(浙江專版)2019年高考數學一輪復習 專題2.8 函數的圖象(講).doc
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第08節(jié) 函數的圖象 【考綱解讀】 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 函數圖象的辨識與變換 會運用函數圖象理解和研究函數的性質. 2014?浙江文8;理7; 2015?浙江文5; 2017?浙江7; 2018?浙江5. 1.函數圖象的辨識 2.函數圖象的變換 3.主要有由函數的性質及解析式選圖;由函數的圖象來研究函數的性質、圖象的變換、數形結合解決問題等.常常與導數結合考查. 4.備考重點 (1)基本初等函數的圖象(2)兩圖象交點、函數性質、方程解的個數、不等式的解集等方面的應用 函數圖象的應用問題 【知識清單】 1. 利用描點法作函數的圖象 步驟:(1)確定函數的定義域;(2)化簡函數解析式;(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等);(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等),描點,連線. 2.利用圖象變換法作函數的圖象 (1)平移變換 (2)對稱變換 y=f(x)的圖象y=-f(x)的圖象; y=f(x)的圖象y=f(-x)的圖象; y=f(x)的圖象y=-f(-x)的圖象; y=ax(a>0,且a≠1)的圖象y=logax(a>0,且a≠1)的圖象. (3)伸縮變換 y=f(x)y=f(ax). y=f(x)y=Af(x). (4)翻轉變換 y=f(x)的圖象y=|f(x)|的圖象; y=f(x)的圖象y=f(|x|)的圖象. 【重點難點突破】 考點1 作圖 【1-1】【北京海淀十一學校2017-2018學年高一上期中】對、,記,函數. (1)求,. (2)寫出函數的解析式,并作出圖像. (3)若關于的方程有且僅有個不等的解,求實數的取值范圍.(只需寫出結論) 【答案】見解析. 【解析】解:(1)∵,函數, ∴,. (2) (3)或. 【1-2】分別畫出下列函數的圖象: 【答案】見解析 【解析】 (1)首先作出y=lg x的圖象C1,然后將C1向右平移1個單位,得到y(tǒng)=lg(x-1)的圖象C2,再把C2在x軸下方的圖象作關于x軸對稱的圖象,即為所求圖象C3:y=|lg(x-1)|.如圖1所示(實線部分). (2)y=2x+1-1的圖象可由y=2x的圖象向左平移1個單位,得y=2x+1的圖象,再向下平移一個單位得到,如圖2所示. (3) 第一步作y=lgx的圖像. 第二步將y=lgx的圖像沿y軸對折后與原圖像,同為y=lg|x|的圖像. 第三步將y=lg|x|的圖像向右平移一個單位,得y=lg|x-1|的圖像 第四步將y=lg|x-1|的圖像在x軸下方部分沿x軸向上翻折,得的圖像,如圖3. 【領悟技法】 畫函數圖像的一般方法有: (1)直接法:當函數表達式(或變形后的表達式)是基本函數或函數圖像是解析幾何中熟悉的曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的一部分)時,就可根據這些函數或曲線的特征直接作出. (2)圖像變換法:若函數圖像可由某個基本函數的圖像經過平移、翻折、對稱得到,可利用圖像變換作出,但要注意變換順序,對不能直接找到基本函數的要先變形,并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響. 對于左、右平移變換,往往容易出錯,在實際判斷中可熟記口訣:左加右減;但要注意加、減指的是自變量,否則不成立. (3)描點法:當上面兩種方法都失效時,則可采用描點法,為了通過描少量點,就能得到比較準確的圖像,常常需要結合函數的單調性、奇偶性等性質討論. 【觸類旁通】 【變式一】分別畫出下列函數的圖象: (1)y=|x2-4x+3|;(2)y=;(3)y=10|lg x|. 【答案】見解析 【解析】(1)先畫函數y=x2-4x+3的圖象,再將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方,如圖1. 【變式二】【2018年全國卷Ⅲ理】設函數. (1)畫出的圖像; (2)當,,求的最小值. 【答案】(1)見解析;(2) 【解析】分析:(1)將函數寫成分段函數,再畫出在各自定義域的圖像即可。 (2)結合(1)問可得a,b范圍,進而得到a+b的最小值 詳解:(1) 的圖像如圖所示. (2)由(1)知,的圖像與軸交點的縱坐標為,且各部分所在直線斜率的最大值為,故當且僅當且時,在成立,因此的最小值為. 考點2 識圖 【2-1】【2018年浙江卷】函數y=sin2x的圖象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 點睛:有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數的單調性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復. 【2-2】【2018年理數全國卷II】函數的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析:通過研究函數奇偶性以及單調性,確定函數圖像. 詳解:為奇函數,舍去A,舍去D; ,所以舍去C;因此選B. 【2-3】【2018年全國卷Ⅲ文】函數的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】D 【領悟技法】 有關圖象辨識問題的常見類型及解題思路 (1)由實際情景探究函數圖像:關鍵是將生活問題轉化為我們熟悉的數學問題求解,但要注意實際問題中的定義域。 (2)由解析式確定函數的圖象。此類問題往往從以下幾方面判斷: ①從函數的定義域,判斷圖象左右的位置,從函數的值域,判斷圖象的上下位置; ②從函數的單調性,判斷圖象的變化趨勢; ③從函數的奇偶性,判斷圖象的對稱性; ④從函數的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復。 利用上述方法,排除、篩選錯誤或正確的選項。 【觸類旁通】 【變式一】【2017浙江,7】函數y=f(x)的導函數的圖像如圖所示,則函數y=f(x)的圖像可能是 【答案】D 【解析】原函數先減再增,再減再增,且由增變減時,極值點大于0,因此選D. 【變式二】【2018屆浙江省教育綠色評價聯盟5月模擬】函數的圖象可能為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:根據函數是奇函數可排除,再取,得到,排除. 詳解:因為, 函數為奇函數, 函數的圖象關于原點對稱, 可排除選項, 當時,,可排除選項,故選D. 【變式三】【2017課標3】函數的部分圖像大致為( ) A B D. C D 【答案】D 【解析】當時,,故排除A,C,當時,,故排除B,滿足條件的只有D,故選D. 考點3 用圖 【3-1】【2018年新課標I卷文】設函數,則滿足的x的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 【3-2】【山東省2018年普通高校招生(春季)】奇函數的局部圖像如圖所示,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:根據奇函數性質將,轉化到,,再根據圖像比較大小得結果. 詳解:因為奇函數,所以, 因為>0>,所以,即, 選A. 【3-3】已知函數,若對任意的x∈R,都有f(x)≤|k-1|成立,則實數k的取值范圍為________. 【答案】 【解析】對任意,都有成立,即. 因為的草圖如圖所示, 觀察 的圖象可知,當時,函數, 所以,解得或. 【領悟技法】 要用函數的思想指導解題,即方程的問題函數解(方程的根即相應函數圖象與x軸交點的橫坐標,或是方程變形后,等式兩端相對應的兩函數圖象交點的橫坐標),不等式的問題函數解(不等式的解集即一個函數圖象在另一個函數圖象的上方或下方時的相應x的范圍). 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆廣西欽州市第三次檢測】設函數與函數的的圖象在區(qū)間上交點的橫坐標依次分別為,,…,,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:找個兩個函數圖象的對稱中心以及在區(qū)間的交點個數,通過對稱的性質可得答案. 詳解:將函數與y=的圖象有公共的對稱中心(,0), 從圖象知它們在區(qū)間上有八個交點,分別為四對對稱點,每一對的橫坐標之和為1,故所有的橫坐標之和為4. 故選:A. 【變式二】【2018屆安徽省示范高中(皖江八校)5月聯考】已知函數的圖象如圖所示,則的大小關系為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:根據圖像分析得,可得結論. 詳解:由圖像可知,, 得,故選A. 【易錯試題常警惕】 對函數圖象識別不全而致誤 【易錯典例】函數y=-2sinx的圖象大致是( ) 易錯分析:只關注了函數的奇偶性,對函數的單調性不明確導致錯誤. 錯解:函數y=-2sinx為奇函數,且x趨于無窮大時,函數值y也趨于無窮大,故選B. 正確解析:函數y=-2sinx為奇函數,排除A;且y′=-2cosx,令y′=0得cosx=,由于函數y=cosx為周期函數,故有多個極值點,且呈周期性,排除B;而當x>2π時,y=-2sinx>0,當x<-2π時,y=-2sinx<0,排除D,故選C. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數形結合百般好,隔裂分家萬事休——數形結合思想 我國著名數學家華羅庚曾說過:"數形結合百般好,隔裂分家萬事休。""數"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為,數形結合,主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來,通過"以形助數"或"以數解形"即通過抽象思維與形象思維的結合,可以使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示,三角形、平行四邊形法則,使向量具備形的特征,而向量的坐標表示和坐標運算又具備數的特征,因此,向量融數與形于一身,具備了幾何形式與代數形式的“雙重身份”.因此,在應用向量解決問題或解答向量問題時,要注意恰當地運用數形結合思想,將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化,達到事半功倍的效果. 利用函數處理方程解的問題,方法如下: (1)方程f(x)=a在區(qū)間I上有解?a∈{y|y=f(x),x∈I}?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上有交點. (2)方程f(x)=a在區(qū)間I上有幾個解?y=f(x)與y=a的圖象在區(qū)間I上有幾個交點. 一般地,在探究方程解的個數或已知解的個數求參數的范圍時,常采用轉化與化歸的思想將問題轉化為兩函數圖象的交點個數問題,從而可利用數形結合的方法給予直觀解答. 【典例】【2018屆廣西陸川縣中學高三3月月考】若函數滿足:對于圖象上任意一點P,在其圖象上總存在點,使得成立,稱函數是“特殊對點函數”.給出下列五個函數: ①;② (其中e為自然對數的底數);③;④; ⑤. 其中是“特殊對點函數”的序號是__________.(寫出所有正確的序號) 【答案】②④⑤ ③對于 ;所以不是“特殊對點函數”; ④由圖知,對于任意一點P,在其圖象上總存在點,使得,所以是“特殊對點函數”; ⑤由圖知,對于任意一點P,在其圖象上總存在點,使得,所以是“特殊對點函數”; 綜上“特殊對點函數”的序號是②④⑤- 配套講稿:
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