2019年高考試題真題1數(shù)學(xué)理（新課標Ⅱ卷）解析版[高考復(fù)習(xí)]

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絕密★啟用前 2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。 3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1.設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，則A∩B= A. (-∞，1) B. (-2，1) C. (-3，-1) D. (3，+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合A，再求出交集． 【詳解】由題意得，，則．故選A． 【點睛】本題考點為集合的運算，為基礎(chǔ)題目． 2.設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 分析】 先求出共軛復(fù)數(shù)再判斷結(jié)果. 【詳解】由得則對應(yīng)點（-3，-2）位于第三象限．故選C． 【點睛】本題考點為共軛復(fù)數(shù)，為基礎(chǔ)題目． 3.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積. 【詳解】由，，得，則，．故選C． 【點睛】本題考點為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識和基本技能，難度不大． 4.2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程： . 設(shè)，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立的方程，解方程、近似計算．題目所處位置應(yīng)是“解答題”，但由于題干較長，易使考生“望而生畏”，注重了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運算求解能力的考查． 【詳解】由，得 因為， 所以， 即， 解得， 所以 【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復(fù)雜式子的變形出錯． 5.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是 A. 中位數(shù) B. 平均數(shù) C. 方差 D. 極差 【答案】A 【解析】 【分析】 可不用動筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案． 【詳解】設(shè)9位評委評分按從小到大排列為． 則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位數(shù)仍為，A正確． ②原始平均數(shù)，后來平均數(shù) 平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，B不正確 ③ 由②易知，C不正確． ④原極差，后來極差顯然極差變小，D不正確． 【點睛】本題旨在考查學(xué)生對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解. 6.若a>b，則 A. ln(a?b)>0 B. 3a<3b C. a3?b3>0 D. │a│>│b│ 【答案】C 【解析】 【分析】 本題也可用直接法，因為，所以，當時，，知A錯，因為是增函數(shù)，所以，故B錯；因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯． 【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C． 【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷． 7.設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是 A. α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B. α內(nèi)有兩條相交直線與β平行 C. α，β平行于同一條直線 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】 本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷． 【詳解】由面面平行判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B． 【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤． 8.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p= A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（2，0），排除A，同樣可排除B，C，故選D． 【詳解】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D． 【點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)． 9.下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是 A. f(x)=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│ C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│ 【答案】A 【解析】 【分析】 本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇． 【詳解】因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A． 【點睛】利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)； 10.已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα= A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案． 【詳解】，． ，又，，又，，故選B． 【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關(guān)鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺． 11.設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率． 【詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸， 又，為以為直徑的圓的半徑， 為圓心． ，又點在圓上， ，即． ，故選A． 【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來． 12.設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本題為選擇壓軸題，考查函數(shù)平移伸縮，恒成立問題，需準確求出函數(shù)每一段解析式，分析出臨界點位置，精準運算得到解決． 【詳解】時，，，，即右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍． 如圖所示：當時，，令，整理得：，（舍），時，成立，即，，故選B． 【點睛】易錯警示：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯示意圖，畫成向左側(cè)擴大到2倍，導(dǎo)致題目出錯，需加深對抽象函數(shù)表達式的理解，平時應(yīng)加強這方面練習(xí)，提高抽象概括、數(shù)學(xué)建模能力． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13.我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】 本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題． 【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為，其中高鐵個數(shù)為10+20+10=40，所以該站所有高鐵平均正點率約為． 【點睛】本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值． 14.已知是奇函數(shù)，且當時，.若，則__________. 【答案】-3 【解析】 【分析】 本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算．滲透了數(shù)學(xué)運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案． 【詳解】因為是奇函數(shù)，且當時，． 又因為，， 所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，即． 【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)計算． 15.的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為__________. 【答案】 【解析】 【分析】 本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運算求解能力的考查． 【詳解】由余弦定理得， 所以， 即 解得（舍去） 所以， 【點睛】本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯誤．解答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準確記憶公式，細心計算． 16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________． 【答案】 (1). 共26個面. (2). 棱長為. 【解析】 【分析】 第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決． 【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有個面． 如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形， ， ，即該半正多面體棱長為． 【點睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分。 17. 如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）證明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 【答案】（1）證明見解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面； （2）以點坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系， 設(shè)正方形的邊長為，，求出相應(yīng)點的坐標，利用，可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值. 【詳解】證明（1）因為是長方體，所以側(cè)面，而平面，所以 又，，平面，因此平面； （2）以點坐標原點，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系， ， 因為，所以， 所以，， 設(shè)是平面的法向量， 所以， 設(shè)是平面的法向量， 所以， 二面角的余弦值的絕對值為， 所以二面角的正弦值為. 【點睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運算能力. 18. 11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率. 【答案】（1）；（2）0.1 【解析】 【分析】 (1)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果； (2)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果。 【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球” 所以 (2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分” 所以 【點睛】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題。 19. 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，. （1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列； （2）求{an}和{bn}的通項公式. 【答案】（1）見解析；（2），。 【解析】 【分析】 (1)可通過題意中以及對兩式進行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列； (2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果。 【詳解】(1)由題意可知，，，， 所以，即， 所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，， 因為， 所以，數(shù)列是首項、公差為的等差數(shù)列，。 (2)由(1)可知，，， 所以，。 【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。 20. 已知函數(shù). （1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點； （2）設(shè)x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=ln x 在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線的切線. 【答案】（1）函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析； （2）證明見解析. 【解析】 【分析】 （1）對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）先求出曲線在處的切線，然后求出當曲線切線的斜率與斜率相等時，證明曲線切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可. 【詳解】（1）函數(shù)的定義域為， ，因為函數(shù)的定義域為，所以，因此函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)； 當，時，，而，顯然當，函數(shù)有零點，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有唯一的零點； 當時，， 因為，所以函數(shù)在必有一零點，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當時，函數(shù)有唯一的零點 綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個零點； （2）因為是的一個零點，所以 ，所以曲線在處的切線的斜率，故曲線在處的切線的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為. 設(shè)曲線的切點為，過切點為切線，，所以在處的切線的斜率為，因此切線的方程為， 當切線的斜率等于直線的斜率時，即， 切線在縱軸的截距為，而，所以，直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，故曲線在處的切線也是曲線的切線. 【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線的切線方程，考查了數(shù)學(xué)運算能力. 21. 已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C. （1）求C的方程，并說明C是什么曲線； （2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G. （i）證明：是直角三角形； （ii）求面積的最大值. （二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】 【分析】 （1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為?，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件； （2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點的坐標，進而求出點的坐標，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標，再求出直線的斜率，計算的值，就可以證明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三點坐標，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值. 【詳解】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為； （2）（i）設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點P在第一象限，所以，因此點的坐標為 直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，（*），設(shè)點，顯然點的橫坐標和是方程（*）的解 所以有，代入直線方程中，得 ，所以點的坐標為， 直線的斜率為; , 因為所以，因此是直角三角形； （ii）由（i）可知：， 的坐標為， ， , ,因為，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當時，函數(shù)有最大值，最大值為. 【點睛】本題考查了求橢圓的標準方程，以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值問題. 22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程] 在極坐標系中，O為極點，點在曲線上，直線l過點且與垂直，垂足為P. （1）當時，求及l(fā)的極坐標方程； （2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程. 【答案】（1），l的極坐標方程為；（2） 【解析】 【分析】 （1）先由題意，將代入即可求出；根據(jù)題意求出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可； （2）先由題意得到P點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可，要注意變量的取值范圍. 【詳解】（1）因為點在曲線上， 所以； 即，所以， 因為直線l過點且與垂直， 所以直線的直角坐標方程為，即； 因此，其極坐標方程為，即l的極坐標方程為； （2）設(shè)，則， ， 由題意，，所以，故，整理得， 因為P在線段OM上，M在C上運動，所以， 所以，P點軌跡的極坐標方程為，即. 【點睛】本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型. 23.[選修4-5：不等式選講] 已知 （1）當時，求不等式的解集； （2）若時，，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)，將原不等式化為，分別討論，，三種情況，即可求出結(jié)果； （2）分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果. 【詳解】（1）當時，原不等式可化為； 當時，原不等式可化為，即，顯然成立， 此時解集為； 當時，原不等式可化為，解得，此時解集為空集； 當時，原不等式可化為，即，顯然不成立；此時解集為空集； 綜上，原不等式解集為； （2）當時，因為，所以由可得， 即，顯然恒成立；所以滿足題意； 當時，，因為時， 顯然不能成立，所以不滿足題意； 綜上，的取值范圍是. 【點睛】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型.