2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版 自主梳理 1．?dāng)?shù)列的定義 按照________________著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的______________都叫這個數(shù)列的項；在函數(shù)意義下，數(shù)列是________________________的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：______________________，簡記為{an}，其中an是數(shù)列的第____項． 1．一定順序排列 每一個數(shù) 定義域為N*(或它的子集)a1，a2，a3，…，an，… n 2．通項公式： 如果數(shù)列{an}的______與____之間的關(guān)系可以____________來表示，那么這個式子叫做數(shù)列的通項公式．但并非每個數(shù)列都有通項公式，也并非都是唯一的． 2.第n項 n 用一個公式 3．?dāng)?shù)列有三種表示法：它們分別是_________、________、________. .解析法(通項公式或遞推公式) 列表法 圖象法 4．?dāng)?shù)列的分類： 數(shù)列按項數(shù)來分，分為____________、__________； 按項的增減規(guī)律分為________、________、__________和__________． 遞增數(shù)列?an＋1______an；遞減數(shù)列?an＋1______an；常數(shù)列?an＋1______an. 按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動數(shù)列 an的符號正負相間，如1，－1,1，－1，… 4.有窮數(shù)列 無窮數(shù)列 遞增數(shù)列 遞減數(shù)列 擺動數(shù)列 常數(shù)列 > 0，在遞推關(guān)系式兩邊取對數(shù). 有l(wèi)g an＋1＝2lg an＋lg 3， 令bn＝lg an，則bn＋1＝2bn＋lg 3， ∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)， ∴{bn＋lg 3}是等比數(shù)列， ∴bn＋lg 3＝2n－12lg 3＝2nlg 3， ∴bn＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg an， ∴an＝32n－1. (5) 由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列， ∴an－n＝(a1－1)4n－1，∴an＝4n－1＋n. (6) 將an＋2－4an＋1＋3an＝0變形為an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)， 則數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝－6為首項，3為公比的等比數(shù)列，則an＋1－an＝－63n－1，利用累加法可得an＝11－3n. 題型三 由an與Sn的關(guān)系求通項an 例3 （1）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項公式． 解 當(dāng)n＝1時， a1＝S1＝212－31＋1＝0； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1時，an＝41－5＝－1≠a1， ∴an＝ （2） 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和滿足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通項公式. 解 由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)， 解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1>1，因此a1＝2. 又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)， 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an. 因為an>0，故an＋1＝－an不成立，舍去. 因此an＋1－an－3＝0. 即an＋1－an＝3，從而{an}是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故{an}的通項為 an＝3n－1. 探究提高 (1)已知{an}的前n項和Sn，求an時應(yīng)注意以下三點： ① an與Sn的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況． ②由Sn－Sn－1＝an推得的an，當(dāng)n＝1時，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”. ③由Sn－Sn－1＝an推得的an，當(dāng)n＝1時，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項公式應(yīng) 分段表示(“分寫”)，即an＝ (2)利用Sn與an的關(guān)系求通項是一個重要內(nèi)容，應(yīng)注意Sn與an間關(guān)系的靈活運用. 變式訓(xùn)練3 (1)已知{an}的前n項和Sn＝3n＋b，求{an}的通項公式． (2)已知在正項數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和且2＝an＋1，求an. 解 (1)a1＝S1＝3＋b， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝23n－1. 當(dāng)b＝－1時，a1適合此等式； 當(dāng)b≠－1時，a1不適合此等式． ∴當(dāng)b＝－1時，an＝23n－1； 當(dāng)b≠－1時，an＝. (2)由2＝an＋1，得Sn＝2， 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝2－2， 整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵數(shù)列{an}各項為正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0. ∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． ∴an＝a1＋(n－1)2＝2n－1. (3) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＝＋2 (n－1) (n∈N*). ①求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并分別寫出an和Sn關(guān)于n的表達式； ②是否存在自然數(shù)n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由. 解?、儆蒩n＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*). 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，∴數(shù)列{an}是以a1＝1為首項，4為公差的等差數(shù)列. 于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n (n∈N*). ②由Sn＝nan－2n(n－1)，得＝2n－1 (n∈N*)， ∴S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2 013，得n＝1 007， 即存在滿足條件的自然數(shù)n＝1 007. 題型四 用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性. 例4已知數(shù)列{an}. (1)若an＝n2－5n＋4， ①數(shù)列中有多少項是負數(shù)？ ②n為何值時，an有最小值？并求出最小值. (2)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1>an成立.求實數(shù)k的取值范圍. (1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值.(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù). 解 (1)①由n2－5n＋4<0，解得1下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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