2019-2020年高中數學 初高中銜接教材 第六講 簡單的二元二次方程組.doc

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2019-2020年高中數學 初高中銜接教材 第六講 簡單的二元二次方程組 在初中我們已經學習了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組．高中新課標必修2中學習圓錐曲線時，需要用到二元二次方程組的解法．因此，本講講介紹簡單的二元二次方程組的解法． 含有兩個未知數、且含有未知數的項的最高次數是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，或由兩個二元二次方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組． 一、由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組 一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解．其蘊含著轉化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解． 【例1】解方程組 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去． 解：由(1)得： (3) 將(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程組的解是：． 說明：(1) 解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的步驟： ①由二元一次方程變形為用表示的方程，或用表示的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一個一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3)，求相應的未知數的 值； ⑤寫出答案． (2) 消，還是消，應由二元一次方程的系數來決定．若系數均為整數，那 么最好消去系數絕對值較小的，如方程，可以消去，變形 得，再代入消元． (3) 消元后，求出一元二次方程的根，應代入二元一次方程求另一未知數的值， 不能代入二元二次方程求另一未知數的值，因為這樣可能產生增根，這一點 切記． 【例2】解方程組 分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點，可以把、看成是方程的兩根，則更容易求解． 解：根據一元二次方程的根與系數的關系，把、看成是方程的兩根，解方程得：． ∴ 原方程組的解是：． 說明：(1) 對于這種對稱性的方程組，利用一元二次方程的根與系數的關系構造方程時，未知數要換成異于、的字母，如． (2) 對稱形方程組的解也應是對稱的，即有解，則必有解． 二、由兩個二元二次方程組成的方程組 1．可因式分解型的方程組 方程組中的一個方程可以因式分解化為兩個二元一次方程，則原方程組可轉化為兩個方程組，其中每個方程組都是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成． 【例3】解方程組 分析：注意到方程，可分解成，即得或，則可得到兩個二元二次方程組，且每個方程組中均有一個方程為二元一次方程． 解：由(1)得： ∴ 或 ∴ 原方程組可化為兩個方程組： 用代入法解這兩個方程組，得原方程組的解是： 說明：由兩個二元二次方程組成的方程組中，有一個方程可以通過因式分解，化為兩個二元一次方程，則原方程組轉化為解兩個方程組，其中每一個方程組均有一個方程是二元一次方程． 【例4】解方程組 分析：本題的特點是方程組中的兩個方程均缺一次項，我們可以消去常數項，可得到一個二次三項式的方程．對其因式分解，就可以轉化為例3的類型． 解：(1) –(2)得： 即 ∴ ∴ 原方程組可化為兩個二元一次方程組：． 用代入法解這兩個方程組，得原方程組的解是：． 說明：若方程組的兩個方程均缺一次項，則消去常數項，得到一個二元二次方程．此方程與原方程組中的任一個方程聯(lián)立，得到一個可因式分解型的二元二次方程組． 【例5】解方程組 分析：(1) +(2)得：，(1) -(2)得：，分別分解(3)、(4)可得四個二元一次方程組． 解：(1) +(2)得：， (1) -(2)得：． 解此四個方程組，得原方程組的解是： ． 說明：對稱型方程組，如、都可以通過變形轉化為的形式，通過構造一元二次方程求解． 2．可消二次項型的方程組 【例6】解方程組 分析：注意到兩個方程都有項，所以可用加減法消之，得到一個二元一次方程，即轉化為由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組． 解：(1) 得： 代入(1)得：． 分別代入(3)得：． ∴ 原方程組的解是：． 說明：若方程組的兩個方程的二次項系數對應成比例，則可用加減法消去二次項，得到一個二元一次方程，把它與原方程組的任意一個方程聯(lián)立，解此方程組，即得原方程組的解． 二元二次方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方法，具體問題具體解決． 練 習 A 組 1．解下列方程組： (1) (2) (3) (4) 2．解下列方程組： (1) (2) 3．解下列方程組： (1) (2) (3) (4) 4．解下列方程組： (1) (2) B 組 1．解下列方程組： (1) (2) 2．解下列方程組： (1) (2) 3．解下列方程組： (1) (2) 4．解下列方程組： (1) (2) 第六講 簡單的二元二次方程組答案 A 組 1． 2． 3． ． 4．(1) ．(2) ． B 組 1． 2． 3． 4．，