2020版高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質（第1課時）拋物線的幾何性質學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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第1課時　拋物線的幾何性質 學習目標　1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質.2.會利用拋物線的性質解決一些簡單的拋物線問題． 知識點一　拋物線的幾何性質 標準方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 圖形 性質 范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R x∈R， y≥0 x∈R， y≤0 對稱軸 x軸 y軸 頂點 (0,0) 離心率 e＝1 知識點二　焦點弦 設過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p>0) |AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2) 1．橢圓、雙曲線和拋物線都是中心對稱圖形．(　　) 2．拋物線和雙曲線一樣，開口大小都與離心率有關．(　　) 3．拋物線只有一條對稱軸和一個頂點．(　√　) 4．拋物線的開口大小與焦點到準線的距離有關．(　√　) 題型一　由拋物線的幾何性質求標準方程 例1　已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標準方程． 解　由題意，設拋物線方程為y2＝2mx(m≠0)， 焦點F.直線l：x＝， 所以A，B兩點坐標為，， 所以|AB|＝2|m|. 因為△OAB的面積為4， 所以2|m|＝4， 所以m＝2. 所以拋物線的標準方程為y2＝4x. 引申探究　 等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　) A．8p2B．4p2C．2p2D．p2 答案　B 解析　因為拋物線的對稱軸為x軸，內接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45. 由方程組 得或 所以點A的坐標為(2p,2p)，同理可得B(2p，－2p)， 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝4p2p＝4p2. 反思感悟　把握三個要點確定拋物線的幾何性質 (1)開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準二次項是x還是y，一次項的系數是正還是負． (2)關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸． (3)定值：焦點到準線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1. 跟蹤訓練1　已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸重合于橢圓＋＝1短軸所在的直線，拋物線的焦點到頂點的距離為5，求拋物線的方程． 解　∵橢圓＋＝1的短軸所在直線為x軸， ∴拋物線的對稱軸為x軸． 設拋物線的方程為y2＝ax(a≠0)， 設＝5，∴a＝20. ∴拋物線的方程為y2＝20x或y2＝－20x. 題型二　拋物線的焦點弦問題 例2　已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點． (1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離． 解　(1)因為直線l的傾斜角為60， 所以其斜率k＝tan 60＝. 又F，所以直線l的方程為y＝. 聯立消去y，得x2－5x＋＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝5. 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋ ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3， 所以x1＋x2＝6，所以線段AB的中點M的橫坐標是3. 又準線方程是x＝－， 所以M到準線的距離等于3＋＝. 引申探究 本例中，若A，B在其準線上的射影分別為A1，B1，求∠A1FB1. 解　由拋物線定義|AA1|＝|AF|，得∠AA1F＝∠AFA1， 又AA1∥x軸， ∴∠OFA1＝∠AA1F， ∴∠OFA1＝∠AFA1， 同理得∠OFB1＝∠BFB1， ∴∠A1FO＋∠B1FO＝90，即∠A1FB1＝90. 反思感悟　(1)拋物線的焦半徑 定義 拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點與拋物線焦點為端點的線段 焦半徑公式 P(x0，y0)為拋物線上一點，F為焦點． ①若拋物線y2＝2px(p>0)，則|PF|＝x0＋； ②若拋物線y2＝－2px(p>0)，則|PF|＝－x0； ③若拋物線x2＝2py(p>0)，則|PF|＝y(tǒng)0＋； ④若拋物線x2＝－2py(p>0)，則|PF|＝－y0 (2)過焦點的弦長的求解方法 設過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯立，消元，由根與系數的關系求出x1＋x2即可． 跟蹤訓練2　直線l過拋物線y2＝4x的焦點，與拋物線交于A，B兩點，若|AB|＝8，則直線l的方程為________________． 答案　x＋y－1＝0或x－y－1＝0 解析　因為拋物線y2＝4x的焦點坐標為(1,0)， 若l與x軸垂直，則|AB|＝4，不符合題意． 所以可設所求直線l的方程為y＝k(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 則由根與系數的關系，得x1＋x2＝. 又AB過焦點，由拋物線的定義可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，即＝6，解得k＝1. 所以所求直線l的方程為x＋y－1＝0或x－y－1＝0. 1．以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與x軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 答案　C 解析　設拋物線y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4. 2．若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由題意知，點P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離，因此點P在線段OF的垂直平分線上，而F，所以P點的橫坐標為，代入拋物線方程得y＝，故點P的坐標為，故選B. 3．已知過拋物線y2＝8x的焦點作直線l，交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則|AB|的值為________． 答案　10 解析　由y2＝8x，得p＝4，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由焦點弦公式得|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋4 ＝23＋4＝10. 4．對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件： ①焦點在y軸上； ②焦點在x軸上； ③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6； ④拋物線的通徑的長為5； ⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為(2,1)． 符合拋物線方程為y2＝10x的條件是________．(要求填寫合適條件的序號) 答案　②⑤ 解析　由拋物線方程y2＝10x，知它的焦點在x軸上， 所以②符合． 又因為它的焦點坐標為F，原點O(0,0)， 設點P(2,1)，可得kPOkPF＝－1，所以⑤也符合． 而①顯然不符合，通過計算可知③，④不合題意． 所以應填②⑤. 5．求適合下列條件的拋物線的標準方程： (1)頂點在原點，對稱軸為坐標軸，頂點到準線的距離為4； (2)頂點是雙曲線16x2－9y2＝144的中心，準線過雙曲線的左頂點，且垂直于坐標軸． 解　(1)由拋物線標準方程對應的圖形易知：頂點到準線的距離為，故＝4，p＝8. 因此，所求拋物線的標準方程為y2＝16x或x2＝16y. (2)雙曲線方程16x2－9y2＝144化為標準形式為－＝1，中心為原點，左頂點為(－3,0)，故拋物線頂點在原點，準線為x＝－3.由題意可設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求拋物線的標準方程為y2＝12x. 1．討論拋物線的幾何性質，一定要利用拋物線的標準方程；利用幾何性質，也可以根據待定系數法求拋物線的方程． 2．解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數的關系進行求解． 3．設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論． 一、選擇題 1．拋物線y＝ax2(a<0)的焦點坐標和準線方程分別為(　　) A.，x＝－ B.，x＝ C.，y＝－ D.，y＝ 答案　C 解析　y＝ax2可化為x2＝y(tǒng)， ∴其焦點坐標為，準線方程為y＝－. 2．已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|＝12，點P為C的準線上一點，則△ABP的面積為(　　) A．18B．24C．36D．48 答案　C 解析　由題意知|AB|＝2p，則S△ABP＝2pp＝p2， 又∵2p＝12，∴p＝6，S△ABP＝62＝36. 3．拋物線C1：y2＝2x的焦點為F1，拋物線C2：x2＝y(tǒng)的焦點為F2，則過F1且與直線F1F2垂直的直線l的方程為(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．4x－y－2＝0 D．4x－3y－2＝0 答案　C 解析　由題意知，F1，F2. 所以直線F1F2的斜率為－， 則直線l的斜率為4. 故直線l的方程為y＝4， 即4x－y－2＝0. 4．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標為3，|PQ|＝10，則拋物線方程是(　　) A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝8x D．y2＝6x 答案　C 解析　設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＝3，即x1＋x2＝6. 又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10， 即p＝4，∴拋物線方程為y2＝8x. 5．已知拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，點A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|等于(　　) A．4B．8C．8D．16 答案　B 解析　拋物線y2＝8x的準線為x＝－2，焦點F(2,0)， 設A(－2，y0)，kAF＝＝－，則y0＝4， ∴P(x0,4)，將P點坐標代入拋物線方程y2＝8x， (4)2＝8x0，得x0＝6. 由拋物線定義可知|PF|＝|PA|＝x0＋＝6＋＝8. 6．設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，則|AB|等于(　　) A. B．6 C．12 D．7 答案　C 解析　設A，B的坐標分別為(x1，y1，)(x2，y2)．∵F為拋物線C：y2＝3x的焦點，∴F， ∴AB的方程為y－0＝tan30， 即y＝x－. 聯立 消去y，得x2－x＋＝0. ∴x1＋x2＝－＝， 由于|AB|＝x1＋x2＋p， ∴|AB|＝＋＝12. 7．直線y＝x＋b交拋物線y＝x2于A，B兩點，O為拋物線頂點，OA⊥OB，則b的值為(　　) A．－1B．0C．1D．2 考點　 題點　 答案　D 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將y＝x＋b代入y＝x2， 化簡可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b， 所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2. 又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0， 即－2b＋b2＝0，則b＝2或b＝0， 經檢驗當b＝0時，不符合題意，故b＝2. 二、填空題 8．設拋物線y2＝16x上一點P到對稱軸的距離為12，則點P與焦點F的距離|PF|＝________. 答案　13 解析　設P(x,12)，代入y2＝16x，得x＝9， ∴|PF|＝x＋＝9＋4＝13. 9．拋物線y＝x2的焦點與雙曲線－＝1的上焦點重合，則m＝________. 答案　13 解析　拋物線y＝x2可化為x2＝16y， 則其焦點為(0,4)，∴3＋m＝16，則m＝13. 10．拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，|AF|＝3，則|BF|＝________. 答案　 解析　由題意知F(1,0)，且AB與x軸不垂直， 則由|AF|＝3，知xA＝2. 設lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x， 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以xAxB＝1，故xB＝， 故|BF|＝xB＋1＝. 11．一個正三角形的頂點都在拋物線y2＝4x上，其中一個頂點在原點，則這個三角形的面積是________． 答案　48 解析　設一個頂點為(x,2)，則tan30＝＝， ∴x＝12. ∴S＝128＝48. 三、解答題 12．若拋物線的頂點在原點，開口向上，F為焦點，M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝，|AF|＝3，求此拋物線的標準方程． 解　設所求拋物線的標準方程為x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由題知M. ∵|AF|＝3，∴y0＋＝3. ∵|AM|＝，∴x＋2＝17， ∴x＝8，代入方程x＝2py0得 8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求拋物線的標準方程為x2＝4y或x2＝8y. 13．已知拋物線y2＝2x. (1)設點A的坐標為，求拋物線上距離點A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|； (2)在拋物線上求一點P，使P到直線x－y＋3＝0的距離最短，并求出距離的最小值． 解　(1)設拋物線上任一點P的坐標為(x，y)(x≥0)， 則|PA|2＝2＋y2＝2＋2x ＝2＋. ∵x≥0，且在此區(qū)間上函數單調遞增， 故當x＝0時，|PA|min＝， 故距點A最近的點P的坐標為(0,0)． (2)設點P(x0，y0)是y2＝2x上任一點， 則P到直線x－y＋3＝0的距離為 d＝＝ ＝， 當y0＝1時，dmin＝＝， ∴點P的坐標為. 14．設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，點F為拋物線C的焦點，以F為圓心，|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　C 解析　M到準線的距離大于p，即y0＋2＞4，∴y0＞2. 15．設F(1,0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且＝2，＝0. (1)當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程； (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲線C上除去原點外的不同三點，且||，||，||成等差數列，當線段AD的垂直平分線與x軸交于點E(3,0)時，求點B的坐標． 解　(1)設N(x，y)，由＝2，得點P為線段MN的中點， ∴P，M(－x,0)， ∴＝，＝. 由＝－x＋＝0，得y2＝4x. 即點N的軌跡方程為y2＝4x. (2)由拋物線的定義，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1， ∵||，||，||成等差數列， ∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝. ∵線段AD的中點為，且線段AD的垂直平分線與x軸交于點E(3,0)， ∴線段AD的垂直平分線的斜率為k＝. 又kAD＝，∴＝－1， 即＝－1. ∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1. ∵點B在拋物線上，∴B(1,2)或B(1，－2)．