2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第四講 明快簡捷—構造方程的妙用.doc

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2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第四講 明快簡捷—構造方程的妙用 有些數學問題雖然表面與一元二次方程無關，但是如果我們能構造一元二次方程，那么就能運用一元二次方程豐富的知識與方法輔助解題，構造一元二次方程的常用方法是： 1．利用根的定義構造 當已知等式具有相同的結構，就可把某兩個變元看成是關于某個字母的一元二次方程的兩根． 2．利用韋達定理逆定理構造 若問題中有形如，的關系式時，則、可看作方程的兩實根． 3．確定主元構造 對于含有多個變元的等式，可以將等式整理為關于某個字母的一元二次方程． 成功的構造是建立在敏銳的觀察、恰當的變形、廣泛的聯(lián)想的基礎之上的；成功的構造能收到明快簡捷、出奇制勝的效果． 注： 許多數學問題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運用已知條件，以已知條件為素材，以所求結論為方向，有效地運用數學知識，構造出一種輔助問題及其數學形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構造”策略，構造圖形，構造方程、構造函數、構造反例是常用構造方法． 【例題求解】 【例1】 已知、是正整數，并且，，則 ． 思路點撥 ，變形題設條件，可視、為某個一元二次方程兩根，這樣問題可從整體上獲得簡解． 【例2】 若，且有及，則的值是( ) A． B． C． D． 思路點撥 第二個方程可變形為，這樣兩個方程具有相同的結構，從利用定義構造方程入手． 【例3】 已知實數、滿足，且，求的取值范圍． 思路點撥 由兩個等式可求出、的表達式，這樣既可以從配方法入手，又能從構造方程的角度去探索，有較大的思維空間． 【例4】 已知實數、、滿足，． (1)求、、中最大者的最小值； (2)求的最小值． 思路點撥 不妨設a≥b，a≥c，由條件得，．構造以b、c為實根的一元二次方程，通過△≥0探求的取值范圍，并以此為基礎去解(2)． 注： 構造一元二次方程，在問題有解的前提下，運用判別式△≥0，建立含參數的不等式， 縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應用． 【例5】 試求出這樣的四位數，它的前兩位數字與后兩位數字分別組成的二位數之和的平方，恰好等于這個四位數． 思路點撥 設前后兩個二位數分別為，，則有，將此方程整理成關于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，運用判別式確定 (或)的取值范圍． 學歷訓練 1．若方程的兩個實數根的倒數和是，則的取值范圍是 ． 2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程的兩個根，則m的值是 ． 3．已知、滿足，，則= ． 4．已知，，，則的值為( ) A．2 B．-2 C．-1 D． 0 5．已知梯形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，則四邊形ABCD的面積S的最小值為( ) A．21 B． 25 C．26 D． 36 6．如圖，菱形A6CD的邊長是5，兩條對角線交于O點，且AO、BO的長分別是關于的方程的根，則m的值為( ) A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3 7．已知，，其中、為實數，求的值． 8．已知和是正整數，并且滿足條件，，求的值． 9．已知，，其中m、n為實數，則＝ ． 10．如果、、為互不相等的實數，且滿足關系式與，那么的取值范圍是 ． 11．已知，則= ，= ．； 12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝b，AB＝c，若D、E分別是AB和AB延長線上的兩點，BD=BC，CE⊥CD，則以AD和AE的長為根的一元二次方程是 ． 13．已知、、均為實數，且，，求的最小值． 14．設實數、、滿足，求的取值范圍． 15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形的高AE=，且． (1)求∠B的度數； (2)設點M為梯形對角線AC上一點，DM的延長線與BC相交于點F，當，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程． 16．如圖，已知△ABC和平行于BC的直線DE，且△BDE的面積等于定值，那么當與△BDE之間滿足什么關系時，存在直線DE，有幾條? 參考答案