2019-2020年高中數(shù)學 1.3第2課時 相似三角形的性質(zhì)練習 新人教A版選修4-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 1.3第2課時 相似三角形的性質(zhì)練習 新人教A版選修4-1 1．相似三角形的性質(zhì)定理： (1)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于____________． (2)相似三角形周長的比等于____________． (3)相似三角形面積的比等于__________________________． 2．相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于______________． 3．如圖，在△ABC中，AB＝14 cm，＝，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12 cm，則△ADE的面積和周長分別是__________，__________． 預習導學 1．(1)相似比　(2)相似比　(3)相似比的平方 2．相似比的平方 3. cm2　15 cm ?一層練習 1．在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC上的點，且DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，則DB等于(　　) 　　　　　 　　　　　 　　 　　　　 A．2 cm B．6 cm C．4 cm D．8 cm 1．D　 2．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，點D為AC上一點，DC＝AC，在AB上取一點E，得到△ADE，若△ADE與△ABC相似，則DE的長為(　　) A．6 B．8 C．6或8 D．14 2.C 3．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，且AD∶A′D′＝5∶3，下面給出四個結(jié)論： ①BC∶B′C′＝5∶3；②△ABC的周長∶△A′B′C′的周長＝3；③△ABC與△A′B′C′的對應高之比為5∶3；④△ABC與△A′B′C′的對應中線之比為5∶3. 其中正確的有(　　) A.1個 B．2個 C．3個 D．4個 3.D 4．兩個相似三角形的一對對應邊長分別是24 cm和12 cm. (1)若它們的周長和是120 cm，則這兩個三角形的周長分別為________和________； (2)若它們的面積差是420 cm2，則這兩個三角形的面積分別為________和________． 4．(1)80 cm　40 cm　(2)560 cm2　140 cm2 ?二層練習 5．在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，且DE∥BC，△ADE的面積是2 cm2，梯形DBCE的面積為6 cm2，則DE∶BC的值為(　　) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 　5．B 6．如圖所示，已知在△ABC中，∠C＝90，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，則AF∶FC等于(　　) A．1∶3 B．1∶4 C．1∶2 D．2∶3 6.C 7．在△ABC中，點D為BC上一點，且∠BAC＝∠ADC，BC＝16 cm，AC＝12 cm，則DC＝______cm. 7.9　 8．兩相似三角形的相似比為1∶3，則其周長之比為________，內(nèi)切圓面積之比為________． 8.1∶3　1∶9　 ?三層練習 9．點D、E、F是△ABC的三邊中點，設△DEF的面積為4，△ABC的周長為9，則△DEF的周長與△ABC的面積分別是(　　) A．4.5，16 B．9，4 C．4.5，8 D.，16 9.A 10．如圖所示，點D、E、F、G、H、Ι是△ABC三邊的三等分點，△ABC的周長是l，則六邊形DEFGHI的周長是(　　) A.l B．3l C．2l D.l 10．解析：易得DE綊BC. HI綊AC. GF綊AB. 又DI＝AB， HG＝BC，EF＝AC. 則所求周長為(AB＋AC＋BC)＝l. 答案：D 11．如圖所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則AE＝______． 11．2 12．(xx佛山一模)如圖，M是平行四邊形ABCD的邊AB的中點，直線l過點M分別交AD，AC于點E，F(xiàn).若AD＝3AE，則AF∶FC＝________． 12．解析：延長CD與直線l交于點G， 設AB＝2a，則CD＝2a，而M是AB的中點， 則AM＝AB＝a. 由已知得△AME∽△DGE，∴＝?＝. ∵AD＝3AE，∴＝?DG＝2a. 又∵△FCG∽△FAM，＝?＝＝＝，即AF∶FC＝1∶4. 答案：1∶4 13.(xx清遠市高三上學期期末考試)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則∠ACB＝________． 13．30 14．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P為AD上一點，CF∥AB，BP延長線交AC、CF于E、F，求證：PB2＝PEPF. 14．證明：連接PC， 易證PC＝PB，∠ABP＝∠ACP， ∵CF∥AB， ∴∠F＝∠ABP， 從而∠F＝∠ACP， 又∠EPC為△CPE與△FPC的公共角， 從而△CPE∽△FPC，∴＝. ∴PC2＝PEPF，又PC＝PB， ∴PB2＝PEPF，命題得證． 1．相似三角形的性質(zhì)常用于： (1)計算邊長、周長、面積等； (2)用來證明線段成比例、角相等，在進行計算時常常結(jié)合方程的思想進行． 2．研究相似三角形的性質(zhì)時，切記從相似比入手即可，涉及線段的比均等于相似比，只有面積的比是相似比的平方． 3．在三角形中有平行于一邊的直線時，通?？紤]三角形相似，利用比值獲得線段的長或三角形的面積． 【習題1.3】 1．證明：如圖所示，連接BE，CD.∵∠ABE和∠ACD是同弧所對的圓周角，∴∠ABE＝∠ACD.又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD，∴＝. 2．證明：(1)如圖所示，在△ABE和△ACD中，∵∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∴ABCD＝ACBE. (2)在△ABC和△AED中，∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC，∠EAD＝∠CAD＋∠EAC，且∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.又∵∠BCA＝∠EDA，∴△ABC∽△AED，∴＝.∴ACED＝ADBC. 3．解析：如圖所示，設A′C′＝x，∵∠A＝∠A′，∴要使△ABC∽△A′B′C′，只需＝即可．∴當x＝時，△ABC∽△A′B′C′. 4．解析：如圖所示．作法：①作線段B′C′，使B′C′＝BC.②以B′為頂點，B′C′為始邊作∠D′B′C′＝∠B.③在B′D′上截取線段B′A′，使B′A′＝AB.④連接A′C′.則△A′B′C′為所求作的三角形． 5．證明：如圖所示，∵EF∥AD∥BC，∴＝，＝，∵AD＝BC，∴＝，∴＝，又∵∠AEB＝∠HEG，∴△AEB∽△HEG，∴∠ABE＝∠HGE，∴GH∥AB. 6．證明：如圖所示 ．∵DE∥AB，∴＝＝.　　　　　?、? 又∵EF∥BC，∴＝＝. ② 由①②知＝，而∠FOD＝∠COA， ∴△FOD∽△COA，∴＝. ∴在△ABC和△DEF中， 有＝＝，∴△DEF∽△ABC. 7．證明：如圖所示，在△ACD和△BCE中，∵∠ADC＝∠BEC＝90，∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝，即ADBC＝BEAC. 8．解析：設計三種方案僅供參考． 方案1：①如圖所示，在地面適當位置取一點C，連接BC，測量出BC的距離． ②在點C處豎立處豎立一根垂直于地面的標桿． ③在BC的延長線上取一點D，使點D，標桿的頂點E和樹尖A在一條直線上． ④測量出CD的距離．在這個方案中，由于△DCE∽△DBA，而BC，CD，CE的長可以由測量而得，所以可以求出樹高AB(沒有考慮測量儀的腳架高)． 方案2：①如圖所示，在地面上選取一點C，連接BC. ②測出∠BCA的度數(shù)． ③在地面上選取一點D，使∠DCB＝∠BCA. ④過D作BC的垂線，交BC于E. ⑤測量DE，CE，BC的長，由這三個量可以求得AB的長．因為按方案2的實施，易知Rt△ABC∽Rt△DEC(沒有考慮測量儀的腳架高)． 方案3：①如圖所示，把一面鏡子放在離樹a m的點E處．②一個人望著鏡子后退到點D，這時恰好在鏡子里望到樹梢點A.③量得ED等于b m，人的眼睛距地面的高度為cm，即可求出AB的長．因為根據(jù)光學中的反射定律，知∠AEB＝∠CED，所以△ABE∽△CDE. 9．已知：如圖所示，設△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，AD是△ABC中BC邊上的中線，A′D′是△A′B′C′中B′C′邊上的中線．AE是△ABC的角平分線，A′E′是△A′B′C′的角平分線．求證： (1)＝k； (2)＝k. 證明：(1)∵△ABC∽△A′B′C′， ∴＝. 又∵D，D′分別為BC，B′C′的中點， ∴＝＝＝. 且由題意知∠B＝∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′， ∴＝＝k.其余兩組對應邊上的對應中線之比同理可證． (2)∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′，∵AE，A′E′分別是∠BAC，∠B′A′C′的平分線，∴∠BAE＝∠B′A′E′，∴△ABE∽△A′B′E′，∴＝＝k.同理可證，其余兩個對應角的平分線的對應之比也等于相似比． 10．解析：∵AE∶EB＝1∶2，∴AE∶AB＝1∶3.由題意知在△AEF和△CDF中，∠EAF＝∠DCF，∠EFA＝∠DFC，∴△AEF∽△CDF， ∴＝＝＝，∴＝，而S△AEF＝6，∴S△CDF＝9S△AEF＝96＝54(cm2)． 11．解析：相似三角形內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方．證明略．問題有很多．以下三個問題僅供參考． 問題1：相似三角形對應交的外角平分線之比等于相似比．證明：如圖所示，設∠ABC∽∠A′B′C′，AD，A′D′分別是∠BAC，∠B′A′C′的外角平分線，分別交BC，B′C′的延長線于D，D′.∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠BAC＝∠B′A′C′.又∵∠BAC＋∠1＋∠2＝∠B′A′C′＋∠3＋∠4，而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3，∴∠BAD＝∠B′A′D′.又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝＝k. 問題2：△ABC∽△A′B′C′，以△ABC的三條邊為直徑，分別向△ABC外作半圓(如圖所示)，同樣，以△A′B′C′的三條邊為直徑， 分別向△A′B′C′外作半圓，則兩個三角形中三個對應半圓的面積之比等于相似比的平方(說明：將三個半圓改為三個等邊三角形、正方形、正多邊形等，可以得到更多的命題)．證明略． 問題3：如圖所示，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，＝，則＝k.證明略．