2016屆高三數學人教A版一輪復習：階段性測試題.doc

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階段性測試題六(數　列) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分。考試時間120分鐘。 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．) 1．(2015忻州一中檢測)已知等差數列{an}的前13項之和為39，則a6＋a7＋a8＝(　　) A．6　　　 B．9　　　 C．12　　　 D．18 [答案]　B [解析]　解法1：根據等差數列的求和公式可得：S13＝13a1＋d＝39，化簡得：a1＋6d＝3， 所以a6＋a7＋a8＝a1＋5d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝33＝9.故選B． 解法2：由等差數列的性質得S13＝13a7＝39，∴a7＝3， ∴a6＋a7＋a8＝3a7＝9. 2．(文)(2015江西三縣聯(lián)考)在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，n∈N*，則a101的值為(　　) A．49　 　 B．50　 　 C．51　 　 D．52 [答案]　D [解析]　∵an＋1－an＝，∴{an}是等差數列， ∴an＝2＋(n－1)＝(n＋3)． ∴a101＝52. (理)(2015遵義航天中學二模)在數列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數列的通項公式為(　　) A．an＝　 B．an＝ C．an＝　 D．an＝ [答案]　A [解析]　∵＝＋，∴數列{}是等差數列， ∵a1＝1，a2＝，∴＝n，∴an＝，故選A． 3．(2015山師大附中月考)設函數f(x)＝xm＋ax的導函數為f ′(x)＝2x＋1，則數列{}(n∈N*)的前n項和是(　　) A．　 B． C．　 D． [答案]　A [解析]　f ′(x)＝mxm－1＋a，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x2＋x， ＝＝－，∴Sn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝. 4．(文)(2015成都市樹德中學期中)已知等差數列{an}的公差d<0，若a4a6＝24，a2＋a8＝10，則該數列的前n項和Sn的最大值為(　　) A．50　 B．40 C．45　 D．35 [答案]　C [解析]　∵a4＋a6＝a2＋a8＝10，a4a6＝24，d<0， ∴ ∴d＝＝－1，∴an＝a4＋(n－4)d＝10－n. ∴當n＝9或10時Sn取到最大值，S9＝S10＝45. (理)(2014威海期中)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝－11，a5＋a6＝－4，Sn取得最小值時n的值為(　　) A．6　　　 B．7　　　 C．8　　　 D．9 [答案]　A [解析]　∵a5＋a6＝a1＋a10＝－11＋a10＝－4，∴a10＝7，∴－11＋9d＝7，∴d＝2，∴a7＝a10－3d＝1>0，a6＝a10－4d＝－1<0，故選A． 5．(2015洛陽市期中)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a6＝18－a7，則S12＝(　　) A．18　 B．54 C．72　 D．108 [答案]　D [解析]　S12＝＝6(a6＋a7)＝618＝108. 6．(2015開封二十二校聯(lián)考)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，則正整數k＝(　　) A．10　　　 B．11　　　 C．12　　　 D．13 [答案]　D [解析]　∵a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－， 即＝－，∴(k＋1)(－)＝－21， ∴k＝13. 7．(2015河南八校聯(lián)考)等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a2＝10，a3＋a4＝26，則過點P(n，an)和Q(n＋1，an＋1)(n∈N*)的直線的一個方向向量是(　　) A．(－，－2)　 B．(－1，－2) C．(－，－4)　 D．(2，) [答案]　A [解析]　由(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d＝16得d＝4， ∴kPQ＝＝d＝4， ∴其一個方向向量n＝(1,4)＝－2(－，－2)，故選A． 8．(文)(2014撫順市六校聯(lián)合體期中)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若2a8＝6＋a11，則S9的值等于(　　) A．54　 B．45 C．36　 D．27 [答案]　A [解析]　∵2a8＝a5＋a11,2a8＝6＋a11，∴a5＝6， ∴S9＝9a5＝54. (理)(2014武漢市調研)《張丘建算經》卷上第22題——“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數量相同．已知第一天織布5尺，30天共織布390尺，則該女子織布每天增加(　　) A．尺　 B．尺 C．尺　 D．尺 [答案]　B [解析]　設每天增加的數量為x尺，則 530＋＝390，∴x＝，故選B． 9．(2014合肥八中聯(lián)考)已知各項都為正數的等比數列{an}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，則滿足anan＋1an＋2>的最大正整數n的值為(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 [答案]　B [解析]　∵a2a4＝4，an>0，∴a3＝2，∴a1＋a2＝12， ∴消去a1得，＝6， ∵q>0，∴q＝，∴a1＝8，∴an＝8()n－1＝24－n， ∴不等式anan＋1an＋2>化為29－3n>，當n＝4時，29－34＝>，當n＝5時，29－35＝<，故選B． 10．(文)(2015臨川一中、宜春中學，新余四中聯(lián)考)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，則a2014＝(　　) A．1　 B．0 C．2014　 D．－2014 [答案]　B [解析]　由an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，得an＋1＝(an－1)2，∵a1＝1，∴a2＝0，a3＝1，a4＝0，…，∴數列{an}的所有奇數項為1，偶數項為0.∴ a2014＝0.故選B． (理)(2014山西曲沃中學期中)已知函數f(x)＝(a>0，a≠1)，數列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)且{an}是單調遞增數列，則實數a的取值范圍是(　　) A．[7,8)　 B．(1,8) C．(4,8)　 D．(4,7) [答案]　A [解析]　∵an＝f(n)，且{an}是單調遞增數列， ∴ ∴7≤a<8. 11．(2015許昌、平頂山、新鄉(xiāng)調研)已知正項數列{an}的前n項的乘積等于Tn＝()n2－6n(n∈N*)，bn＝log2an，則數列{bn}的前n項和Sn中最大值是(　　) A．S6　 B．S5 C．S4　 D．S3 [答案]　D [解析]　Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝log2Tn＝log2()n2－6n＝－2(n2－6n)，∴當n＝3時，Sn取最大值． 12．(文)(2014北京朝陽區(qū)期中)同時滿足以下4個條件的集合記作Ak：(1)所有元素都是正整數；(2)最小元素為1；(3)最大元素為2014；(4)各個元素可以從小到大排成一個公差為k(k∈N*)的等差數列．那么A33∪A61中元素的個數是(　　) A．96　 B．94 C．92　 D．90 [答案]　B [解析]　A33中元素是首項為1，公差為33的等差數列，設項數為m，則有1＋33(m－1)＝2014，解得m＝62；A61中元素是首項為1，公差為61的等差數列，設項數為n，則有1＋61(n－1)＝2014，解得n＝34；A33∩A61中元素是首項為1，公差為3361的等差數列，設項數為k，則有1＋3361(k－1)＝2014，解得k＝2.所以設P(A)表示集合A中元素個數，則有 P(A33∪A61)＝P(A33)＋P(A61)－P(A33∩A61)＝34＋62－2＝94. (理)(2015深圳市五校聯(lián)考)已知數列{an}的首項a1＝1，且滿足對任意的n∈N*，都有an＋1－an≤2n，an＋2－an≥32n成立，則a2014＝(　　) A．22014－1　 B．22014＋1 C．22015－1　 D．22015＋1 [答案]　A [解析]　∵an＋2－an＝an＋2－an＋1＋an＋1－an≥32n，① 又an＋1－an≤2n，∴an＋2－an＋1≤2n＋1， ∴an＋1－an＋2≥－2n＋1，② 由①②得，an＋1－an≥2n， 又an＋1－an≤2n，∴an＋1－an＝2n. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋1＝2n－1， ∴a2014＝22014－1. 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．) 13．(2015洛陽市期中)若等比數列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則a5＋a7＝________. [答案]　160 [解析]　∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q，∴q＝2， ∴a5＋a7＝(a3＋a5)q2＝4022＝160. 14．已知函數f(x)＝ax(0a，所以aaaa，那么有a1a4>a6>…，所以數列{an}從第一項開始，先增大后減小再增大再減小，最后趨于平衡值，奇數項的值慢慢變大趨于平衡值，偶數項的值慢慢變小趨于平衡值，所以偶數項的值總是大于奇數項的值，所以a20，a25，a30的大小關系是a250，所以＝q. 即數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列，則An＝ 19．(本小題滿分12分)(2015桂城中學、中山一中摸底)已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且a＋an＝2Sn. (1)求a1； (2)求數列{an}的通項； (3)若bn＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求證：Tn＜. [解析]　(1)令n＝1，得a＋a1＝2Sn＝2a1， ∵a1>0，∴a1＝1. (2)∵a＋an＝2Sn，① ∴a＋an＋1＝2Sn＋1，② ②－①得，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0， ∵an>0，∴an＋1＋an>0， ∴an＋1－an＝1， ∴an＝1＋1(n－1)＝n. (3)n＝1時b1＝1<符合；n≥2時， ∵<＝＝2(－)， ∴<1＋2(－＋…＋－)<1＋＝. ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn<. 20．(本小題滿分12分)(文)(2014武漢市調研)已知數列{an}滿足a1>0，an＋1＝2－|an|，n∈N*. (1)若a1，a2，a3成等比數列，求a1的值； (2)是否存在a1，使數列{an}為等差數列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由． [解析]　(1)∵a1>0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|. 當02時，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，∴a1(4－a1)＝(2－a1)2，解得a1＝2－(舍去)或a1＝2＋， 綜上可得，a1＝1或a1＝2＋. (2)假設這樣的等差數列存在，則由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝a1＋(2－|2－a1|)，即|2－a1|＝3a1－2. 當a1>2時，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，與a1>2矛盾； 當00)，且a3是6a1與a2的等差中項． (1)求{an}的通項公式； (2)設bn＝anlog2an，求數列{bn}的前n項和Tn. [解析]　(1)當n＝1時，S1＝a(S1－a1＋1)，∴a1＝a. 當n≥2時，Sn＝a(Sn－an＋1)① Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)② ①－②得，∴an＝aan－1，即＝a， 故數列{an}是首項為a1＝a，公比為a的等比數列， ∴an＝aan－1＝an，故a2＝a2，a3＝a3， 由a3是6a1與a2的等差中項可得2a3＝6a1＋a2，即2a3＝6a＋a2， 因為a≠0，所以2a2－a－6＝0，即(2a＋3)(a－2)＝0， 解得a＝2或a＝－(舍去)．∴a＝2. 故an＝2n. (2)把an＝2n代入bn＝anlog2an，得bn＝2nlog22n＝n2n， ∴Tn＝12＋222＋323＋…＋n2n，① ∴2Tn＝122＋223＋324＋…＋n2n＋1，② ①－②得 －Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝－n2n＋1＝2n＋1－2－n2n＋1， ∴Tn＝－2n＋1＋2＋n2n＋1＝(n－1)2n＋1＋2. (理)(2014孝感高中月考)若數列{An}滿足An＋1＝A，則稱數列{An}為“平方遞推數列”．已知數列{an}中，a1＝9，點(an，an＋1)在函數f(x)＝x2＋2x的圖象上，其中n為正整數． (1)證明數列{an＋1}是“平方遞推數列”，且數列{lg(an＋1)}為等比數列； (2)設(1)中“平方遞推數列”的前n項積為Tn，即Tn＝(a1＋1)(a2＋1)…(an＋1)，求lgTn； (3)在(2)的條件下，記bn＝，求數列{bn}的前n項和Sn，并求使Sn>2014的n的最小值． [解析]　(1)由題意得：an＋1＝a＋2an，∴an＋1＋1＝(an＋1)2，∴{an＋1}是“平方遞推數列”． 又有l(wèi)g(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)，∴{lg(an＋1)}是以lg(a1＋1)為首項，2為公比的等比數列． (2)由(1)知lg(an＋1)＝lg(a1＋1)2n－1＝2n－1， lgTn＝lg[(a1＋1)(a2＋1)…(an＋1)]＝lg(a1＋1)＋lg(a2＋1)＋…＋lg(an＋1)＝＝2n－1. (3)bn＝＝＝2－()n－1， Sn＝2n－＝2n－2＋， 又Sn>2014，即2n－2＋>2014，∴n＋>1008， 又0<<1，∴nmin＝1008.