2016屆高三數(shù)學人教A版一輪復習:階段性測試題.doc
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2016屆高三數(shù)學人教A版一輪復習:階段性測試題.doc
階段性測試題六(數(shù) 列)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分??荚嚂r間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1.(2015忻州一中檢測)已知等差數(shù)列{an}的前13項之和為39,則a6+a7+a8=( )
A.6 B.9
C.12 D.18
[答案] B
[解析] 解法1:根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得:S13=13a1+d=39,化簡得:a1+6d=3,
所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d=3a1+18d=3(a1+6d)=33=9.故選B.
解法2:由等差數(shù)列的性質(zhì)得S13=13a7=39,∴a7=3,
∴a6+a7+a8=3a7=9.
2.(文)(2015江西三縣聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+,n∈N*,則a101的值為( )
A.49 B.50
C.51 D.52
[答案] D
[解析] ∵an+1-an=,∴{an}是等差數(shù)列,
∴an=2+(n-1)=(n+3).
∴a101=52.
(理)(2015遵義航天中學二模)在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),則該數(shù)列的通項公式為( )
A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=
C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=
[答案] A
[解析] ∵=+,∴數(shù)列{}是等差數(shù)列,
∵a1=1,a2=,∴=n,∴an=,故選A.
3.(2015山師大附中月考)設函數(shù)f(x)=xm+ax的導函數(shù)為f ′(x)=2x+1,則數(shù)列{}(n∈N*)的前n項和是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] f ′(x)=mxm-1+a,∴a=1,m=2,∴f(x)=x2+x,
==-,∴Sn=(1-)+(-)+…+(-)=.
4.(文)(2015成都市樹德中學期中)已知等差數(shù)列{an}的公差d<0,若a4a6=24,a2+a8=10,則該數(shù)列的前n項和Sn的最大值為( )
A.50 B.40
C.45 D.35
[答案] C
[解析] ∵a4+a6=a2+a8=10,a4a6=24,d<0,
∴
∴d==-1,∴an=a4+(n-4)d=10-n.
∴當n=9或10時Sn取到最大值,S9=S10=45.
(理)(2014威海期中)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=-11,a5+a6=-4,Sn取得最小值時n的值為( )
A.6 B.7
C.8 D.9
[答案] A
[解析] ∵a5+a6=a1+a10=-11+a10=-4,∴a10=7,∴-11+9d=7,∴d=2,∴a7=a10-3d=1>0,a6=a10-4d=-1<0,故選A.
5.(2015洛陽市期中)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a6=18-a7,則S12=( )
A.18 B.54
C.72 D.108
[答案] D
[解析] S12==6(a6+a7)=618=108.
6.(2015開封二十二校聯(lián)考)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=-3,ak+1=,Sk=-12,則正整數(shù)k=( )
A.10 B.11
C.12 D.13
[答案] D
[解析] ∵a1=-3,ak+1=,Sk=-12,Sk+1=Sk+ak+1=-12+=-,
即=-,∴(k+1)(-)=-21,
∴k=13.
7.(2015河南八校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1+a2=10,a3+a4=26,則過點P(n,an)和Q(n+1,an+1)(n∈N*)的直線的一個方向向量是( )
A.(-,-2) B.(-1,-2)
C.(-,-4) D.(2,)
[答案] A
[解析] 由(a3+a4)-(a1+a2)=4d=16得d=4,
∴kPQ==d=4,
∴其一個方向向量n=(1,4)=-2(-,-2),故選A.
8.(文)(2014撫順市六校聯(lián)合體期中)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若2a8=6+a11,則S9的值等于( )
A.54 B.45
C.36 D.27
[答案] A
[解析] ∵2a8=a5+a11,2a8=6+a11,∴a5=6,
∴S9=9a5=54.
(理)(2014武漢市調(diào)研)《張丘建算經(jīng)》卷上第22題——“女子織布”問題:某女子善于織布,一天比一天織得快,而且每天增加的數(shù)量相同.已知第一天織布5尺,30天共織布390尺,則該女子織布每天增加( )
A.尺 B.尺
C.尺 D.尺
[答案] B
[解析] 設每天增加的數(shù)量為x尺,則
530+=390,∴x=,故選B.
9.(2014合肥八中聯(lián)考)已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,則滿足anan+1an+2>的最大正整數(shù)n的值為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[答案] B
[解析] ∵a2a4=4,an>0,∴a3=2,∴a1+a2=12,
∴消去a1得,=6,
∵q>0,∴q=,∴a1=8,∴an=8()n-1=24-n,
∴不等式anan+1an+2>化為29-3n>,當n=4時,29-34=>,當n=5時,29-35=<,故選B.
10.(文)(2015臨川一中、宜春中學,新余四中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=a-2an+1(n∈N*),則a2014=( )
A.1 B.0
C.2014 D.-2014
[答案] B
[解析] 由an+1=a-2an+1(n∈N*),得an+1=(an-1)2,∵a1=1,∴a2=0,a3=1,a4=0,…,∴數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項為1,偶數(shù)項為0.∴ a2014=0.故選B.
(理)(2014山西曲沃中學期中)已知函數(shù)f(x)=(a>0,a≠1),數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*)且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[7,8) B.(1,8)
C.(4,8) D.(4,7)
[答案] A
[解析] ∵an=f(n),且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,
∴
∴7≤a<8.
11.(2015許昌、平頂山、新鄉(xiāng)調(diào)研)已知正項數(shù)列{an}的前n項的乘積等于Tn=()n2-6n(n∈N*),bn=log2an,則數(shù)列{bn}的前n項和Sn中最大值是( )
A.S6 B.S5
C.S4 D.S3
[答案] D
[解析] Sn=b1+b2+…+bn=log2a1+log2a2+…+log2an=log2Tn=log2()n2-6n=-2(n2-6n),∴當n=3時,Sn取最大值.
12.(文)(2014北京朝陽區(qū)期中)同時滿足以下4個條件的集合記作Ak:(1)所有元素都是正整數(shù);(2)最小元素為1;(3)最大元素為2014;(4)各個元素可以從小到大排成一個公差為k(k∈N*)的等差數(shù)列.那么A33∪A61中元素的個數(shù)是( )
A.96 B.94
C.92 D.90
[答案] B
[解析] A33中元素是首項為1,公差為33的等差數(shù)列,設項數(shù)為m,則有1+33(m-1)=2014,解得m=62;A61中元素是首項為1,公差為61的等差數(shù)列,設項數(shù)為n,則有1+61(n-1)=2014,解得n=34;A33∩A61中元素是首項為1,公差為3361的等差數(shù)列,設項數(shù)為k,則有1+3361(k-1)=2014,解得k=2.所以設P(A)表示集合A中元素個數(shù),則有
P(A33∪A61)=P(A33)+P(A61)-P(A33∩A61)=34+62-2=94.
(理)(2015深圳市五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項a1=1,且滿足對任意的n∈N*,都有an+1-an≤2n,an+2-an≥32n成立,則a2014=( )
A.22014-1 B.22014+1
C.22015-1 D.22015+1
[答案] A
[解析] ∵an+2-an=an+2-an+1+an+1-an≥32n,①
又an+1-an≤2n,∴an+2-an+1≤2n+1,
∴an+1-an+2≥-2n+1,②
由①②得,an+1-an≥2n,
又an+1-an≤2n,∴an+1-an=2n.
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+22+2+1=2n-1,
∴a2014=22014-1.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4個小題,每小題4分,共16分,把正確答案填在題中橫線上.)
13.(2015洛陽市期中)若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則a5+a7=________.
[答案] 160
[解析] ∵a3+a5=q(a2+a4),∴40=20q,∴q=2,
∴a5+a7=(a3+a5)q2=4022=160.
14.已知函數(shù)f(x)=ax(0<a<1),數(shù)列{an}滿足a1=f(1),an+1=f(an),n∈N*,則a2與a3中,較大的是________;a20,a25,a30的大小關系是________.
[答案] a2 a25<a30<a20
[解析] 函數(shù)f(x)=ax(0<a<1)是單調(diào)遞減的,a1=a,a2=aa1=aa,a3=aa2=aaa,因為1>a,所以a<aa,所以aa>aaa,那么有a1<a2,a3<a2,所以a2與a3中,較大的是a2.同理可得a1<a3<a5<…,a2>a4>a6>…,所以數(shù)列{an}從第一項開始,先增大后減小再增大再減小,最后趨于平衡值,奇數(shù)項的值慢慢變大趨于平衡值,偶數(shù)項的值慢慢變小趨于平衡值,所以偶數(shù)項的值總是大于奇數(shù)項的值,所以a20,a25,a30的大小關系是a25<a30<a20.
15.(文)(2014合肥八中聯(lián)考)數(shù)列{an}的通項公式an=ncos,其前n項和為Sn,則S2013=________.
[答案] 1006
[解析] a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,…,當n為奇數(shù)時,an=0,當n為偶數(shù)時,若n=4k(k∈N),則an=n,若n=4k+2,則an=-n.
∴S2013=-2+4-6+8+…-2010+2012=2503=1006.
(理)(2014北京海淀期中)定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①當x∈[1,3)時,f(x)=1-|x-2|;②f(3x)=3f(x).設關于x的函數(shù)F(x)=f(x)-a的零點從小到大依次為x1,x2,…,xn,….若a=1,則x1+x2+x3=________;若a∈(1,3),則x1+x2+…+x2n=________.
[答案] 14 6(3n-1)
[解析] 因為,定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①當x∈[1,3)時,f(x)=1-|x-2|;②f(3x)=3f(x).所以,f(x)的構成規(guī)律是:對于任意整數(shù)k,在每一個區(qū)間[3k,3k+1)上,f(x)=3k-|x-23k|,x∈[3k,3k+1),且在此區(qū)間上f(x)滿足0≤f(x)≤3k;當a=1時,F(xiàn)(x)=f(x)-a的零點從小到大依次為x1=2,x2=4,x3=8,……,所以,x1+x2+x3=14;當a∈(1,3)時,F(xiàn)(x)=f(x)-a的零點從小到大依次滿足x1+x2=43,x3+x4=432,…,x2n-1+x2n=43n,
所以,x1+x2+…+x2n==6(3n-1).
16.(2015江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考)設等差數(shù)列{an}前n項和為Sn,若Sm-1=-1,Sm=0,Sm+1=2,則m=________.
[答案] 3
[解析] 解法1:∵等差數(shù)列{an}前n項和為Sn,滿足Sm-1=-1,Sm=0,Sm+1=2,
∴解得m=3.
解法2:am=Sm-Sm-1=1,am+1=Sm+1-Sm=2,d=am+1-am=1,
am=a1+(m-1)d=a1+m-1=1,∴a1=2-m,
∴Sm=ma1+d=m(2-m)+=0,
∴m=3.
三、解答題(本大題共6個小題,共74分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.)
17.(本小題滿分12分)(文)(2014合肥八中聯(lián)考)已知a<b,且滿足a2-a-6=0,b2-b-6=0,數(shù)列{an}、{bn}滿足a1=1,a2=-6a,an+1=6an-9an-1(n≥2,n∈N*),bn=an+1-ban(n∈N*).
(1)求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
[解析] (1)證明:∵a<b,a2-a-6=0,b2-b-6=0,∴a=-2,b=3,a2=12.
∵an+1=6an-9an-1(n≥2,n∈N*),bn=an+1-ban(n∈N*),
∴bn+1=an+2-3an+1=6an+1-9an-3an+1=3(an+1-3an)=3bn(n∈N*).
又b1=a2-3a1=9,∴數(shù)列{bn}是公比為3,首項為9的等比數(shù)列.
(2)依據(jù)(1)可得bn=3n+1(n∈N*).
于是,有an+1-3an=3n+1(n∈N*),
即-=1(n∈N*).
因此,數(shù)列{}是首項為=,公差為1的等差數(shù)列.故=+(n-1)1,
所以數(shù)列{an}的通項公式是an=(3n-2)3n-1(n∈N*).
(理)(2014寶雞市質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an+(-1)n,(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的前三項a1,a2,a3;
(2)設bn=an+(-1)n,求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,并指出{an}的通項公式.
[解析] (1)在Sn=2an+(-1)n中分別令n=1,2,3得
解得
(2)由Sn=2an+(-1)n(n≥1)得,
Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n≥2),
兩式相減得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1+2(-1)n,
即an=2an-1-2(-1)n,
∴an+(-1)n=2an-1+(-1)n-2(-1)n
=2an-1+(-1)n-1
=2[an-1+(-1)n-1](n≥2),
即bn=2bn-1(n≥2),b1=a1-=,
∴{bn}是首項為,公比為2的等比數(shù)列.
∴bn=2n-1=an+(-1)n
∴an=2n-1-(-1)n.
18.(本小題滿分12分)(2015江西三縣聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,其中n∈N*.
(1)若a1=1,a2=5,且對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)依次組成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)a1=1,對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)依次組成公比為q的等比數(shù)列.求數(shù)列{an}的前n項和An.
[解析] (1)因為對任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)成等差數(shù)列,
所以B(n)-A(n)=C(n)-B(n),
所以an+1-a1=an+2-a2,即an+2-an+1=a2-a1=4,
所以an=1+(n-1)4=4n-3.
(2)若對于任意n∈N*,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,則B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),
所以C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],得an+2-a2=q(an+1-a1),
即an+2-qan+1=a2-qa1,當n=1時,由B(1)=qA(1),可得a2=qa1,
所以an+2-qan+1=0,因為an>0,所以=q.
即數(shù)列{an}是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列,則An=
19.(本小題滿分12分)(2015桂城中學、中山一中摸底)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a+an=2Sn.
(1)求a1;
(2)求數(shù)列{an}的通項;
(3)若bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn,求證:Tn<.
[解析] (1)令n=1,得a+a1=2Sn=2a1,
∵a1>0,∴a1=1.
(2)∵a+an=2Sn,①
∴a+an+1=2Sn+1,②
②-①得,(an+1+an)(an+1-an-1)=0,
∵an>0,∴an+1+an>0,
∴an+1-an=1,
∴an=1+1(n-1)=n.
(3)n=1時b1=1<符合;n≥2時,
∵<==2(-),
∴<1+2(-+…+-)<1+=.
∴Tn=b1+b2+…+bn<.
20.(本小題滿分12分)(文)(2014武漢市調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1>0,an+1=2-|an|,n∈N*.
(1)若a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值;
(2)是否存在a1,使數(shù)列{an}為等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1;若不存在,說明理由.
[解析] (1)∵a1>0,∴a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.
當0<a1≤2時,a3=2-(2-a1)=a1,∴a=(2-a1)2,解得a1=1.
當a1>2時,a3=2-(a1-2)=4-a1,∴a1(4-a1)=(2-a1)2,解得a1=2-(舍去)或a1=2+,
綜上可得,a1=1或a1=2+.
(2)假設這樣的等差數(shù)列存在,則由2a2=a1+a3,得2(2-a1)=a1+(2-|2-a1|),即|2-a1|=3a1-2.
當a1>2時,a1-2=3a1-2,解得a1=0,與a1>2矛盾;
當0<a1≤2時,2-a1=3a1-2,解得a1=1,從而an=1(n∈N*),此時{an}是一個等差數(shù)列;
綜上可知,當且僅當a1=1時,數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
(理)(2015深圳五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=,an=2-(n≥2),Sn是數(shù)列{bn}的前n項和,且有=1+bn.
(1)證明:數(shù)列{}為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)設cn=,記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:Tn<1.
[解析] (1)證明:∵an=(n≥2),
∴an-1=-1=,
∴===+1(n≥2),
∴-=1(n≥2),
∴數(shù)列{}是以=2為首項,1為公差的等差數(shù)列.
(2)當n≥2時,bn=Sn-Sn-1=(2+bn)-(2+bn-1)=bn-bn-1,
∴=bn-1,即=(n≥2),
∴…=…,∴=n2n-1,
當n=1時,b1=S1=2,∴bn=n2n.
(3)由(1)知:=2+(n-1)1=n+1,
∴an-1=,∴an=.
∴cn===-
,
∴Tn=i=(1-)+(-)+…+(-)=1-<1.
21.(本小題滿分12分)(2015安徽示范高中聯(lián)考)數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列,且1-a2是a1與1+a3的等比中項,前n項和為Sn;數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=8,其前n項和Tn滿足Tn=nλbn+1(λ為常數(shù),且λ≠1).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式及λ的值;
(2)比較+++…+與Sn的大?。?
[解析] (1)由題意得,(1-a2)2=a1(1+a3),
∴(1-a1q)2=a1(1+a1q2),
∵q=,∴a1=,∴an=()n.
∵∴
∴λ=,d=8,∴bn=8n,∴Tn=4n(n+1).
(2)令Cn=++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-),
∴≤Cn<,
∵Sn==1-()n,
∴Sn=[1-()n],∴≤Sn<,
∴Cn<Sn.
22.(本小題滿分14分)(文)(2015豫南九校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=a(Sn-an+1)(a為常數(shù),且a>0),且a3是6a1與a2的等差中項.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設bn=anlog2an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解析] (1)當n=1時,S1=a(S1-a1+1),∴a1=a.
當n≥2時,Sn=a(Sn-an+1)①
Sn-1=a(Sn-1-an-1+1)②
①-②得,∴an=aan-1,即=a,
故數(shù)列{an}是首項為a1=a,公比為a的等比數(shù)列,
∴an=aan-1=an,故a2=a2,a3=a3,
由a3是6a1與a2的等差中項可得2a3=6a1+a2,即2a3=6a+a2,
因為a≠0,所以2a2-a-6=0,即(2a+3)(a-2)=0,
解得a=2或a=-(舍去).∴a=2.
故an=2n.
(2)把an=2n代入bn=anlog2an,得bn=2nlog22n=n2n,
∴Tn=12+222+323+…+n2n,①
∴2Tn=122+223+324+…+n2n+1,②
①-②得
-Tn=2+22+23+…+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,
∴Tn=-2n+1+2+n2n+1=(n-1)2n+1+2.
(理)(2014孝感高中月考)若數(shù)列{An}滿足An+1=A,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=9,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明數(shù)列{an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(an+1)}為等比數(shù)列;
(2)設(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項積為Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)…(an+1),求lgTn;
(3)在(2)的條件下,記bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn,并求使Sn>2014的n的最小值.
[解析] (1)由題意得:an+1=a+2an,∴an+1+1=(an+1)2,∴{an+1}是“平方遞推數(shù)列”.
又有l(wèi)g(an+1+1)=2lg(an+1),∴{lg(an+1)}是以lg(a1+1)為首項,2為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)知lg(an+1)=lg(a1+1)2n-1=2n-1,
lgTn=lg[(a1+1)(a2+1)…(an+1)]=lg(a1+1)+lg(a2+1)+…+lg(an+1)==2n-1.
(3)bn===2-()n-1,
Sn=2n-=2n-2+,
又Sn>2014,即2n-2+>2014,∴n+>1008,
又0<<1,∴nmin=1008.