（柳州專版）2020版中考數(shù)學(xué)奪分復(fù)習(xí) 提分專練04 切線的證明試題

提分專練04　切線的證明 |類型1|　見切點(diǎn),連半徑,證垂直 (1)利用等角代換判定 1.[2019·鎮(zhèn)江]如圖T4-1,在△ABC中,AB=AC,過AC延長線上的點(diǎn)O作OD⊥AO,交BC的延長線于點(diǎn)D,以O(shè)為圓心,OD長為半徑的圓過點(diǎn)B. (1)求證:直線AB與☉O相切; (2)若AB=5,☉O的半徑為12,則tan∠BDO=　　　　.  圖T4-1 2.[2019·黃石]如圖T4-2,AB是☉O的直徑,點(diǎn)D在AB的延長線上,C,E是☉O上的兩點(diǎn),CE=CB,∠BCD=∠CAE,延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F. (1)求證:CD是☉O的切線; (2)求證:CE=CF; (3)若BD=1,CD=2,求弦AC的長. 圖T4-2 (2)利用平行線判定 3.[2019·泰州]如圖T4-3,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AC為☉O的直徑,D為AC的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥AC,交BC的延長線于點(diǎn)E. (1)判斷DE與☉O的位置關(guān)系,并說明理由; (2)若☉O的半徑為5,AB=8,求CE的長. 圖T4-3 4.[2019·赤峰]如圖T4-4,AB為☉O的直徑,C,D是半圓AB的三等分點(diǎn),過點(diǎn)C作AD延長線的垂線CE,垂足為E. (1)求證:CE是☉O的切線; (2)若☉O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積. 圖T4-4 (3)利用三角形全等或相似判定 5.[2019·郴州]如圖T4-5,已知AB是☉O的直徑,CD與☉O相切于點(diǎn)D,且AD∥OC. (1)求證:BC是☉O的切線; (2)延長CO交☉O于點(diǎn)E.若∠CEB=30°,☉O的半徑為2,求BD的長.(結(jié)果保留π) 圖T4-5 |類型2|　無切點(diǎn),作垂直,證半徑 利用角平分線性質(zhì) 6.如圖T4-6,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于點(diǎn)O,OE⊥AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)O為圓心,OE為半徑作半圓,交AO于點(diǎn)F. (1)求證:AC是☉O的切線; (2)若點(diǎn)F是AO的中點(diǎn),OE=3,求圖中陰影部分的面積; (3)在(2)的條件下,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PE+PF取最小值時(shí),直接寫出BP的長. 圖T4-6 【參考答案】 1.解:(1)證明:連接OB,如圖所示. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠OCD, ∴∠ABC=∠OCD. ∵OD⊥AO, ∴∠COD=90°, ∴∠D+∠OCD=90°. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠D, ∴∠OBD+∠ABC=90°, 即∠ABO=90°, ∴AB⊥OB, ∵點(diǎn)B在☉O上, ∴直線AB與☉O相切. (2)∵∠ABO=90°, ∴OA=AB2+OB2=52+122=13, ∵AC=AB=5, ∴OC=OA-AC=8, ∴tan∠BDO=OCOD=812=23. 故答案為:23. 2.解:(1)證明:連接OC, ∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°, ∴∠CAD+∠ABC=90°, ∵CE=CB,∴∠CAE=∠CAB, ∵∠BCD=∠CAE,∴∠CAB=∠BCD, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OCB+∠BCD=90°,∴∠OCD=90°, ∵OC是☉O的半徑,∴CD是☉O的切線. (2)證明:∵∠BAC=∠CAE,AC=AC,∠ACB=∠ACF=90°, ∴△ABC≌△AFC(ASA),∴CB=CF, 又∵CB=CE,∴CE=CF. (3)∵∠BCD=∠CAD,∠ADC=∠CDB, ∴△ACD∽△CBD,∴CDBD=ADCD=ACBC, ∴21=AD2,∴AD=2, ∴AB=AD-BD=2-1=1, 設(shè)BC=a,則AC=2a, 在Rt△ABC中,由勾股定理可得:a2+(2a)2=12, 解得:a=33(負(fù)值已舍), ∴AC=63. 3.解:(1)DE與☉O相切,理由如下: 連接OD,∵D為AC的中點(diǎn),∴AD=CD, ∴AD=DC, ∵AO=OC,∴OD⊥AC, ∴∠AOD=∠COD=90°, 又∵DE∥AC,∴∠EDO=∠AOD=90°, ∴OD⊥DE,∴DE與☉O相切. (2)∵DE∥AC,∴∠EDC=∠ACD, ∵∠ACD=∠ABD,∴∠EDC=∠ABD, 又∵∠DCE=∠BAD, ∴△DCE∽△BAD,∴CEAD=DCAB, ∵半徑為5,∴AC=10, ∵D為AC的中點(diǎn), ∴AD=CD=52, ∴CE=AD·DCAB=52·528=254. 4.解:(1)證明:連接OC,∵點(diǎn)C,D為半圓O的三等分點(diǎn), ∴AD=CD=BC, ∴∠BOC=∠EAB,∴OC∥AD. ∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴CE為☉O的切線. (2)連接OD,∵AD=CD=BC, ∴∠COD=13×180°=60°. ∵CD∥AB,∴S△ACD=S△COD, ∴圖中陰影部分的面積 =S扇形COD=60π×22360=2π3. 5.解:(1)證明:連接OD,如圖所示. ∵AD∥OC, ∴∠COD=∠ADO,∠COB=∠DAO, ∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO, ∴∠COD=∠COB. 在△COD和△COB中,OD=OB,∠COD=∠COB,OC=OC, ∴△COD≌△COB, ∴∠CDO=∠CBO, 又CD與☉O相切于點(diǎn)D, ∴∠CDO=90°,∴∠CBO=90°, ∴BC是☉O的切線. (2)∵∠CEB=30°,∴∠COB=60°, 由(1)知,∠COD=∠COB, ∴∠COD=60°, ∴∠DOB=∠COD+∠COB=120°. ∵☉O的半徑為2, ∴BD的長=120×π×2180=43π. 6.解:(1)證明:作OH⊥AC于H,如圖, ∵AB=AC,AO⊥BC于點(diǎn)O, ∴AO平分∠BAC, ∵OE⊥AB,OH⊥AC, ∴OH=OE, ∴AC是☉O的切線. (2)∵點(diǎn)F是AO的中點(diǎn), ∴AO=2OF=6, ∵OE=3, ∴∠OAE=30°,∠AOE=60°, ∴AE=3OE=33, ∴圖中陰影部分的面積=S△AOE-S扇形EOF=12×3×33-60π·32360=93-3π2. (3)3　[解析]作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F',連接EF'交BC于P,如圖, ∴PF=PF', ∴PE+PF=PE+PF'=EF', 此時(shí)EP+FP最小. ∵OF'=OF=OE, ∴∠F'=∠OEF', ∵∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°, ∴∠F'=30°, ∴∠F'=∠EAF', ∴EF'=EA=33, 即PE+PF最小值為33. 在Rt△OPF'中,OP=33OF'=3, 在Rt△ABO中,OB=33OA=33×6=23, ∴BP=23-3=3, 即當(dāng)PE+PF取最小值時(shí),BP的長為3.