《平面向量的數(shù)量積》PPT課件.ppt

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第三節(jié)平面向量的數(shù)量積,第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,,考綱要求,1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.,,課前自修,知識(shí)梳理,一、平面向量的數(shù)量積的定義1．向量a，b的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，過O點(diǎn)作，則∠AOB＝θ(0≤θ≤180)叫做向量a，b的夾角．當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b同方向時(shí)，θ＝0，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反方向時(shí)，θ＝180，同時(shí)0與其他任何非零向量之間不談夾角這一問題．,2．a(chǎn)與b垂直：如果a，b的夾角為90，則稱a與b垂直，記作a⊥b.3．a(chǎn)與b的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為θ，則|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab＝|a||b|cosθ，規(guī)定0a＝0，非零向量a與b當(dāng)且僅當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90，這時(shí)ab＝0.,5．a(chǎn)b的幾何意義：ab等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積．二、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，e是單位向量，于是有：1．ea＝ae＝|a|cosθ.2．a(chǎn)⊥b?ab＝0.,三、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1．交換律成立：ab＝ba.2．對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)(λ∈R).3．分配律成立：(ab)c＝acbc＝c(ab).,基礎(chǔ)自測,1．(2012福建卷)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是()A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0,解析：因?yàn)閍⊥b，所以ab＝0，即(x－1)2＋21＝0，解得x＝0.故選D.答案：D,4．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．,,,考點(diǎn)探究,,考點(diǎn)一,平面向量的數(shù)量積的概念,【例1】判斷下列各命題正確與否．(1)若a≠0，ab＝ac，則b＝c；(2)若ab＝ac，則b≠c當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時(shí)成立；(3)(ab)c＝a(bc)對任意向量a，b，c都成立；(4)對任一向量a，有a2＝|a|2；(5)0a＝0；(6)0a＝0.思路點(diǎn)撥：(1)(2)可由數(shù)量積的定義判斷；(3)通過計(jì)算判斷；(4)把a(bǔ)2轉(zhuǎn)化成aa＝|a|2可判斷；對于(5)與(6)，要清楚0a為零向量，而0a為零．,解析：(1)∵ab＝ac，∴|a||b|cosα＝|a||c|cosβ(其中α，β分別為a與b，a與c的夾角)．∵|a|≠0，∴|b|cosα＝|c|cosβ.∵cosα與cosβ不一定相等，∴|b|與|c|不一定相等．∴b與c也不一定相等．∴(1)不正確．,(2)若ab＝ac，則|a||b|cosα＝|a||c|cosβ(α，β為a與b，a與c的夾角)．∴|a|(|b|cosα－|c|cosβ)＝0.∴|a|＝0或|b|cosα＝|c|cosβ.當(dāng)b≠c時(shí)，|b|cosα與|c|cosβ可能相等．∴(2)不正確．(3)(ab)c＝(|a||b|cosα)c，a(bc)＝a|b||c|cosθ(其中α，θ分別為a與b，b與c的夾角)．(ab)c是與c共線的向量，a(bc)是與a共線的向量．∴(3)不正確．(4)正確，(5)不正確，(6)正確．,點(diǎn)評：判斷上述問題的關(guān)鍵是要掌握向量的數(shù)量積的含義，向量的數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律．通過該題我們應(yīng)搞清楚向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別與聯(lián)系．,變式探究,1．(2012浙江卷)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥bB．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λaD．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|,解析：利用向量運(yùn)算法則，特別是|a|2＝a2求解．由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2ab＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴ab＝－|a||b|.∵ab＝|a||b|cos，∴cos＝－1，∴＝π，此時(shí)a與b反向共線，因此A錯(cuò)誤．當(dāng)a⊥b時(shí)，a與b不反向也不共線，因此B錯(cuò)誤．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ＝－1，使b＝－a，滿足a與b反向共線，故C正確．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有當(dāng)－1≤λ≤0時(shí)，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否則不能成立，故D錯(cuò)誤．答案：C,,考點(diǎn)二,求向量的數(shù)量積,變式探究,,考點(diǎn)三,兩個(gè)向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用,變式探究,3．(2012淮南市模擬)若向量a＝(2,1)，b＝(3，x)，若(2a－b)⊥b，則x的值為()A．3B．－1或3C．－1D．－3或1,B,,考點(diǎn)四,兩個(gè)向量垂直的充要條件的應(yīng)用,【例4】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π)．(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；(2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α(其中k為非零實(shí)數(shù))．,(1)證明：(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，∴a＋b與a－b互相垂直．,變式探究,,考點(diǎn)五,向量模公式|a|2＝a2的應(yīng)用,【例5】(2012衡陽八中月考)已知|a|＝|b|＝|a－b|＝2，則|3a－2b|＝________.,解析：因?yàn)?a－b)2＝|a|2－2ab＋|b|2＝4＋4－2ab＝4，解得ab＝2，∴|3a－2b|2＝9|a|2＋4|b|2－12ab＝36＋16－24＝28，故|3a－2b|＝2.答案：2,變式探究,6．(2012濟(jì)南市模擬)已知向量a與b的夾角為120，|a|＝3，|a+b|＝，則|b|等于()A．5B．4C．3D．1,解析：∵|a|＝3，|a+b|2＝(a+b)2＝a2＋b2＋2ab＝13，|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos120＝13，|b|2－3|b|－4＝0，∴|b|＝4，|b|＝－1(舍去)．故選B.答案：B,7．已知向量a，b滿足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a-b|＝()A.0B．2C．4D.8,,考點(diǎn)六,求向量的夾角(或其函數(shù)值),【例6】(2012佛山市二模)設(shè)向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a(a－b)＝0，則a與b的夾角是()A．30B．60C．90D．120,變式探究,8．(2012新課標(biāo)全國卷)已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________.,,課時(shí)升華,1．本節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，向量垂直的充要條件．利用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題．2．向量的數(shù)量積是向量之間的一種乘法運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算，結(jié)果卻是一個(gè)數(shù)量，所以向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是純數(shù)量的坐標(biāo)表示．,3．向量a與b的夾角：(1)當(dāng)a與b平移成有公共起點(diǎn)時(shí)兩向量所成的角才是夾角．(2)0≤〈a，b〉≤180.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝0時(shí)，兩向量共線且方向相同；當(dāng)〈a，b〉＝180時(shí)，兩向量共線且方向相反；當(dāng)〈a，b〉＝90時(shí)，兩向量垂直．(3),4．特別注意：(1)數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即a(bc)≠(ab)c；(2)消去律不成立，即由ab＝ac不能得到b＝c；(3)由ab＝0不能得到a＝0或b＝0；(4)但是乘法公式成立：(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；(ab)2＝a22ab＋b2＝|a|22ab＋|b|2.,,感悟高考,品味高考,2．(2012湖北卷)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則(1)與2a＋b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為________；(2)向量b－3a與向量a夾角的余弦值為________．,高考預(yù)測,1．(2012廣州市一模)已知兩個(gè)非零向量a與b，定義|ab|＝|a||b|sinθ，其中θ為a與b的夾角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，則|ab|的值為()A．－8B．－6C．8D．6,2．(2012廣東金山中學(xué)綜合測試)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60，則|2a＋b|＝________.,感謝您的使用，退出請按ESC鍵,本小節(jié)結(jié)束,