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2019-2020年高中數學第一輪總復習 第二章 2.3 函數的單調性教案 新人教A版
鞏固夯實基礎
一、自主梳理
1.單調性的定義
設函數f(x)的定義域為I:如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量x1、x2,當x1
f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.
2.判斷函數單調性的方法
(1)定義法.
(2)利用基本函數的單調性,如:二次函數y=x2-2x在(-∞,1)上是減函數.
(3)利用復合函數同增異減這個結論判斷.
(4)利用函數圖象上升增下降減進行判斷.另外利用導數值的符號也能判斷函數的單調性.
二、點擊雙基
1．下列函數中，在區(qū)間(0，2)上為增函數的是( )
A.y=-x+1 B.y= C.y=x2-4x+5 D.y=
答案:B
2．函數y=loga(x2+2x-3)，當x=2時，y＞0，則此函數的單調遞減區(qū)間是( )
A.(-∞，-3) B.(1，+∞) C.(-∞，-1) D.(-1，+∞)
解析:當x=2時，y=loga5＞0，∴A＞1.
由x2+2x-3＞0x＜-3或x＞1，易見函數t=x2+2x-3在(-∞，-3)上遞減，故函數y=loga(x2+2x-3)(其中a＞1)也在(-∞，-3)上遞減.
答案:A
3．若函數f(x)=,則該函數在(-∞,+∞)上是( )
A.單調遞減無最小值 B.單調遞減有最小值
C.單調遞增無最大值 D.單調遞增有最大值
解析：由于u(x)=2x+1在R上遞增且大于1,則f(x)=在R上遞減,無最小值,選A.
答案：A
4．函數y=lgsin(-2x)的單調增區(qū)間是( )
A.(kπ-,kπ-)(k∈Z) B.［kπ-,kπ+］(k∈Z)
C.(kπ-,kπ-)(k∈Z) D.［kπ-,kπ+］(k∈Z)
解析:令y=lgμ,μ=sin(-2x).
根據復合函數單調區(qū)間的求法,只需使2kπ+≤-2x<2kπ+π即可.
∴-kπ-0)在x∈(-1,1)上的單調性.
解:設-10,x1x2+1>0,(x12-1)(x22-1)>0.
又a>0，
∴f(x1)-f(x2)>0,函數f(x)在(-1，1)上為減函數.
【例3】 求函數y=x+的單調區(qū)間.
剖析:求函數的單調區(qū)間(亦即判斷函數的單調性)，一般有三種方法:
(1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函數的單調性.但本題圖象不易作，利用y=x與y=的單調性(一增一減）也難以確定，故只有用單調性定義來確定，即判斷f(x2)-f(x1)的正負.
解:首先確定定義域:{x|x≠0},
∴在(-∞,0)和(0，+∞)兩個區(qū)間上分別討論.任取x1、x2∈(0,+∞)且x10,
∴f(x2)-f(x1)>0為增函數.
同理可求(3)當x1、x2∈(-1,0)時，為減函數;(4)當x1、x2∈(-∞,-1)時，為增函數.
講評:解答本題易出現以下錯誤結論:f(x)在(-1，0）∪(0，1）上是減函數，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函數，或說f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是單調函數.避免錯誤的關鍵是要正確理解函數的單調性概念:函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，而不是兩個或兩個以上不相交區(qū)間的并.
鏈接拓展
求函數y=x+(a>0)的單調區(qū)間.
提示:函數定義域x≠0，可先考慮在(0,+∞)上函數的單調性，再根據奇偶性與單調性的關系得到在(-∞,0)上的單調性.
答案:在(-∞,-)，(,+∞)上是增函數，在(0,),(-,0)上是減函數.
【例4】 （xx北京東城模擬） 已知定義在R上的函數f(x)對任意的實數x1、x2滿足關系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2.
(1)證明f(x)的圖象關于點(0,-2)成中心對稱圖形;
(2)若x>0,則有f(x)>-2,求證:f(x)在(-∞,+∞)上是增函數.
剖析:對于(1),只要證明=-2即可;對于(2),注意到f(x)是抽象函數,欲證單調性,需對f(x)進行適當的變形.
證明:(1)令x1=x2=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)+2,
所以f(0)=-2.
對任意實數x,令x1=x,x2=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,
即f(0)-2=f(x)+f(-x),得=-2.
又=0,
這表明點M(x,f(x))與點N(-x,f(-x))的中點是(0,-2),即點M1N關于點(0,-2)成中心對稱.
由點M的任意性知:函數f(x)的圖象關于點(0,-2)成中心對稱.
(2)對任意實數x1、x2,且x10,有f(x2-x1)>-2.
于是f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)+2.
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+2>-2+2=0,
即f(x2)>f(x1).
所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函數.
講評:對于(1),求出f(0)=-2是解題的關鍵;對于(2),變形f(x2)=f［(x2-x1)+x1］=f(x2-x1)+f(x1)+2是解題的關鍵.
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