3-3-62+(23-3)2=k23-63k+84, PD2=(3-6)2+k3-32=k29-23k3+12, A1P2=3k3-62+23-k32=4k29-163k3+48. ①當PD2=A1D2+A1P2時, k29-23k3+12=k23-63k+84+4k29-163k3+48, 解得k1=103,k2=63. 當k=63時,點D和點D1重合,不合題意,舍去. ②當A1P2=A1D2+PD2時, 4k29-163k3+48=k23-63k+84+k29-23k3+12, 解得k=123. ③當A1D2=A1P2+PD2時, k23-63k+84=4k29-163k3+48+k29-23k3+12, 解得k1=63(舍去),k2=-63(舍去). 綜上,k的值為103或123. 4.解:(1)∵HI∥AD,∴HIAD=CICD. ∴392=4CD.∴CD=6,∴ID=CD-CI=2. ∴正方形DFGI的邊長為2. (2)如圖①,設(shè)點G落在PC上時對應的點為G',點F的對應點為F'. ∵CA=CP,CD⊥PA,∴∠ACD=∠PCD,∠A=∠P. ∵HG'∥PA,∴∠CHG'=∠A,∠CG'H=∠P. ∴∠CHG'=∠CG'H.∴CH=CG'.∴IH=IG'=DF'=3. ∵IG∥DB,∴IGDB=CICD,∴2DB=46. ∴DB=3.∴DF'=DB=3.∴點B與點F'重合. ∴移動后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG'. ∴移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形. (3)如圖②(忽略線段GF),將△DMI'繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DF'R,此時點N,F',R共線. ∵∠MDN=∠NDF'+∠MDI'=∠NDF'+∠F'DR=∠NDR=45°, DN=DN,DM=DR. ∴△NDM≌△NDR. ∴MN=NR=NF'+RF'=NF'+MI'. ∴△MNG'的周長=MN+MG'+NG'=MG'+MI'+NF'+NG'=2I'G'=4. 12