廣東省某重點(diǎn)中學(xué)2013屆高三數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)之立體幾何專題三.doc
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廣東省某重點(diǎn)中學(xué)2013屆高三數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)之立體幾何專題三.doc
2013屆高三二輪復(fù)習(xí) 立體幾何專題三 2013-4-2
立體幾何綜合問題:以角度,距離,體積為主要考點(diǎn),搭配三視圖,函數(shù).
1、已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE = x,G是BC的中點(diǎn).沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF
(1)當(dāng)x=2時,求證:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為,
求的最大值;
(3)當(dāng)取得最大值時,求二面角D-BF-E的余弦值.
2、一個幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成,點(diǎn)、、在圓的圓周上,其正(主)視圖、側(cè)(左)視圖的面積分別為10和12,如圖3所示,其中,,,.
(1)求證:;
(2)求二面角的平面角的大小.
A
O
D
E
E
A
側(cè)(左)視圖
A1
D1
A
D11
A11
E
B
C
O
D
圖3
1、已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE = x,G是BC的中點(diǎn).沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖).
(1)當(dāng)x=2時,求證:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為,
求的最大值;
x
y
z
(3)當(dāng)取得最大值時,求二面角D-BF-C的余弦值.?(1)方法一:
AE⊥EF,
∵平面平面,且相交于EF
∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,
又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz.
,又為BC的中點(diǎn),BC=4,
.則A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0),
(-2,2,2),(2,2,0),
(-2,2,2)(2,2,0)=0,∴.………………4分
方法二:作DH⊥EF于H,連BH,GH,
由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH.
為平行四邊形,
且,
四邊形BGHE為正方形,∴EG⊥BH,BHDH=H,
故EG⊥平面DBH, 而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.………4分
(2)∵AD∥面BFC,
H
所以 =VA-BFC=
,
即時有最大值為. ………8分
(3)方法一:
H
_
E
M
F
D
B
A
C
G
設(shè)平面DBF的法向量為,∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2),F(xiàn)(0,3,0),∴………10分
(-2,2,2),
則 ,
即,
取,∴
,面BCF一個法向量為,………12分
則cos<>=,………13分
由于所求二面角D-BF-E的平面角為銳角,所以此二面角的余弦值為.………14分
2、一個幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成,點(diǎn)、、在圓的圓周上,其正(主)視圖、側(cè)(左)視圖的面積分別為10和12,如圖3所示,其中,,,.
(1)求證:;
(2)求二面角的平面角的大?。?
A
O
D
E
E
A
側(cè)(左)視圖
A1
D1
A
D11
A11
E
B
C
O
D
圖3
方法1:(1)證明:因為,,所以,即.
又因為,,所以平面.
因為,所以.………………4分
(2)解:因為點(diǎn)、、在圓的圓周上,且,所以為圓的直徑.
A
D11
A11
E
B
C
O
D
設(shè)圓的半徑為,圓柱高為,根據(jù)正(主)視圖、側(cè)(左)視圖的面積可得,
…………6分解得
所以,.………7分
過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,
由(1)知,,,所以平面.
因為平面,所以.
所以為二面角的平面角.………9分
由(1)知,平面,平面,
所以,即△為直角三角形.
在△中,,,則.
由,解得.
因為.………………13分 所以.
所以二面角的平面角大小為.……14分
方法2:(1)證明:因為點(diǎn)、、在圓的圓周上,且,所以為圓的直徑.
A
D11
A11
E
B
C
O
D
設(shè)圓的半徑為,圓柱高為,根據(jù)正(主)視圖、側(cè)(左)視圖的面積可得,
…2分解得
所以,.…………3分
A
D11
A11
E
B
C
O
D
x
y
z
以點(diǎn)為原點(diǎn),、所在的射線分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.……5分
因為,
所以. 所以.……9分
(2)解:設(shè)是平面的法向量,
因為,所以即
取,則是平面的一個法向量.……11分
由(1)知,,又,,所以平面.
所以是平面的一個法向量.……12分
因為,
所以.
而等于二面角的平面角,
所以二面角的平面角大小為.………14分
方法3:(1)證明:因為,,所以,即.
又因為,,所以平面.
因為,
所以.……………4分
(2)解:因為點(diǎn)、、在圓的圓周上,且,所以為圓的直徑.
A
D11
A11
E
B
C
O
D
設(shè)圓的半徑為,圓柱高為,根據(jù)正(主)視圖、側(cè)(左)視圖的面積可得,
……………6分解得
所以,.……………7分
A
D11
A11
E
B
C
O
D
x
y
z
以點(diǎn)為原點(diǎn),、所在的射線分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.………9分
設(shè)是平面的法向量,
則即
取,則是平面的一個法向量.
……11分
由(1)知,,又,,所以平面.
所以是平面的一個法向量.………12分
因為,
所以.
而等于二面角的平面角,
所以二面角的平面角大小為.………14分