2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

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第2章 圓錐曲線與方程 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握橢圓 、雙曲線、拋物線的定義及其應(yīng)用，會(huì)用定義求標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，會(huì)利用幾何性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.4.掌握簡(jiǎn)單的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的解決方法. 1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì) 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡 平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1或＋＝1(a>b>0) －＝1或－＝1(a>0，b>0) y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0) 關(guān)系式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 圖形 封閉圖形 無(wú)限延展，但有漸近線y＝x或y＝x 無(wú)限延展，沒(méi)有漸近線 變量范圍 |x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b |x|≥a或|y|≥a x≥0或x≤0或y≥0或y≤0 對(duì)稱性 對(duì)稱中心為原點(diǎn) 無(wú)對(duì)稱中心 兩條對(duì)稱軸 一條對(duì)稱軸 頂點(diǎn) 四個(gè) 兩個(gè) 一個(gè) 離心率 e＝，且01 e＝1 決定形狀的因素 e決定扁平程度 e決定開(kāi)口大小 2p決定開(kāi)口大小 2.求圓錐曲線方程的一般步驟 一般求已知曲線類型的曲線方程問(wèn)題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟. (1)定形——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置. (2)定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n). (3)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到量的大小. 3.離心率 (1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上都有關(guān)系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個(gè)參數(shù)，可以求其他的參數(shù)，這是基本且常用的方法. (2)方程法：建立參數(shù)a與c之間的齊次關(guān)系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法. (3)幾何法：求與過(guò)焦點(diǎn)的三角形有關(guān)的離心率問(wèn)題，根據(jù)平面幾何性質(zhì)以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質(zhì)，建立參數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)畫(huà)出圖形，觀察線段之間的關(guān)系，使問(wèn)題更形象、直觀. 4.焦點(diǎn)三角形 (1)橢圓的焦點(diǎn)三角形 設(shè)P為橢圓＋＝1(a>b>0)上任意一點(diǎn)(不在x軸上)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且∠F1PF2＝α，則△PF1F2為焦點(diǎn)三角形(如圖). ①焦點(diǎn)三角形的面積為S＝b2tan. ②焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2a＋2c. (2)雙曲線的焦點(diǎn)三角形 焦點(diǎn)三角形的面積為S＝. 5.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，主要是直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多方面的知識(shí)，形成了求定值、最值、對(duì)稱、取值范圍、線段的長(zhǎng)度等多種問(wèn)題.解決此類問(wèn)題應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)的方法；還要多結(jié)合圓錐曲線的定義，利用“設(shè)而不求法”以及“點(diǎn)差法”等. 1.橢圓x2＋4y2＝1的離心率為.(　√　) 2.拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.(　　) 3.若橢圓x2＋my2＝1的離心率為，則它的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2.(　　) 4.雙曲線－＝1(－21)和雙曲線－y2＝1(n>0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則△F1PF2的形狀是____________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用 答案　直角三角形 解析　設(shè)P為雙曲線右支上的一點(diǎn). 對(duì)橢圓＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1， PF1＋PF2＝2； 對(duì)雙曲線－y2＝1，c2＝n＋1， PF1－PF2＝2. ∴PF1＝＋，PF2＝－， F1F＝(2c)2＝2(m＋n). 而PF＋PF＝2(m＋n)＝(2c)2＝F1F， ∴△F1PF2是直角三角形. 類型二　圓錐曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用 例2　(1)已知a＞b＞0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線的斜率為_(kāi)_____________. (2)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線－y2＝1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若△FAB為直角三角形，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線的離心率問(wèn)題 答案　(1)　(2) 解析　(1)∵a＞b＞0，橢圓C1的方程為＋＝1， ∴C1的離心率為. ∵雙曲線C2的方程為－＝1， ∴C2的離心率為. ∵C1與C2的離心率之積為， ∴＝， ∴2＝，＝， ∴C2的漸近線的斜率為. (2)拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1.又△FAB為直角三角形，則只有∠AFB＝90，如圖，則A(－1,2)在雙曲線上，代入雙曲線方程可得a2＝，于是c＝＝. 故e＝＝. 反思與感悟　有關(guān)圓錐曲線的焦點(diǎn)、離心率、漸近線等問(wèn)題是考試中常見(jiàn)的問(wèn)題，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解題意，大都可以順利求解. 跟蹤訓(xùn)練2　已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線的離心率問(wèn)題 答案　 解析　設(shè)P(x，y)，則＝(－c－x，－y)(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，① 將y2＝b2－x2代入①式，解得 x2＝＝， 又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2， ∴e＝∈. 類型三　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例3　已知橢圓＋＝1(a>b>0)上的點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2，離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)M滿足MA＝MB，求直線l的斜率k的值. 考點(diǎn)　直線與橢圓 題點(diǎn)　利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題 解　(1)由題意知，PF1＋PF2＝2a＝2， 所以a＝. 又因?yàn)閑＝＝，所以c＝＝1， 所以b2＝a2－c2＝2－1＝1， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)已知橢圓的右焦點(diǎn)為F2(1,0)，直線斜率顯然存在， 設(shè)直線的方程為y＝k(x－1)， 兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2). 聯(lián)立直線與橢圓的方程，得 化簡(jiǎn)得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0. 所以x1＋x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝. 所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為. ①當(dāng)k≠0時(shí)，AB的中垂線方程為 y－＝－， 因?yàn)镸A＝MB， 所以點(diǎn)M在AB的中垂線上， 將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程，得＋＝， 即2k2－7k＋＝0，解得k＝或k＝； ②當(dāng)k＝0時(shí)，AB的中垂線方程為x＝0，滿足題意. 所以斜率k的取值為0，或. 反思與感悟　解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問(wèn)題與求最值問(wèn)題類似，一般有兩種方法： (1)函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解. (2)不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等關(guān)系式，通過(guò)解不等式求參數(shù)范圍. 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，且與n＝(，－1)共線. (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線y＝kx＋m與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 考點(diǎn)　直線與橢圓 題點(diǎn)　利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題 解　(1)因?yàn)?c＝2，所以c＝1. 又＝(－a，b)，且∥n，所以b＝a， 所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2. 所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直線方程y＝kx＋m代入橢圓方程＋y2＝1， 消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1.(*) 因?yàn)樵c(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部， 所以<0，即x1x2＋y1y2<0. 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. 由＋<0，得m2b>0)，M(x，y)為橢圓上的點(diǎn)，由＝，得a＝2b. PM2＝x2＋2＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)， 若b<，則當(dāng)y＝－b時(shí)PM2最大，即2＝7， ∴b＝－>，故矛盾. 若b≥，當(dāng)y＝－時(shí)，4b2＋3＝7，b2＝1，a2＝4， 所求方程為＋y2＝1. 1.已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，弦AB過(guò)F1，若△ABF2的周長(zhǎng)為8，則橢圓的離心率為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用 答案　 解析　因?yàn)椤鰽BF2的周長(zhǎng)為4a，所以a＝2，得k＝2， 所以e＝＝＝. 2.設(shè)橢圓＋＝1 (m>n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用 答案?。? 解析　∵y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)， ∴＋＝1的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴c＝2. 又e＝＝，∴m＝4. ∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12. ∴橢圓方程為＋＝1. 3.以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為中心，離心率為2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用 答案　x2－＝1 解析　易得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)， 所以雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0). 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)， 則a＝1. 又離心率e＝＝2，所以c＝2， 從而b2＝c2－a2＝3. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1. 4.若拋物線y2＝2x上的兩點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)的距離的和是5，則線段AB的中點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用 答案　2 解析　設(shè)l是拋物線的準(zhǔn)線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A，B，P在l上的投影分別為A1，B1，P1. 則由拋物線的定義可知，AA1＋BB1＝AF＋BF＝5， 所以PP1＝(AA1＋BB1)＝， 所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d＝－＝2. 5.過(guò)橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是____________. 考點(diǎn)　直線與橢圓 題點(diǎn)　利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題 答案　3x＋4y－13＝0 解析　設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)， 由于A，B兩點(diǎn)均在橢圓上，故＋＝1，＋＝1， 兩式相減得 ＋＝0. 又∵P是A，B的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝＝－. ∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3). 即3x＋4y－13＝0.  在解決圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，待定系數(shù)法，“設(shè)而不求”思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想是最常用的幾種思想方法，“設(shè)而不求”思想，在解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題中匠心獨(dú)具，很好的解決了計(jì)算的繁雜、瑣碎問(wèn)題. 一、填空題 1.設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B.若BF2＝F1F2＝2，則該橢圓的方程為_(kāi)___________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用 答案　＋＝1 解析　∵BF2＝F1F2＝2，∴a＝2c＝2， ∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴橢圓的方程為＋＝1. 2.已知雙曲線－y2＝1(a>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程是____________. 考點(diǎn)　雙曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì) 答案　y＝x 解析　∵y2＝8x的焦點(diǎn)是(2,0)， ∴雙曲線－y2＝1的半焦距c＝2，又虛半軸長(zhǎng)b＝1且a>0，∴a＝＝， ∴雙曲線的漸近線方程是y＝x. 3.若曲線＋＝1的一條準(zhǔn)線方程為x＝10，則m的值為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的準(zhǔn)線 題點(diǎn)　準(zhǔn)線方程的運(yùn)用 答案　6或86 解析　∵此曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓， ∴a2＝m＋4，c＝＝. 而一條準(zhǔn)線方程為x＝10， ∴＝10，解得m＝6或86. 4.在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線的離心率問(wèn)題 答案　 解析　不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 則有即 ①②得e＝. 5.設(shè)P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，又點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，－4)，則PQ的最大值為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線中的最值問(wèn)題 答案　8 解析　設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25＋(y＋4)2 ＝－2＋(－4≤y≤4)， 當(dāng)y＝4時(shí)，PQ2最大， 此時(shí)PQ最大，且PQ的最大值為 ＝8. 6.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為_(kāi)_________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線的離心率問(wèn)題 答案　 解析　不妨設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 則可令F(c,0)，B(0，b). 直線FB：bx＋cy－bc＝0與漸近線y＝x垂直， 所以－＝－1，即b2＝ac， 所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0， 所以e＝或e＝(舍去). 7.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其上一點(diǎn)P(1，m)到焦點(diǎn)的距離為5，則m的值為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用 答案　4 解析　由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，所以1＋＝5，p＝8，故拋物線的方程為y2＝16x.將點(diǎn)P(1，m)代入方程，得m＝4. 8.設(shè)P是雙曲線－＝1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若PF1＝3，則PF2＝________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用 答案　7 解析　雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 即＝，又b2＝9，∴a＝2. 由雙曲線定義知，|PF1－PF2|＝2a＝4， ∴PF2＝7. 9.點(diǎn)P在橢圓x2＋＝1上，點(diǎn)Q在直線y＝x＋4上，若PQ的最小值為，則m＝________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線中的最值問(wèn)題 答案　3 解析　根據(jù)題意，與直線y＝x＋4平行且距離為的直線方程為y＝x＋2或y＝x＋6(舍去)， 聯(lián)立消去y，得(m＋1)x2＋4x＋4－m＝0， 令Δ＝16－4(m＋1)(4－m)＝0， 解得m＝0或m＝3，∵m>0，∴m＝3. 10.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e.直線l：y＝ex＋a與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)＝e，則該橢圓的離心率e＝________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線的離心率問(wèn)題 答案　 解析　因?yàn)辄c(diǎn)A，B分別是直線l：y＝ex＋a與x軸，y軸的交點(diǎn)，所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，(0，a). 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x0，y0)，由＝e， 得(*) 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以＋＝1， 將(*)式代入，得＋＝1， 整理得e2＋e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍去). 二、解答題 11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的一邊AB在x軸上，另一邊CD在x軸上方，且AB＝8，BC＝6，其中A(－4,0)，B(4,0). (1)若A，B為橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)C，D兩點(diǎn)，求該橢圓的方程； (2)若A，B為雙曲線的焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)C，D兩點(diǎn)，求雙曲線的方程. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用 解　(1)∵A，B為橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)C，D兩點(diǎn)， 根據(jù)橢圓的定義知，CA＋CB＝16＝2a，∴a＝8. 在橢圓中，b2＝a2－c2＝64－16＝48， ∴橢圓方程為＋＝1. (2)∵A，B是雙曲線的焦點(diǎn)，且雙曲線經(jīng)過(guò)C，D兩點(diǎn)， 根據(jù)雙曲線的定義知，CA－CB＝4＝2a′，∴a′＝2. 在雙曲線中，b′2＝c′2－a′2＝16－4＝12， ∴雙曲線方程為－＝1. 12.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)N(－，1)在橢圓上，線段NF2與y軸的交點(diǎn)M滿足＋＝0. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積. 考點(diǎn)　圓錐曲線的定義 題點(diǎn)　圓錐曲線定義的運(yùn)用，焦點(diǎn)三角形 解　(1)由已知，點(diǎn)N(－，1)在橢圓上， ∴有＋＝1，① 又∵＋＝0，M在y軸上，∴M為NF2的中點(diǎn)， ∴－＋c＝0，c＝. ∴a2－b2＝2，② 由①②解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4， 故所求橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)PF1＝m，PF2＝n， 則S△F1PF2＝mnsin＝mn. 由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.③ 又由余弦定理得PF＋PF－2PF1PF2cos＝F1F， 即m2＋n2－mn＝(2)2.④ 由③2－④，得mn＝，∴S△F1PF2＝. 13.已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，)，離心率e＝. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓E相切于點(diǎn)P，且與直線x＝4相交于點(diǎn)Q，求證：以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)N(1，0). 考點(diǎn)　直線與橢圓 題點(diǎn)　利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題 (1)解　由已知可得∴a2＝4， ∴所求橢圓方程為＋＝1. (2)證明　聯(lián)立方程＋＝1與y＝kx＋m，消元得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. ∵曲線E與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴Δ＝0，化簡(jiǎn)可得m2＝4k2＋3，故m≠0. 設(shè)P(xP，yP)，故xP＝＝－， yP＝kxP＋m＝，故P. 又由得Q(4,4k＋m). ∵N(1,0)，＝，＝(3,4k＋m)， ∴＝3＋－－3＝0，∴⊥， ∴以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)N(1,0). 三、探究與拓展 14.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn).若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　圓錐曲線的離心率問(wèn)題 答案　 解析　設(shè)AB＝3t(t＞0)，則BF2＝4t，AF2＝5t，則AB＋BF2＋AF2＝12t. 因?yàn)锳B＋BF2＋AF2＝4a，所以12t＝4a，即t＝a. 又F1A＋AF2＝2a， 所以F1A＝2a－a＝a，F(xiàn)1B＝a，BF2＝a. 由AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，知AB⊥BF2， 故F1B2＋BF＝4c2， 即2＋2＝4c2，得a2＝c2. 所以e2＝＝，即e＝. 15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn). (1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求a，b的值； (2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，B為橢圓上一點(diǎn)，且＝，求直線AB的斜率. 考點(diǎn)　直線與橢圓 題點(diǎn)　利用直線和橢圓的位置關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題 解　(1)因?yàn)闄E圓的離心率為，所以＝， 即＝.① 又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以＋＝1.② 由①②解得a2＝9，b2＝5. 因?yàn)閍>b>0，所以a＝3，b＝. (2)由①知，＝， 所以橢圓方程為＋＝1，即5x2＋9y2＝5a2. 設(shè)直線OC的方程為x＝my(m>0)，B(x1，y1)，C(x2，y2). 由得5m2y2＋9y2＝5a2， 所以y2＝. 因?yàn)閥2>0，所以y2＝. 因?yàn)椋?，所以AB∥OC. 可設(shè)直線AB的方程為x＝my－a. 由得(5m2＋9)y2－10amy＝0， 所以y＝0或y＝，得y1＝. 因?yàn)椋剑? 所以(x1＋a，y1)＝，于是y2＝2y1， 即＝(m>0)，所以m＝. 所以直線AB的斜率為＝.