《單因素方差分析》PPT課件.ppt

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第10章單因素方差分析One-factoranalysisofvariance,用6種培養(yǎng)液培養(yǎng)紅苜蓿，每一種培養(yǎng)液做5次重復，測定5盆苜蓿的含氮量，結果如下表（單位:mg）．問用6種不同培養(yǎng)液培養(yǎng)的紅苜蓿含氮量差異是否顯著？,方差分析(analysisofvariance－ANOVA)是由英國統(tǒng)計學家R.A.Fisher于1923年提出的。方差分析是一種特殊的假設檢驗，是用來判斷多組數(shù)據(jù)之間平均數(shù)差異顯著性的．它不同于t檢驗之處在于：它把所有數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對所有各組間是否有差異做出判斷，如果沒有顯著性差異，則認為各組平均數(shù)相同；如果發(fā)現(xiàn)有差異，再進一步比較是哪組數(shù)據(jù)與其它數(shù)據(jù)不同．,在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時，可以在平均數(shù)的所有對之間做t檢驗，但這樣做會提高犯I型錯誤的概率，因而是不可取的。方差分析可以防止該問題的出現(xiàn)。如對5個平均數(shù)進行檢驗，若做t檢驗，則需做10次，假設每一次檢驗接受零假設的概率為0.95，那么10次都接受零假設的概率為（0.95）10=0.60，（至少有1次）拒絕零假設的概率為0.40，犯I型錯誤的概率明顯平加,方差分析中常用基本概念（一）試驗指標(experimentalindex)為衡量試驗結果的好壞或處理效應的高低，在試驗中具體測定的性狀或觀測的項目。（二）試驗因素(experimentalfactor)試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；若同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。按是否可控制因素可分為：固定因素和隨機因素．,固定因素：可準確控制且其水平固定后效應也固定，比如：溫度、化學藥物濃度等．隨機因素：因素水平不能嚴格控制或者說即使其水平可控制但其效應也不固定．比如：動物的窩別、農(nóng)家肥的效果等．試驗因素常用大寫字母A、B、C、…等表示。（三）因素水平(leveloffactor)試驗因素所處的某些特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。比如：不同的溫度；溶液不同濃度等．（四）重復(repeat)在試驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復；一處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復數(shù)。,第一節(jié)單因素方差分析的基本原理,一、線性模型二、固定線性模型三、隨機線性模型四、多重比較五、基本假定,（一）線性模型假設某單因素試驗有a個處理，每個處理有n次重復，共有na個觀測值。這類試驗資料的數(shù)據(jù)模式如表7-1所示。,一、線性模型,表7-1單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)模式,各處理總和、平均數(shù)、大總和、總平均數(shù)是計算的一級數(shù)據(jù)，在本章我們采用了黑點符號體系法表示，要注意熟悉和掌握。,可以分解為表示第i個處理觀測值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將再進行分解，其中μ表示全試驗觀測值的總體平均數(shù)(overallmean)，是第i個處理的效應(treatmenteffect),表示處理i對試驗結果產(chǎn)生的影響。是試驗誤差，相互獨立，且服從正態(tài)分布N（0，σ2）。,上式就稱為單因素試驗的線性統(tǒng)計模型（linearstatisticalmodel）亦稱數(shù)學模型。方差分析的目的就是要檢驗處理效應的大小和有無。（二）方差分析的基本思路將總的變差分解為構成總變差的各個部分。即將a個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀察值總變異的平方和及自由度分解為相應于不同變異來源的平方和及自由度，進而獲得不同變異來源的總體方差估計值；通過這些估計值的適當比值，就能檢驗各樣本所屬總體均值是否相等。方差分析實質(zhì)上是關于觀測值變異原因的數(shù)量分析。,二固定模型fixedmodel:因素固定、效應也固定反應到線性模型中即為常數(shù)．可要求1.假設固定模型的零假設為：備擇假設為：,故an個觀察值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。全部觀察值的總變異可以用總均方來度量，處理間變異和處理內(nèi)變異分別用處理間均方和處理內(nèi)均方來度量。,2.平方和與自由度的剖分,總均方的拆分是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和(totalsumofsquares，SST)，剖分成處理間平方和(sumofsquaresbetweentreatments，SSA)與處理內(nèi)平方和(sumofsquareswithintreatment，SSe)兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來實現(xiàn)的。處理間均方（處理均方，MSA）處理內(nèi)均方（誤差均方，MSe）,總平方和的拆分,三種平方和的簡便計算公式如下：①等重復時：,②不等重復時：,?在計算總平方和時，資料中的各個觀察值要受這一條件約束，總自由度等于資料中觀察值的總個數(shù)減1，即an-1?？傋杂啥扔洖閐fT，則dfT=an-1。?在計算處理間平方和時，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即a-1。處理間自由度記為dfA，則dfA=a-1。,總自由度的拆分,?在計算處理內(nèi)平方和時，要受a個條件的約束，即，i=1,2,...a。故處理內(nèi)自由度為資料中觀察值的總個數(shù)減a，即an-a。處理內(nèi)自由度記為dfe，則dfe=an-a=a(n-1)。因為na-1=(a-1)+(na-a)=(a-1)+a(n-1)所以dfT=dfA+dfe綜合以上各式得：,各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方（誤差均方）,分別記為：MST(或ST2)、MSA(或SA2)和MSe(或Se2),即MST=ST2=SST/dfT;MSt=St2=SSt/dft;MSe=Se2=SSe/dfe注意：?在方差分析中不涉及總均方的數(shù)值，所以一般不必計算；?總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。,,3.期望均方(expectedmeansquaresEMS）若A是B的無偏估計，則稱B是A的數(shù)學期望。處理內(nèi)均方MSe是誤差方差?2的無偏估計值，即?2稱為MSe的數(shù)學期望。,4.統(tǒng)計量當零假設成立時，處理效應的方差為零，亦即各處理觀察值總體均數(shù)?i(i=1，2，…，a)相等時，處理間均方MSA與處理內(nèi)均方一樣，也是誤差方差?2的估計值。方差分析就是通過MSA與MSe的比較來推斷各處理平均數(shù)間差異的大小．F=MSA/MSeF具有兩個自由度：df1=dfA=a-1;df2=dfe=a(n-1)。,查附表7:?若F＜，即P＞0.05，不能否定H0，可認為各處理間差異不顯著；?若≤F＜，即0.01＜P≤0.05,否定H0，接受HA，認為各處理間差異顯著，標記“*”;?若F≥，即P≤0.01，否定H0，接受HA，認為各處理間差異極顯著，標記“**”。,【例10.2】某試驗研究不同藥物對腹水癌的治療效果，將患腹水癌的25只小白鼠隨機分為5組，每組5只。其中A1組不用藥作為對照，A2、A3為兩個不同的用中藥組，A4、A5為兩個不同的西藥組。各組小白鼠的存活天數(shù)如表7—2所示。表10—2用不同藥物治療腹水癌小白鼠的結果,這是一個單因素試驗，處理數(shù)a=5,重復數(shù)n=5。第一步：計算一級數(shù)據(jù)（見表）；第二步：計算SSe、SSA、dfe、dfA矯正項C=x2../an總平方和處理間平方和=248274-2291.96=1905.44處理內(nèi)平方和SSe=SST-SSA=2183.04-1905.44=277.60,總自由度dfT=an-1=25-1=24處理間自由度dfA=a-1=5-1=4處理內(nèi)自由度dfe=dfT-dfA=24-4=20處理間均方MSA=SSt/dfA=1905.44/4=476.36處理內(nèi)均方MSe=SSe/dfe=277.60/20=13.88第三步：提出假設零假設為：H0:各處理組小鼠存活天數(shù)差異不顯著備擇假設為：HA:各處理組小鼠存活天數(shù)差異顯著,第四步：計算統(tǒng)計量F=MSA/MSe=476.36/13.88=34.32**第五步：查表根據(jù)df1=dft=4，df2=dfe=20查附表7，得F0.01(4,20)=4.43第六步：做出推斷及生物學解釋：F＞F0.01(4,20)=4.43，P＜0.01。說明五個處理小白鼠存活天數(shù)差異極顯著，用不同藥物治療小白鼠腹水癌的療效是不同的。,在方差分析中，通常將變異來源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表。表10—3例10.2資料的方差分析表,F值應與相應的被檢驗因素齊行;在表的左下方注出顯著水平α。,應用舉例：例4調(diào)查了5個不同小麥品系的株高，結果見下表，問該5個小麥品系株高間的差異是否顯著？,為了簡化計算，將每一個原始數(shù)據(jù)均減去65，列成下表,1.提出假設：H0：HA：2．計算檢驗統(tǒng)計量F：=147.32=131.74SSe＝SST－SSA＝15.58MSA＝SSA／(a-1)＝32.72MSe＝SSe／(an-a)＝0.78F＝MSA／MSe＝41.953．查附表3得：F4,20,0.05＝2.87，F(xiàn)4,20,0.01＝4.43。F＞F4,20,0.01，拒絕H0，說明5個不同小麥品系的株高差異極顯著。,,,,,,,將以上結果列為方差分析表：,三、隨機模型Randommodel:因素隨機、效應不固定是試驗誤差，相互獨立，且服從正態(tài)分布不再為常數(shù)，且服從正態(tài)分布1.假設隨機模型的零假設為：備擇假設為：,2.總平方和與總自由度的剖分：同固定模型3.數(shù)學期望：4.統(tǒng)計量F:注意：在做生物學解釋時，固定模型中的結論只適用于檢查的那幾個因素水平；隨機模型中的結論可推廣到這一因素的各個水平,四、多重比較(multiplecomparisons)（一）為什么要進行多重比較？F值顯著或極顯著，否定了無效假Ho，表明試驗的總變異主要來源于處理間的變異，試驗中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異。但并不意味著每兩個處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些沒有顯著差異。因而，有必要進行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。,（二）概念統(tǒng)計上把多個平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。（三）常用的多重比較方法多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。1、最小顯著差數(shù)法(LSD法，Leastsignificantdifference)此法的基本原理是：在處理間F檢驗顯著的前提下,先計算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)LSDα,然后將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與其比較，作出結論。,最小顯著差數(shù)由下式計算：式中為在F檢驗中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值,均數(shù)差異標準誤則下式算得。其中MSe為F檢驗中的誤差均方，n為各處理內(nèi)的重復數(shù)。,顯著水平取0.05和0.01時，從t值表查出代入，即可求得LSD0.05和LSD0.01利用LSD法進行多重比較時，步驟如下:?列出平數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；?計算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01;?將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與計算出的LSD0.05、LSD0.01比較，作出統(tǒng)計推斷。,【例10.2】dfe=20,n=5,MSe=13.88查t值表得t0.05(dfe)=t0.05(20)=2.086，t0.01(dfe)=t0.01(20)=2.845所以顯著水平為0.05與0.01的最小的顯著差數(shù)為：表10-4五個處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(LSD法)),將表10—4中的10個差數(shù)與LSD0.05、LSD0.01比較：小于LSD0.05者不顯著；介于LSD0.05與LSD0.01之間者顯著，標記“*”；大于LSD0.01者極顯著，標記“**”。檢驗結果除差數(shù)1.6不顯著、5.2顯著外，其余各差數(shù)極顯著。表明所用的藥物不論中西藥對小白鼠腹水癌都有一定療效，除中藥A3與西藥A4的療效差異不顯著外，其余藥物間的療效都有顯著或極顯著差異。,說明：LSD實質(zhì)上就是t檢驗法：它是將t檢驗中由所求得的t的絕對值與臨界值的比較轉(zhuǎn)化為將各對均數(shù)差值的絕對值與最小顯著差數(shù)的比較，從而做出統(tǒng)計推斷的．,2、最小顯著極差法(LSR法，Leastsignificantranges)LSR法的特點：把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗尺度叫做最小顯著極差。因此，若有k個平均數(shù)相互比較，就有k-1種秩次距(k,k-1,k-2,…,2)，因而需求得k-1個最小顯著極差R(α,k），以作為判斷各秩次距(k)平均數(shù)的極差是否顯著的標準。,常用的LSR法為Duncan法。檢驗步驟：?列出平均數(shù)多重比較表；?由自由度dfe、秩次距k查“多重比較中的Duncan表”（附表7），計算最小顯著極差R0.05,k和R0.01,k；?將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應的最小顯著極差R0.05,k和R0.01,k比較，作出統(tǒng)計推斷。,對于【例10.1】，已算出=1.67，依dfe=20,k=2,3,4,5，由附表6查臨界r0.05(20,k)和r0.01(20,k)值，乘以，求得各最小顯著極差。所得結果列于表10—5。表10—5r值與R值,表10-6五個處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(Duncan法)),五、基本假定①效應的可加性（additivity）②分布的正態(tài)性（normality）③方差的同質(zhì)性（homogeneity）,方差分析的基本步驟1.計算各項平方和與自由度。2.列出方差分析表，進行F檢驗。3.若F檢驗顯著，則進行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。,第二節(jié)單因素方差分析的基本步驟,一、各處理重復數(shù)相等的方差分析【例10.2】為了研究小白鼠患白血病后脾組織中DNA含量的變化，測定四組，每組各8只（即a=4,n=8）小白鼠脾組織中DNA的含量；第1組為正常脾，第2組為患自發(fā)性白血病的脾；第3組為患移植性白血病AK4的脾；第4組為患移植性白血病9421的脾。測定結果見表10—7。試檢驗各組DNA含量差異是否顯著。,表10—7四組小白鼠脾組織中DNA含量1.計算各項平方和與自由度C=x2../an=398.12/(48)=4952.61,SSe=SST–SSA=133.40-89.72=43.68dfT=an-1=48-1=31dfA=a-1=4-1=3dfe=dfT-dfA=31-3=282.列出方差分析表，進行F檢驗，見表(10—8)。表10—8四組小白鼠脾中DNA含量方差分析表,根據(jù)df1=dfA=3,df2=dfe=28查臨界F值得：F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57因為F＞F0.01(3,28),即P＜0.01，表明處理間DNA含量的差異達到1％顯著水平。3.多重比較采用Duncan法。各處理平均數(shù)多重比較表，見表10—9。因為MSe=1.56,n=8,所以根據(jù)dfe=28，秩次距k=2,3,4由附表9查出α=0.05和α=0.01的各臨界r值,各r值乘以,即得各最小顯著極差。所得結果列于表10—9。,表10—9r值及LSR值表10—10各組DNA含量平均數(shù)多重比較表(Duncun法),檢驗結果表明：正常脾中DNA含量極顯著高于患有各類白血病脾中DNA含量；患自發(fā)性白血病脾中DNA含量極顯著高于患移植性白血病9421，顯著高于患移植性白血病AK4；第三組第四組之間差異不顯著。四組中以正常脾DNA含量最高，第二組次之，第三、四組最低。也就是說各類白血病都將導致小白鼠脾中DNA含量明顯降低。,二、各處理重復數(shù)不相等的方差分析這種情況下方差分析步驟與各處理重復數(shù)相等的情況相同，只是在有關計算公式上略有差異。設處理數(shù)為a；各處理重復數(shù)為n1,n2,…,na；試驗觀察值總數(shù)為N=Σni。則,【例10.3】五個不同品種豬的育肥試驗，30天后增重(kg)如表10—11所示。試比較品種間增重有無差異。表10—11五個品種豬30天增重,此例處理數(shù)a=5，各處理重復數(shù)不等?，F(xiàn)對此試驗結果進行方差分析：1.計算各項平方和及其自由度,2、列出方差分析表，進行F檢驗表10—12五品種育肥豬增重方差分析表臨界F值為F0.05（4，20）=2.87，F(xiàn)0.01（4，20）=4.43,因為5.99＞4.43，故P＜0.01，表明品種間差異極顯著。3.多重比較采用Duncan法，各處理平均數(shù)多重比較表見表10—12。,因各處理重復數(shù)不等，應先計算出平均重復次數(shù)no,此例中：于是，標準誤為：根據(jù)dfe=20,秩次距k=2,3,4,5從附表6中查出α=0.05及α=0.01的臨界r值，并計算出最小顯極差，所得結果列于表10—13。,表10—13r值及R值表,表10—14五品種育肥豬平均增重多重比較表(Duncan法),多重比較結果表明:B1、B4品種的平均增重極顯著或顯著地高于B2、B5品種的平均增重，其余不同品種之間差異不顯著?？梢哉J為B1、B4品種增重最快，B2、B5品種增重較差，B3品種居中。,方差分析與兩樣本平均數(shù)t-test有何異同？,