高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 定積分學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版

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【課堂新坐標】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 定積分學(xué)業(yè)分層測評 蘇教版選修2-2 (建議用時：45分鐘) 學(xué)業(yè)達標] 一、填空題 1．當(dāng)n→＋∞時，表示成定積分為________． 【解析】　根據(jù)定積分的幾何意義， 當(dāng)n→＋∞時， 表示曲線y＝sin x，x＝0，x＝π，y＝0所圍成圖形的面積，所以表示成定積分為sin xdx. 【答案】　sin xdx 2.dx＝________. 【解析】　定積分dx等于直線y＝與x＝0，x＝2，y＝0圍成三角形的面積S＝21＝1. 【答案】　1 3．已知xdx＝2，則 xdx＝________. 【解析】　xdx表示直線y＝x，x＝0，x＝t，y＝0所圍成圖形的面積，而表示直線y＝x，x＝0，x＝－t，y＝0所圍成圖形面積的相反數(shù)，所以xdx＝－2. 【答案】　－2 4．若cos xdx＝1，則由x＝0，x＝π，f(x)＝sin x及x軸圍成的圖形的面積為________． 【解析】　由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，知f(x)＝sin x，x∈0，π]的圖象與x軸圍成的圖形的面積，等于g(x)＝cos x，x∈的圖象與x軸圍成的圖形的面積的2倍，所以答案應(yīng)為2. 【答案】　2 5．用定積分表示下列陰影部分的面積(不要求計算)： (1)S＝________(圖152(1))； (2)S＝________(圖152(2))； (3)S＝________(圖152(3))． (圖1)　　　　　　(圖2) 圖(3) 圖152 【答案】 6．已知某物體運動的速度為v＝t，t∈0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為__________． 【解析】　∵把區(qū)間0,10]10等分后，每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為n(n＝1,2，…，10)，每個小區(qū)間的長度為1. ∴物體運動的路程近似值S＝1(1＋2＋…＋10)＝55. 【答案】　55 7．物體運動的速度和時間的函數(shù)關(guān)系式為v(t)＝2t(t的單位：h，v的單位：km/h)，近似計算在區(qū)間2,8]內(nèi)物體運動的路程時，把區(qū)間6等分，則過剩近似值(每個ξi均取值為小區(qū)間的右端點)為__________km. 【解析】　以小區(qū)間右端點時的速度作為小區(qū)間的平均速度，可得過剩近似值為s＝(23＋24＋25＋26＋27＋28)1＝66(km)． 【答案】　66 8．汽車以v＝(3t＋2)m/s做變速直線運動時，第1 s到第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是________m. 【解析】　由題意知，所求路程為直線x＝1，x＝2，y＝0與y＝3x＋2所圍成的直角梯形的面積，故S＝(5＋8)1＝6.5(m)． 【答案】　6.5 二、解答題 9．(2016深圳高二檢測)有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時刻t的速度為v(t)＝3t2＋2(單位：km/h)，那么該汽車在0≤t≤2(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？ 【解】　在時間區(qū)間0,2]上等間隔地插入n－1個分點，將它分成n個小區(qū)間，記第i個小區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，其長度為Δt＝－＝.每個時間段上行駛的路程記為Δsi(i＝1,2，…，n)，則顯然有s＝si，取ξi＝(i＝1,2，…，n)．于是Δsi≈Δs′i＝vΔt ＝， sn＝si＝＋4 ＝8＋4. 從而得到s的近似值s≈sn. 令n→∞，則Sn→12，故S＝12 所以這段時間內(nèi)行駛的路程為12 km. 10．利用定積分的幾何意義，求dx的值． 【解】　y＝(－1≤x≤1)表示圓x2＋y2＝1在x軸上方的半圓(含圓與x軸的交點)．根據(jù)定積分的幾何意義，知 dx表示由曲線y＝與直線x＝－1，x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積， 所以dx＝S半圓＝π. 能力提升] 1．直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2＋1圍成的曲邊梯形，將區(qū)間0,2]5等分，按照區(qū)間左端點和右端點估計梯形面積分別為________、________. 【解析】　分別以小區(qū)間左、右端點的縱坐標為高，求所有小矩形面積之和． S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)0.4＝3.92； S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)0.4＝5.52. 【答案】　3.92　5.52 2．若做變速直線運動的物體v(t)＝t2，在0≤t≤a內(nèi)經(jīng)過的路程為9，則a的值為________． 【解析】　將區(qū)間0，a]n等分，記第i個區(qū)間為(i＝1,2，…，n)，此區(qū)間長為，用小矩形面積2 近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，則2＝(12＋22＋…＋n2)＝近似地等于速度曲線v(t)＝t2與直線t＝0，t＝a，t軸圍成的曲邊梯形的面積．依題意得當(dāng)n→＋∞時，→9，∴＝9，解得a＝3. 【答案】　3 【解析】　當(dāng)x∈(0，π]時，sin x≥0； 當(dāng)x∈時，sin x<0. ∴由定積分的性質(zhì)可得 【答案】?、? 4．計算dx＝________. 【解析】　dx表示以原點為圓心， 4為半徑的圓的面積， ∴dx＝π42＝4π. 【答案】　4π 5．已知函數(shù)f(x)＝求f(x)在區(qū)間－2,2π]上的積分． 【解】　由定積分的幾何意義知x3dx＝0， 2xdx＝＝π2－4， cos xdx＝0. 由定積分的性質(zhì)得 f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cos xdx＝π2－4.