2019年高考數學 考點分析與突破性講練 專題06 指數函數與對數函數 理.doc

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專題06 指數函數與對數函數 一、 考綱要求： 1.理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算. 2.了解指數函數模型的實際背景，理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2,3,10，，的指數函數的圖象. 3.體會指數函數是一類重要的函數模型． 4.理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用. 5.理解對數函數的概念及其單調性，掌握對數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為2,10，的對數函數的圖象 6.體會對數函數是一類重要的函數模型. 7.了解指數函數y＝a(a＞0，且a≠1)與對數函數y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數． 二、概念掌握和解題上注意點： 1.　指數函數圖象的畫法（判斷）及應用方法 (1）、畫（判斷）指數函數y＝axa>0,a≠1的圖象，應抓住三個關鍵點：（(1，a)），(（0，1），. (2）、與指數函數有關的函數的圖象的研究，往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象. 2.)一些指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象數形結合求解. 3.與指數函數性質有關的問題類型與解題策略 (1）、比較指數式的大小：①能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大?。虎诓荒芑赏讛档?，一般引入“1”等中間量比較大小. (2）、解簡單的指數方程或不等式：可先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用單調性轉化為一般不等式求解. (3）、探究指數型函數的性質：與研究一般函數的定義域、單調性區(qū)間)、奇偶性、最值(值域等性質的方法一致. 4.利用對數函數的圖象可求解的兩類問題 (1）、對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性區(qū)間、值域(最值、零點時，常利用數形結合思想求解. (2）、一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解. 5.利用對數函數的性質研究對數型函數性質，要注意以下四點：一是定義域；二是底數與1的大小關系；三是如果需將函數解析式變形，一定確保其等價性；四是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，注意對數性質的正用、逆用、變形用. 三、高考考題題例分析 例1.（2016全國課標I） 若,則 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 考點：指數函數與對數函數的性質 比較冪或對數值的大小,若冪的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較,若底數不同,可考慮利用中間量進行比較. 例2. (2017天津，理6)已知奇函數在R上是增函數，.若，，，則a，b，c的大小關系為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】因為是奇函數且在上是增函數，所以在時，， 從而是上的偶函數，且在上是增函數， ， ，又，則，所以即， ， 所以，故選C． 【考點】 指數、對數、函數的單調性 例3.（2015湖南理2）設函數，則是（ ） A.奇函數，且在上是增函數 B. 奇函數，且在上是減函數 C. 偶函數，且在上是增函數 D. 偶函數，且在上是減函數 【答案】A. 【考點定位】函數的性質. 本題主要考查了以對數函數為背景的單調性與奇偶性，屬于中檔題，首先根據函數奇偶性的 判定可知其為奇函數，判定時需首先考慮定義域關于原點對稱是函數為奇函數的必要條件，再結合復合函數單調性的判斷，即可求解. 例4(2016浙江高考)已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，則a＝________，b＝________. 4　2　解析：∵logab＋logba＝logab＋＝， ∴l(xiāng)ogab＝2或.∵a＞b＞1，∴l(xiāng)ogab＜logaa＝1， ∴l(xiāng)ogab＝，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝b， ∴b2b＝b， ∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4. 指數函數與對數函數練習題 （時間：100分鐘，滿分：120分） 一、選擇題（每題5分，共60分） 1．函數f(x)＝2|x－1|的大致圖象是(　　) B　解析：f(x)＝ 所以f(x)的圖象在[1，＋∞)上為增函數，在(－∞，1)上為減函數． 2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則(　　) A．a＞b＞c　　　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a A　解析：由0.2＜0.6,0.4＜1，并結合指數函數的圖象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因為a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b. 綜上，a＞b＞c. 3．函數f(x)＝的定義域是(　　) A．(－3,0)　　　　　　 B．(－3,0] C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3,0) A　解析：因為f(x)＝，所以要使函數f(x)有意義，需使即－3＜x＜0. 4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b為常數)的圖象經過點(2,1)，則f(x)的值域為(　　) A．[9,81] B．[3,9] C．[1,9] D．[1，＋∞) 5．若函數f(x)＝是奇函數，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) C　解析：∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0， ∴a＝1，∴f(x)＞3，即為＞3， 當x＞0時，2x－1＞0，∴2x＋1＞32x－3， 解得0＜x＜1； 當x＜0時，2x－1＜0， ∴2x＋1＜32x－3，無解． ∴x的取值范圍為(0,1)． 6．若函數y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確的是(　　) 7．已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f(x)＝3x＋m(m為常數)，則f(－log35)的值為(　　) A．4 B．－4 C．6 D．－6 B　解析：∵函數f(x)是定義在R上的奇函數，∴f(0)＝0，即30＋m＝0，解得m＝－1，∴f(log35)＝3log35－1＝4，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－4. 8．已知y＝loga(2－ax)在區(qū)間[0,1]上是減函數，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(0,2) C．(1,2) D．[2，＋∞) C　解析:因為y＝loga(2－ax)在[0,1]上單調遞減，u＝2－ax(a＞0)在[0,1]上是減函數，所以y＝logau是增函數，所以a＞1.又2－a＞0，所以1＜a＜2. 9．已知函數f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的圖象如圖所示，則函數g(x)＝ax＋b的圖象是(　　) C　解析：由函數f(x)的圖象可知，－1＜b＜0，a＞1，則g(x)＝ax＋b為增函數，當x＝0時，g(0)＝1＋b＞0，故選C. 10．若函數f(x)＝是R上的減函數，則實數a的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 11．(2017北京高考)根據有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與最接近的是(　　) (參考數據：lg 3≈0.48) A．1033　　　　 B．1053 C．1073 D．1093 D　解析：由題意，lg ＝lg ＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈3610.48－801＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故與最接近的是1093. 故選D. 12．設函數f(x)定義在實數集上，f(2－x)＝f(x)，且當x≥1時，f(x)＝ln x，則有(　　) A．f＜f(2)＜f B．f＜f(2)＜f C．f＜f＜f(2) D．f(2)＜f＜f C解析：由f(2－x)＝f(x)，得f(1－x)＝f(x＋1)，即函數f(x)圖象的對稱軸為直線x＝1，結合圖象，可知f＜f＜f(0)＝f(2)，故選C. 二、填空題（每題5分，共20分） 13．若函數y＝(a2－1)x在R上為增函數，則實數a的取值范圍是________． a＞或a＜－ 　解析：[由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上為增函數，得a2－1＞1，解得a＞或a＜－. 14．已知函數y＝4ax－9－1(a＞0且a≠1)恒過定點A(m，n)，則logmn＝________. 　解析：由于函數y＝ax(a＞0且a≠1)恒過定點(0,1)，故函數y＝4ax－9－1(a＞0且a≠1)恒過定點(9,3)，所以m＝9，n＝3，所以logmn＝log93＝. 15.當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)4x－2x＜0恒成立，則實數m的取值范圍是________． 16.若loga＜1(a＞0，且a≠1)，則實數a的取值范圍是—— ∪(1，＋∞) 解析：當0＜a＜1時，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜； 當a＞1時，loga＜logaa＝1，∴a＞1. 即實數a的取值范圍是∪(1，＋∞)． 三、解答題（每題10分，共40分） 17．已知函數f(x)＝，a為常數，且函數的圖象過點(－1,2)． (1)求a的值； (2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求滿足條件的x的值． 18．設f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定義域； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值． [解]　(1)∵f(1)＝2， ∴l(xiāng)oga4＝2(a＞0，a≠1)， ∴a＝2. 由得x∈(－1,3)， ∴函數f(x)的定義域為(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴當x∈(－1,1]時，f(x)是增函數； 當x∈(1,3)時，f(x)是減函數， 故函數f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 19．已知函數f(x)＝bax(其中a，b為常數，a＞0，且a≠1)的圖象經過點A(1,6)，B(3,24)． (1)求f(x)的表達式； (2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]時恒成立，求實數m的取值范圍. 14．已知函數f(x)＝log2(a為常數)是奇函數． (1)求a的值與函數f(x)的定義域； (2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立．求實數m的取值范圍． [解]　(1)因為函數f(x)＝log2是奇函數， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以log2＝－log2， 即log2＝log2， 所以a＝1，令＞0， 解得x＜－1或x＞1， 所以函數的定義域為{x|x＜－1或x＞1}． (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 當x＞1時，x＋1＞2， 所以log2(1＋x)＞log22＝1. 因為x∈(1，＋∞)，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立， 所以m≤1， 所以m的取值范圍是(－∞，1]．