2012高中數(shù)學(xué) 3.2第3課時(shí)課時(shí)同步練習(xí) 新人教A版選修

第3章 3.2 第3課時(shí) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．如圖，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)AB＝1. 則B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2) ＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2) cos〈，〉＝ ＝＝－ ∴異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為，故選D. 答案：　D 2．若正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，則側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：　 設(shè)正三棱錐P－ABC，PA，PB，PC兩兩互相垂直，設(shè)PA＝PB＝PC＝a. 取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD、CD，易知∠PDC為側(cè)面PAB與底面ABC所成的角． 易求PD＝a，CD＝a， 故cos∠PDC＝＝. 答案：　B 3．若平面α的一個(gè)法向量n＝(2,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a＝(1,2,3)，則l與α所成角的正弦值為(　　) A. B. C．－ D. 解析：　cos〈a，n〉＝ ＝ ＝＝. 答案：　B 4．二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為(　　) A．150° B．45° C．60° D．120° 解析：　由條件，知·＝0，·＝0，＝＋＋. ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2· ＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos，＝(2)2， ∴cos，＝－，，＝120°， ∴二面角的大小為60°.故選C. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是________． 解析：　如圖，以DA、DC、DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 取正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)， 易證是平面A1BD的一個(gè)法向量． ＝(－1,1,1)，＝(－1,0,1)． cos〈，〉＝＝. 所以BC1與平面A1BD所成角的正弦值為. 答案：　 6．正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A－BD－C的余弦值為_(kāi)_______． 解析：　取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，DO. 建立如右圖所示坐標(biāo)系， 設(shè)BC＝1，則A，B，D. ∴＝，＝， ＝. 由于＝為面BCD的法向量，可進(jìn)一步求出面ABD的一個(gè)法向量n＝(1，－，1)， ∴cos〈n，〉＝. 答案：　 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F(xiàn)分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB＝BF＝1，求直線EC1與FD1所成角的余弦值 解析：　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(xiàn)(2,4,0)，C1(0,4,2)， 于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)， 設(shè)與所成的角為β， 則cos β＝＝， 所以直線EC1與FD1所成的角的余弦值為. 8.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1的中點(diǎn)． (1)求EF與平面ABCD所成的角的余弦值； (2)求二面角F－DE－C的余弦值． 解析：　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(xiàn)(0,2,2)． (1)＝(－1,0,2)，易得平面ABCD的一個(gè)法向量為n＝(0,0,1)， 設(shè)與n的夾角為θ，則cos θ＝＝， ∴EF與平面ABCD所成的角的余弦值為. (2)＝(－1,0,2)，＝(0,2,2)， 設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m， 則m·＝0，m·＝0， 可得m＝(2，－1,1)， ∴cos〈m，n〉＝＝， ∴二面角F－DE－C的余弦值為. 尖子生題庫(kù)☆☆☆ 9．(10分)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°， ∠BCA＝90°，點(diǎn)D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC. (1)求證：BC⊥平面PAC； (2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AD與平面PAC所成的角的正弦值； (3)是否存在點(diǎn)E，使得二面角A－DE－P為直二面角？并說(shuō)明理由． 解析：　以A為原點(diǎn)，，分別為y軸、z軸的正方向，過(guò)A點(diǎn)且垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 設(shè)PA＝a，由已知可得： A(0,0,0)，B(0，a,0)， C，P(0,0，a)． (1)證明：＝(0,0，a)， ＝， ∴·＝0， ∴BC⊥AP. 又∵∠BCA＝90°， ∴BC⊥AC， ∴BC⊥平面PAC. (2)∵D為PB的中點(diǎn)，DE∥BC， ∴E為PC的中點(diǎn)， ∴D，E， ∴由(1)知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E. ∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角， ∵＝，＝， ∴cos∠DAE＝＝， ∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為. (3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC， 又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC， ∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP為二面角A－DE－P的平面角． ∵PA⊥底面ABC， ∴PA⊥AC， ∴∠PAC＝90°. ∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時(shí)∠AEP＝90°， 故存在點(diǎn)E，使得二面角A－DE－P是直二面角．