（浙江專用）2019年中考數(shù)學總復習 第四章 圖形的認識 4.6 解直角三角形（試卷部分）課件.ppt

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第四章圖形的認識 4 6解直角三角形 中考數(shù)學 浙江專用 1 2018金華 8 3分 如圖 兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上 量得 ABC ADC 則竹竿AB與AD的長度之比為 A B C D 考點一銳角三角函數(shù) A組2014 2018年浙江中考題組 五年中考 答案BAB AD 2 2017湖州 3 4分 如圖 已知在Rt ABC中 C 90 AB 5 BC 3 則cosB的值是 A B C D 答案A在Rt ABC中 AB 5 BC 3 cosB 3 2017溫州 7 4分 如圖 一輛小車沿傾斜角為 的斜坡向上行駛13米 已知cos 則小車上升的高度是 A 5米B 6米C 6 5米D 12米 答案A因為cos 且小車沿斜坡向上行駛13米 所以小車水平向前移動了13 12米 由勾股定理得小車上升的高度是5米 故選A 4 2016紹興 8 4分 如圖 在Rt ABC中 B 90 A 30 以點A為圓心 BC長為半徑畫弧交AB于點D 分別以點A D為圓心 AB長為半徑畫弧 兩弧交于點E 連接AE 則 EAD的余弦值是 A B C D 答案B如圖 過點E作EM AD 垂足為M 由題意知ME垂直平分AD AM AD BC 在Rt ABC中 易知AB BC AE AB BC cos EAD 故選B 5 2015麗水 8 3分 如圖 點A為 邊上一點 作AC BC于點C CD AB于點D 下列用線段比表示cos 的值 錯誤的是 A B C D 答案C根據(jù)余弦函數(shù)定義對各選項逐一作出判斷 在Rt BCD中 cos A正確 在Rt ABC中 cos B正確 易知 ACD 在Rt ACD中 cos ACD cos D正確 故選C 關(guān)鍵提示 ACD 1 2017紹興 6 4分 如圖 小巷左右兩側(cè)是豎直的墻 一架梯子斜靠在左墻時 梯子底端到左墻角的距離為0 7米 頂端距離地面2 4米 如果保持梯子底端位置不動 將梯子斜靠在右墻時 頂端距離地面2米 則小巷的寬度為 A 0 7米B 1 5米C 2 2米D 2 4米 考點二解直角三角形 答案C設(shè)梯子斜靠在右墻時 底端到右墻角的距離為x米 由勾股定理可得0 72 2 42 x2 22 可解得x 1 5 負值舍去 則小巷的寬度為0 7 1 5 2 2 米 故選C 思路分析當梯子斜靠在右墻時 梯子的長度并不改變 而且墻與地面是垂直的 則可先運用勾股定理構(gòu)造方程解出梯子底端到右墻角的距離 再求小巷的寬度 答案A由點E與點B關(guān)于AC對稱可設(shè)AB AE x 因為AB AD 所以BE x 由點E與點F關(guān)于BD對稱 可得 EBD FBD 又 EDB FBD 所以 EBD EDB 所以DE BE x 所以AD x x tan ADB 1 所以1 tan ADB 故選A 2 2014杭州 10 3分 已知AD BC AB AD 點E 點F分別在射線AD 射線BC上 若點E與點B關(guān)于AC對稱 點E與點F關(guān)于BD對稱 AC與BD相交于點G 則 A 1 tan ADB B 2BC 5CFC AEB 22 DEFD 4cos AGB 解析 AB CD DCA CAH 45 DCB CBH 30 AH 1200 米 BH 1200 米 AB BH AH 1200 1200 米 3 2018寧波 16 4分 如圖 某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB 飛機上的測量人員在C處測得A B兩點的俯角分別為45 和30 若飛機離地面的高度CH為1200米 且點H A B在同一水平直線上 則這條江的寬度AB為米 結(jié)果保留根號 答案1200 1200 解析如圖 易知四邊形ADCH為矩形 CH AD 1m AH CD 10m 在Rt ABH中 BAH 60 tan60 BH 10m BC BH CH 10 1 m 4 2016寧波 16 4分 如圖 在一次數(shù)學課外實踐活動中 小聰在距離旗桿10m的A處測得旗桿頂端B的仰角為60 測角儀高AD為1m 則旗桿高BC為m 結(jié)果保留根號 答案10 1 5 2015寧波 16 4分 如圖 在數(shù)學活動課中 小敏為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度 站在教學樓的C處測得旗桿底端B的俯角為45 測得旗桿頂端A的仰角為30 若旗桿與教學樓的距離為9m 則旗桿AB的高度是m 結(jié)果保留根號 答案9 3 解析在Rt ACD中 tan ACD AD DC tan ACD 9 tan30 9 3 m 在Rt BCD中 tan BCD BD DC tan BCD 9 tan45 9 1 9 m AB AD BD 3 9 m 6 2018嘉興 22 10分 如圖1 滑動調(diào)節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB P為立柱上的滑動調(diào)節(jié)點 傘體的截面示意圖為 PDE F為PD中點 AC 2 8m PD 2m CF 1m DPE 20 當點P位于初始位置P0時 點D與C重合 如圖2 根據(jù)生活經(jīng)驗 當太陽光線與PE垂直時 遮陽效果最佳 1 上午10 00時 太陽光線與地面的夾角為65 如圖3 為使遮陽效果最佳 點P需從P0上調(diào)多少距離 結(jié)果精確到0 1m 2 中午12 00時 太陽光線與地面垂直 如圖4 為使遮陽效果最佳 點P在 1 的基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離 結(jié)果精確到0 1m 參考數(shù)據(jù) sin70 0 94 cos70 0 34 tan70 2 75 1 41 1 73 解析 1 如題圖2 當點P位于初始位置P0時 CP0 2m 如圖 10 00時 太陽光線與地面的夾角為65 點P上調(diào)至P1處 1 90 CAB 90 AP1E 115 CP1E 65 DP1E 20 CP1F 45 CF P1F 1m C CP1F 45 CP1F為等腰直角三角形 CP1 m P0P1 CP0 CP1 2 0 6m 圖 即點P需從P0上調(diào)0 6m 2 如圖 中午12 00時 太陽光線與PE 地面都垂直 點P上調(diào)至P2處 P2E AB CAB 90 CP2E 90 DP2E 20 CP2F CP2E DP2E 70 CF P2F 1m CP2F為等腰三角形 C CP2F 70 過點F作FG CP2于點G GP2 P2F cos70 1 0 34 0 34m 圖 CP2 2GP2 0 68m P1P2 CP1 CP2 0 68 0 7m 即點P在 1 的基礎(chǔ)上還需上調(diào)0 7m 7 2018衢州 20 8分 五 一 期間 小明到小陳家所在的美麗鄉(xiāng)村游玩 在村頭A處小明接到小陳發(fā)來的定位 發(fā)現(xiàn)小陳家C在自己的北偏東45 方向 于是沿河邊筆直的綠道l步行200米到達B處 這時定位顯示小陳家C在自己的北偏東30 方向 如圖所示 根據(jù)以上信息和下面的對話 請你幫小明算一算他還需沿綠道繼續(xù)直走多少米才到達橋頭D處 精確到1米 備用數(shù)據(jù) 1 414 1 732 解析設(shè)BD x米 則AD 200 x 米 在Rt ACD中 CAD 45 CD AD 200 x 米 在Rt BCD中 CBD 60 CD BD x米 200 x x x 100 1 100 100 273 答 小明還需繼續(xù)直走約273米才能到達橋頭D處 8 2016嘉興 19 8分 太陽能光伏建筑是太陽能光伏系統(tǒng)與現(xiàn)代綠化環(huán)保住宅的完美結(jié)合 老劉準備把自家屋頂改建成光伏瓦面 改建前屋頂截面圖 ABC 如圖所示 BC 10米 ABC ACB 36 改建后頂點D在BA的延長線上 且 BDC 90 求改建后南屋面邊沿增加部分AD的長 結(jié)果精確到0 1米 參考數(shù)據(jù) sin18 0 31 cos18 0 95 tan18 0 32 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 解析 BDC 90 BC 10米 sin B CD BC sin B 10 0 59 5 9 米 在Rt BCD中 BCD 90 B 90 36 54 ACD BCD ACB 54 36 18 在Rt ACD中 tan ACD AD CD tan ACD 5 9 0 32 1 888 1 9 米 答 改建后南屋面邊沿增加部分AD的長約為1 9米 關(guān)鍵提示利用CD 溝通 兩直角三角形 9 2016麗水 19 6分 數(shù)學拓展課程 玩轉(zhuǎn)學具 課堂中 小陸同學發(fā)現(xiàn) 一副三角板中 含45 角的三角板的斜邊與含30 角的三角板的長直角邊相等 于是 小陸同學提出了一個問題 如圖 將一副三角板拼放在一起 使直角頂點重合 點B C E在同一直線上 若BC 2 求AF的長 請你運用所學的數(shù)學知識解決這個問題 解析在Rt ABC中 BC 2 A 30 AC 2 由題意 得EF AC 2 在Rt EFC中 E 45 CF EF sin45 2 AF AC CF 2 10 2016臺州 20 8分 保護視力要求人寫字時眼睛和筆端的距離應(yīng)超過30cm 圖1是一位同學的坐姿 把她的眼睛B 肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成圖2的 ABC 已知BC 30cm AC 22cm ACB 53 她的這種坐姿符合保護視力的要求嗎 請說明理由 參考數(shù)據(jù) sin53 0 8 cos53 0 6 tan53 1 3 圖1圖2 解析該同學的這種坐姿不符合保護視力的要求 1分 理由 如圖 過點B作BD AC于點D 在Rt BDC中 BD BCsin53 30 0 8 24cm 3分 CD BCcos53 30 0 6 18cm 5分 AD AC CD 4cm 6分 在Rt ABD中 AB cm 30 cm 該同學的這種坐姿不符合保護視力的要求 8分 11 2015紹興 20 8分 如圖 從地面上的點A看一山坡上的電線桿PQ 測得桿頂端點P的仰角是45 向前走6m到達B點 測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60 和30 1 求 BPQ的度數(shù) 2 求該電線桿PQ的高度 結(jié)果精確到1m 備用數(shù)據(jù) 1 7 1 4 解析延長PQ交直線AB于點C 1 BPQ 90 60 30 2 設(shè)PQ xm 則QB QP x 在 BCQ中 BC x cos30 x QC x 在 ACP中 CA CP 6 x x x x 2 6 PQ 2 6 9 即該電線桿PQ的高度約為9m 12 2015臺州 19 8分 如圖是一把可調(diào)節(jié)座椅的側(cè)面示意圖 已知頭枕上的點A到調(diào)節(jié)器點O處的距離為80cm AO與地面垂直 現(xiàn)調(diào)整靠背 把OA繞點O旋轉(zhuǎn)35 到OA 處 求調(diào)整后點A 比調(diào)整前點A的高度降低了多少cm 結(jié)果取整數(shù) 參考數(shù)據(jù) sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 解析如圖 過點A 作A H OA于點H 由旋轉(zhuǎn)可知 OA OA 80 1分 在Rt OA H中 OH OA cos35 4分 80 0 82 65 6 6分 AH OA OH 80 65 6 14 4 14cm 答 調(diào)整后點A 比調(diào)整前點A的高度降低了14cm 8分 13 2015嘉興 舟山 22 10分 小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上 顯示屏OB與底板OA的夾角為120 時 如圖1 感覺最舒適 側(cè)面示意圖為圖2 使用時為了散熱 她在底板下墊入散熱架ACO 后 電腦轉(zhuǎn)到AO B 位置 如圖3 側(cè)面示意圖為圖4 已知OA OB 24cm O C OA于點C O C 12cm 1 求 CAO 的度數(shù) 2 顯示屏的頂部B 比原來升高了多少 3 墊入散熱架后 要使顯示屏O B 與水平面所成的相應(yīng)角仍保持120 則顯示屏O B 應(yīng)繞點O 按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度 解析 1 O C OA于點C O A OA 24cm O C 12cm sin CAO CAO 30 2 如圖 過點B作BD AO交AO的延長線于點D sin BOD BD OB sin BOD AOB 120 BOD 60 BD OB sin BOD 24 12cm O C OA CAO 30 AO C 60 AO B 120 AO B AO C 180 點C O B 在同一條直線上 O B O C BD 24 12 12 36 12 cm 顯示屏的頂部B 比原來升高了 36 12 cm 3 顯示屏O B 應(yīng)繞點O 按順時針方向旋轉(zhuǎn)30 理由如下 設(shè)電腦顯示屏O B 繞點O 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 度至O E處時滿足題意 作O F OA 則 EO F 120 O F AC FO A CAO 30 EO B FO A 30 即 30 顯示屏O B 應(yīng)繞點O 按順時針方向旋轉(zhuǎn)30 方法總結(jié)解此類題需把實物圖抽象成幾何圖形 然后利用解直角三角形求解 1 2018貴州貴陽 7 3分 如圖 A B C是小正方形的頂點 且每個小正方形的邊長都為1 則tan BAC的值為 A B 1C D B組2014 2018年全國中考題組 考點一銳角三角函數(shù) 答案B如圖 連接BC 在 ABD和 BCE中 ABD BCE SAS AB BC ABD BCE BCE CBE 90 ABD CBE 90 即 ABC 90 tan BAC 1 故選B 2 2015內(nèi)蒙古包頭 4 3分 在Rt ABC中 C 90 若斜邊AB是直角邊BC的3倍 則tanB的值是 A B 3C D 2 答案D在Rt ABC中 設(shè)BC x x 0 則AB 3x AC 2x 則tanB 2 故選D 3 2015內(nèi)蒙古包頭 11 3分 已知下列命題 在Rt ABC中 C 90 若 A B 則sinA sinB 四條線段a b c d中 若 則ad bc 若a b 則a m2 1 b m2 1 若 x x 則x 0 其中原命題與逆命題均為真命題的是 A B C D 答案A由 x x 可知 x 0 所以x 0 所以命題 錯誤 命題 及其逆命題均正確 故選A 4 2018貴州貴陽 18 4分 如圖 在Rt ABC中 以下是小亮探索與之間關(guān)系的方法 sinA sinB c c 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 在圖 的銳角 ABC中 探索 之間的關(guān)系 并寫出探索過程 解析如圖1 過點A作BC邊上的高AD 圖1 在Rt ABD中 sinB 在Rt ACD中 sinC AD csinB AD bsinC csinB bsinC 同理 如圖2 過點B作AC邊上的高BE 圖2 在Rt ABE中 sinA 在Rt BCE中 sinC BE csinA BE asinC csinA asinC 綜上 1 2018重慶 10 4分 如圖 旗桿及升旗臺的剖面和教學樓的剖面在同一平面上 旗桿與地面垂直 在教學樓底部E點處測得旗桿頂端的仰角 AED 58 升旗臺底部到教學樓底部的距離DE 7米 升旗臺坡面CD的坡度i 1 0 75 坡長CD 2米 若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC 1米 則旗桿AB的高度約為 參考數(shù)據(jù) sin58 0 85 cos58 0 53 tan58 1 6 A 12 6米B 13 1米C 14 7米D 16 3米 考點二解直角三角形 答案B如圖 延長AB交ED的延長線于M 作CJ DM于J 則四邊形BMJC是矩形 在Rt CJD中 設(shè)CJ 4k DJ 3k k 0 已知CD 2 則有9k2 16k2 4 解得k BM CJ DJ 又 BC MJ 1 EM MJ DJ DE 在Rt AEM中 tan AEM tan58 1 6 解得AB 13 1 米 故選B 思路分析延長AB交ED的延長線于M 作CJ DM于J 則四邊形BMJC是矩形 在Rt CJD中求出CJ DJ的長 再根據(jù)tan AEM 即可解決問題 方法總結(jié)解直角三角形的實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際情況建立數(shù)學模型 正確畫出圖形 找到直角三角形 根據(jù)題目中的已知條件 將實際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學問題 畫出平面幾何圖形 弄清已知條件中各量之間的關(guān)系 若圖中有直角三角形 則根據(jù)邊角關(guān)系進行計算即可 若圖中沒有直角三角形 則可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決 2 2015黑龍江哈爾濱 6 3分 如圖 某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C 此時飛行高度AC 1200m 從飛機上看地平面指揮臺B的俯角 30 則飛機所在A處與指揮臺B的距離為 A 1200mB 1200mC 1200mD 2400m 答案D由 B 30 sinB 得AB 1200 2 2400m 故選D 3 2015山東聊城 10 3分 湖南路大橋于今年5月1日竣工 為徒駭河景區(qū)增添了一道亮麗的風景線 某校數(shù)學興趣小組用測量儀器測量該大橋的橋塔高度 在距橋塔AB底部50米的C處 測得橋塔頂部A的仰角為41 5 如圖 已知測量儀器CD的高度為1米 則橋塔AB的高度約為 參考數(shù)據(jù) sin41 5 0 663 cos41 5 0 749 tan41 5 0 885 A 34米B 38米C 45米D 50米 答案C作DE AB于E 則BE CD 1米 DE BC 50米 在Rt ADE中 tan41 5 所以AE tan41 5 50 0 885 50 44 25 米 所以AB AE BE 45米 故選C 4 2015江蘇蘇州 10 3分 如圖 在一筆直的海岸線l上有A B兩個觀測站 AB 2km 從A測得船C在北偏東45 的方向 從B測得船C在北偏東22 5 的方向 則船C離海岸線l的距離 即CD的長 為 A 4kmB 2 kmC 2kmD 4 km 答案B如圖 在Rt ABE中 AEB 45 AB EB 2km AE 2km EBC 22 5 ECB AEB EBC 22 5 EBC ECB EB EC 2km AC AE EC 2 2 km 在Rt ADC中 CAD 45 AD DC 2 km 即點C到l的距離為 2 km 故選B 5 2014湖北黃岡 23 7分 如圖 在南北方向的海岸線MN上 有A B兩艘巡邏船 現(xiàn)均收到故障船C的求救信號 已知A B兩船相距100 1 海里 船C在船A的北偏東60 方向上 船C在船B的東南方向上 MN上有一觀測點D 測得船C正好在觀測點D的南偏東75 方向上 1 分別求出A與C A與D間的距離AC和AD 如果運算結(jié)果有根號 請保留根號 2 已知距觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁 若巡邏船A沿直線AC去營救船C 在去營救的途中有無觸礁危險 參考數(shù)據(jù) 1 41 1 73 解析 1 如圖 過C作CE AB于E 設(shè)AE a海里 則BE AB AE 100 1 a 海里 在Rt ACE中 AEC 90 EAC 60 AC 2a海里 CE AE tan60 a海里 在Rt BCE中 BE CE 100 1 a a a 100 AC 2a 200海里 在 ACD和 ABC中 ACB 180 45 60 75 ADC CAD BAC ACD ABC 即 AD 200 1 海里 答 A與C間的距離AC為200海里 A與D間的距離AD為200 1 海里 2 如圖 過D作DF AC于F 在Rt ADF中 DAF 60 DF AD sin60 200 1 100 3 127海里 100海里 船A沿直線AC航行 前往船C處途中無觸礁危險 1 2016廣東 8 3分 如圖 在平面直角坐標系中 點A的坐標為 4 3 那么cos 的值是 A B C D C組教師專用題組 考點一銳角三角函數(shù) 答案D過點A作AB垂直x軸于B 則AB 3 OB 4 由勾股定理得OA 5 cos 故選D 2 2015甘肅蘭州 4 4分 如圖 ABC中 B 90 BC 2AB 則cosA A B C D 答案D設(shè)AB k k 0 則BC 2k B 90 AC k cosA 故選D 1 2014江蘇蘇州 9 3分 如圖 港口A在觀測站O的正東方向 OA 4km 某船從港口A出發(fā) 沿北偏東15 方向航行一段距離后到達B處 此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60 的方向 則該船航行的距離 即AB的長 為 A 4kmB 2kmC 2kmD 1 km 考點二解直角三角形 答案C過A作OB邊的垂線AD 垂足為D 易知 BOA 30 BAD 45 在Rt OAD中 AD OAsin DOA 4sin30 2km 在Rt ABD中 AB 2km 故選C 2 2017湖北黃岡 22 8分 在黃岡長江大橋的東端一處空地上 有一塊矩形的標語牌ABCD 如圖所示 已知標語牌的高AB 5m 在地面的點E處 測得標語牌點A的仰角為30 在地面的點F處 測得標語牌點A的仰角為75 且點E F B C在同一直線上 求點E與點F之間的距離 計算結(jié)果精確到0 1米 參考數(shù)據(jù) 1 41 1 73 解析過點F作FM AE于點M AFB 75 E 30 EAF 45 設(shè)AM MF x米 1分 在Rt ABE中 AB 5 E 30 AE 2AB 10 3分 在Rt EMF中 E 30 MF x EF 2x EM x 又 AE AM EM x x 10 x 5 1 6分 EF 2x 10 1 10 1 73 1 7 3 即點E與點F之間的距離約為7 3米 8分 3 2016天津 22 10分 小明上學途中要經(jīng)過A B兩地 由于A B兩地之間有一片草坪 所以需要走路線AC CB 如圖 在 ABC中 AB 63m A 45 B 37 求AC CB的長 結(jié)果保留小數(shù)點后一位 參考數(shù)據(jù) sin37 0 60 cos37 0 80 tan37 0 75 取1 414 解析如圖 過點C作CD AB 垂足為D 在Rt ACD中 tanA sinA A 45 AD CD AC CD 在Rt BCD中 tanB sinB B 37 BD CB AD BD AB AB 63 CD 63 解得CD 27 00 AC 1 414 27 00 38 178 38 2 CB 45 0 答 AC的長約等于38 2m CB的長約等于45 0m 4 2014浙江紹興 21 10分 九 1 班同學在上學期的社會實踐活動中 對學校旁邊的山坡護墻和旗桿進行了測量 1 如圖1 第一小組用一根木條CD斜靠在護墻上 使得DB與CB的長度相等 如果測量得到 CDB 38 求護墻與地面的傾斜角 的度數(shù) 2 如圖2 第二小組用皮尺量得EF為16米 E為護墻上的端點 EF的中點離地面FB的高度為1 9米 請你求出E點離地面FB的高度 3 如圖3 第三小組利用第一 二小組的結(jié)果 來測量護墻上旗桿的高度 在點P測得旗桿頂端A的仰角為45 向前走4米到達Q點 測得A的仰角為60 求旗桿AE的高度 精確到0 1米 備用數(shù)據(jù) tan60 1 732 tan30 0 577 1 732 1 414 解析 圖1 1 76 2 過點E作EG FB 垂足為G 過EF的中點O作OH FB 垂足為H 如圖1 OH 1 9 EG 2OH 3 8 E點的高度為3 8米 3 延長AE交直線PB于G 如圖2 設(shè)AG x 圖2 在Rt QAG中 tan AQG 得QG x 在Rt PAG中 tan APG 得PG x PQ QG PG 4 x x 解得x 9 46 AE 5 7 旗桿AE的高度約是5 7米 5 2014寧波 21 8分 如圖 從A地到B地的公路需經(jīng)過C地 圖中AC 10千米 CAB 25 CBA 37 因城市規(guī)劃的需要 將在A B兩地之間修建一條筆直的公路 1 求改直后的公路AB的長 2 問公路改直后比原來縮短了多少千米 sin25 0 42 cos25 0 91 sin37 0 60 tan37 0 75 解析 1 作CH AB于點H 1分 在Rt ACH中 CH AC sin CAB AC sin25 10 0 42 4 2 千米 2分 AH AC cos CAB AC cos25 10 0 91 9 1 千米 3分 在Rt BCH中 BH CH tan37 4 2 0 75 5 6 千米 4分 AB AH BH 9 1 5 6 14 7 千米 5分 2 在Rt BCH中 BC CH sin37 4 2 0 60 7 0 千米 6分 AC BC AB 10 7 14 7 2 3 千米 答 改直后比原來縮短了2 3千米 8分 6 2015河南 20 9分 如圖所示 某數(shù)學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度 他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30 朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處 在A處測得大樹頂端B的仰角是48 若坡角 FAE 30 求大樹的高度 結(jié)果保留整數(shù) 參考數(shù)據(jù) sin48 0 74 cos48 0 67 tan48 1 11 1 73 解析延長BD交AE于點G 過點D作DH AE于點H 由題意知 DAE BGA 30 DA 6 GD DA 6 GH AH DA cos30 6 3 GA 6 2分 設(shè)BC x米 在Rt GBC中 GC x 4分 在Rt ABC中 AC 6分 GC AC GA x 6 8分 x 13 即大樹的高度約為13米 9分 7 2014廣東 20 7分 如圖 某數(shù)學興趣小組想測量一棵樹CD的高度 他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30 然后沿AD方向前行10m 到達B點 在B處測得樹頂C的仰角為60 A B D三點在同一直線上 請你根據(jù)他們的測量數(shù)據(jù)計算這棵樹CD的高度 結(jié)果精確到0 1m 參考數(shù)據(jù) 1 414 1 732 解析 CAB 30 CBD 60 ACB 60 30 30 CAB ACB BC AB 10 3分 在Rt CBD中 sin60 CD BC sin60 10 5 8 7 m 答 這棵樹高約8 7m 7分 8 2014甘肅蘭州 24 8分 如圖 在電線桿上的C處引拉線CE CF固定電線桿 拉線CE和地面成60 角 在離電線桿6米處安置測角儀AB 在A處測得電線桿上C處的仰角為30 已知測角儀AB的高為1 5米 求拉線CE的長 結(jié)果保留根號 解析過點A作AM CD 垂足為M 1分 AM BD 6 AB MD 1 5 2分 在Rt ACM中 tan30 CM AM tan30 6 2 4分 CD CM MD 2 1 5 5分 在Rt CED中 sin60 即 CE 4 米 6分 答 拉線CE的長為 4 米 8分 評析本題要求學生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形 并結(jié)合圖形利用特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形 屬中等難度題 9 2014安徽 18 8分 如圖 在同一平面內(nèi) 兩條平行高速公路l1和l2間有一條 Z 型道路連通 其中AB段與高速公路l1成30 角 長為20km BC段與AB CD段都垂直 長為10km CD段長為30km 求兩高速公路間的距離 結(jié)果保留根號 解析如圖 過點A作AB的垂線交DC的延長線于點E 過點E作l1的垂線與l1 l2分別交于點H F 則HF l2 由題意知AB BC BC CD 又AE AB 四邊形ABCE為矩形 AE BC AB EC 2分 DE DC CE DC AB 50 又AB與l1成30 角 EDF 30 EAH 60 在Rt DEF中 EF DE sin30 50 25 5分 在Rt AEH中 EH AE sin60 10 5 所以HF EF HE 25 5 答 兩高速公路間的距離為 25 5 km 8分 評析本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 屬容易題 1 2018杭州拱墅二模 1 sin30 A B C D 三年模擬 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 考點一銳角三角函數(shù) 答案Asin30 故選A 2 2018下沙一模 3 在Rt ABC中 C 90 AB 5 BC 3 則cosA的值是 A B C D 答案B在Rt ABC中 AB 5 BC 3 AC 4 cosA 故選B 3 2017杭州二模 2 把 ABC三邊的長度都擴大為原來的2倍 則銳角A的正切函數(shù)值 A 縮小為原來的B 不變C 擴大為原來的2倍D 擴大為原來的4倍 答案B三角形三邊擴大為原來的2倍后 兩三角形相似 即角的大小不變 對于一個銳角 角度不變 三角函數(shù)值也不會變 4 2016紹興嵊州一模 7 如圖 在 ABC中 C 90 AB 5 AC 4 則sinA的值是 A B C D 答案D C 90 AB 5 AC 4 BC 3 sinA 故選D 5 2016溫州模擬 8 正方形網(wǎng)格中 AOB如圖放置 則cos AOB的值為 A B C D 答案B設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為1 如圖 C為OB邊上的格點 連接AC 根據(jù)勾股定理得 AO 2 AC OC 所以AO2 20 AC2 OC2 所以 ACO 90 所以 AOC是直角三角形 cos AOB 故選B 1 2018杭州濱江一模 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB cos BCD BD 6 則邊AB的長度是 A B C D 考點二解直角三角形 答案A CD AB ACB 90 ACB CDB 90 1 2 90 1 A 90 2 A cos BCD sin 2 又 BD 6 BC 10 AB BC sin A 2 2018濱江一模 14 如圖 人字梯 放在水平地面上 當梯子的一邊與地面所夾的銳角 為60 時 兩梯腳之間的距離BC為3m 先使 為60 又調(diào)整 為45 則梯子頂端距地面的高度AD下降了m 結(jié)果保留根號 答案 解析當 為60 時 如圖 由題意得 BC 3m C 60 AB AC AC 2DC 2 3 3m AD m 當 為45 時 如圖 AC 3m AD CD AC sin45 3 m m 3 2018濱江二模 19 1 如圖1 ABC中 C為直角 AC 6 BC 8 D E兩點分別從B A開始同時出發(fā) 分別沿線段BC AC向C點勻速運動 到C點后停止 它們的速度都為每秒1個單位 請問D點出發(fā)2秒后 CDE的面積為多少 2 如圖2 將 1 中的條件 C為直角 改為 C為鈍角 其他條件不變 請問是否存在某一時刻 使得 CDE的面積為 ABC面積的一半 若存在 請求出這一時刻 若不存在 請說明理由 解析 1 2秒后 S CDE 4 6 12 2 存在 如圖 過B D作AC邊上的高BG DH 設(shè)D E運動的時間為x秒 則DC 8 x EC 6 x DH DC sin 1 8 x sin 1 BG BC sin 1 8sin 1 S CDE 8 x 6 x sin 1 S ABC 6 8sin 1 令S CDE S ABC 解得x 2或x 12 舍去 所以D點出發(fā)2秒后 CDE的面積為 ABC面積的一半 4 2017杭州西湖一模 19 如圖 在 ABC中 CD是邊AB上的中線 B是銳角 且sinB tanA AC 3 1 求 B的度數(shù)與AB的長 2 求tan CDB 解析 1 過點C作AB的垂線 垂足為E 設(shè)CE x tanA AE 2x 根據(jù)勾股定理得AE2 CE2 AC2 2x 2 x2 3 2 解得x 3 CE 3 AE 6 sinB BCE為等腰直角三角形 BE CE 3 B 45 AB AE EB 9 2 CD為AB邊上的中線 DE BD BE BE 1 5 tan CDB 2 方法點撥解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握解一般三角形的常用方法 構(gòu)造直角三角形 進而借助銳角三角函數(shù)和勾股定理求解 5 2016杭州江干一模 19 如圖 某海域有A B兩個島嶼 B島在A島北偏西30 方向上 距A島120海里 有一艘船從A島出發(fā) 沿東北方向行駛一段距離后 到達位于B島南偏東75 方向的C處 求此時該船與B島之間的距離 結(jié)果保留根號 解析如圖 作AD BC于D EAB 30 AE BF FBA 30 又 FBC 75 ABD 45 又AB 120 AD BD 60 BAC BAE CAE 75 ABC 45 C 60 在Rt ACD中 C 60 AD 60 tanC CD 20 BC 60 20 故該船在C處時與B島之間的距離為60 20海里 思路分析本題要求的是CB的長 可以作輔助線AD BC于點D 然后根據(jù)題目中的條件分別求出BD CD的長 由此即可解決問題 解題關(guān)鍵作輔助線 構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵 1 2017杭州蕭山模擬 6 如圖 ACB中 ACB 90 已知 B ADC AB a 則BD的長可表示為 A a cos cos B C a cos D a cos a sin tan B組2016 2018年模擬 提升題組 時間 50分鐘分值 60分 一 選擇題 每小題3分 共6分 答案C C 90 B AB a cosB cos sinB sin 故BC a cos AC a sin 又tan ADC tan 故DC 則BD BC DC a cos 故選C 2 2016寧波鎮(zhèn)海中學一模 4 如圖 直線y x 3與x y軸分別交于A B兩點 則cos BAO的值是 A B C D 答案A當x 0時 y 3 當y 0時 x 4 A 4 0 B 0 3 OA 4 OB 3 由勾股定理得 AB 5 則cos BAO 故選A 3 2018杭州下沙一模 在Rt ABC中 C 90 其中一個銳角為30 AB 12 若點P在直線BC上 不與點B C重合 且 PAC 60 則BP的長為 二 填空題 共3分 答案24或13或12 解析在Rt ABC中 BAC 30 時 如圖 當點P在AC左側(cè)時 PAC 60 PAB 60 30 90 B 60 AB 12 BP 12 24 如圖 當點P在AC右側(cè)時 PAC 60 P 30 AB 12 BAC 30 BC 6 AC 6 PC 18 BP PC BP 18 6 12 當 B 30 時 如圖 當點P在AC右側(cè)時 PAC 60 BC CP 6 BP 2BC 12 當點P在AC左側(cè)時 點B與點P重合 不滿足題意 綜上所述 BP的長為24或12或12 評析解題時務(wù)必分析哪個角是30 和點P與AC的位置關(guān)系 全面考慮 避免漏解 4 2018杭州下城一模 如圖 ABC中 ABC 90 AB BC 點M是BC邊上任意一點 點D是AB的延長線上一點 且BM BD 點E F分別是CD AM的中點 連接FE EB 1 試問 BEF的度數(shù)是否會發(fā)生變化 若不變 請求出 BEF的度數(shù) 若變化 請說明理由 2 若 設(shè) MAB 試求cos 的值 解析 1 BEF的度數(shù)不發(fā)生變化 理由如下 如圖 連接BF ABC 90 ABM CBD 90 在 AMB和 CDB中 AMB CDB SAS DCB MAB AM CD E F分別為DC AM的中點 BE DE CE CD BF MF AF AM BE BF BAF FBA EBD D FBA DCB D DCB 90 FBA EBD 90 FBE 180 90 90 BEF 45 BEF的度數(shù)不發(fā)生變化 BEF的度數(shù)為45 2 設(shè)EF 3a 則AC 5a ABC 90 AB BC 由勾股定理得AB BC a 同理 BF BE a AM 2BF 3a cos BEF 45 BEF的度數(shù)不發(fā)生變化 BEF的度數(shù)為45 2 設(shè)EF 3a 則AC 5a ABC 90 AB BC 由勾股定理得AB BC a 同理 BF BE a AM 2BF 3a cos 評析本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半 全等三角形的性質(zhì)與判定 勾股定理的應(yīng)用 解題關(guān)鍵在于推出 AMB CDB和 EBF是等腰直角三角形 5 2018紹興二模 在 ABC中 BAC 90 AB AC 10 直線MN過點A且MN BC 以點B為一銳角頂點作Rt BDE BDE 90 且點D在直線MN上 不與點A重合 如圖 DE與AC交于點P 設(shè)x BD y DP BC z cos ADP 1 小強同學通過幾何畫板畫圖并測量得到以下近似數(shù)據(jù) 猜想y關(guān)于x的函數(shù)表達式 z關(guān)于x的函數(shù)表達式 并給出證明 2 如圖 DE與CA的延長線交于點P 1 中y關(guān)于x的函數(shù)表達式還成立嗎 請說明理由 3 如圖 DE與AC的延長線交于點P BD與AP交于點Q 若此時x BD 20 求S ABQ 解析 1 y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y x 20 z關(guān)于x的函數(shù)表達式為z 證明 如圖 過點D作DF AD交AB于點F 交BC于點G AB AC BAC 90 ABC 45 AD BC BAD ABC 45 BAD AFD 45 ADF是等腰直角三角形 AD DF DAP 45 90 135 DFB 180 45 135 BDP ADF 90 FDB GDE 90 ADP GDE 90 ADP FDB 在 ADP和 FDB中 ADP FDB DP BD x AB AC 10 BAC 90 BC 20 y x 20 AD BC DG AB 10 10 在Rt BDG中 cos BDG ADP BDG z cos ADP cos BDG 2 y關(guān)于x的函數(shù)表達式仍然成立 理由如下 如圖 過點D作DF MN 交AB的延長線于點F 由 1 知 BAD 45 AFD 45 DA DF FDB BDA 90 BDA ADP 90 FDB ADP DAP 90 BAD 45 DAP DFB 在 ADP和 FDB中 ADP FDB DP BD x 由 1 知BC 20 y x 20 3 如圖 過點B作BT MA于點T MN BC ABC 45 TAB ABC 45 AB 10 AT BT 10 BD 20 在Rt BTD中 DT 10 MN BC AQD CQB 即 解得AQ S ABQ AB AQ 10 評析本題難點在 1 3 問中 第 1 問中需根據(jù)表格中給出的數(shù)據(jù)得到函數(shù)關(guān)系式 將y關(guān)于x函數(shù)關(guān)系中的線段轉(zhuǎn)化到兩個三角形中 通過證明全等來求解 z與x之間的關(guān)系涉及三角函數(shù) 因此需構(gòu)造直角三角形 第 3 問中要求S ABQ 已知AB的長 只需求AQ的長即可 AQ的長可以通過相似三角形對應(yīng)邊成比例來求得 6 2016杭州西湖一模 22 數(shù)學老師布置了這樣一個問題 如果 都為銳角 且tan tan 求 的度數(shù) 甲 乙兩位同學想利用正方形網(wǎng)格構(gòu)圖來解決問題 他們分別設(shè)計了圖1和圖2 1 請你分別利用圖1 圖2求出 的度數(shù) 2 請參考以上思考問題的方法 選擇一種方法解決下面問題 如果 都為銳角 當tan 5 tan 時 在圖3的正方形網(wǎng)格中 利用已作出的銳角 畫出 MON 使得 MON 并求出 的度數(shù) 解析 1 對于題圖1 設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為1 易得AC AB BC AC2 BC2 AB2 ACB 90 AC BC ABC為等腰直角三角形 BAC 45 45 對于題圖2 也設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為1 易得AE 2 BE AB CE 1 BC AEB BEC CBE BAE BED 45 2 解法一 如圖構(gòu)圖 BAC就是要畫的 MON 設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為1 易得AB AC BC AC2 BC2 AB2 ACB 90 又 BC AC CAB 45 45 解法二 如圖構(gòu)圖 BAC就是要畫的 MON 設(shè)網(wǎng)格中小正方形邊長為1 易得AB AC BC AB2 BC2 AC2 ABC 90 又 BC BA CAB 45 45 關(guān)鍵提示 1 題圖1中 ABC是等腰直角三角形 題圖2中 AEB BEC 2 以角 的一邊作角 的一邊進行構(gòu)圖 7 2017杭州模擬 21 如圖 某學生在旗桿EF與實驗樓CD之間的A處測得 EAF 60 然后向左移動12米到B處 測得 EBF 30 CBD 45 已知sin CAD 1 求旗桿EF的高 2 求旗桿EF與實驗樓CD之間的距離 解析 1 EAF 60 EBF 30 BEA 60 30 30 EBF AB AE 12 米 在Rt AEF中 EF AE sin EAF 12 sin60 6 米 答 旗桿EF的高為6米 2 設(shè)CD x米 CBD 45 D 90 BD CD x米 sin CAD tan CAD 解得x 36 經(jīng)檢驗滿足分式方程和題意 在Rt AEF中 AEF 90 60 30 AF AE 6 米 DF BD AB AF 36 12 6 54 米 答 旗桿EF與實驗樓CD之間的距離為54米 8 2017寧波七校聯(lián)考 21 2017年3月 某海域發(fā)生航班失聯(lián)事件 我海事救援部門用高頻海洋探測儀進行海上搜救 分別在A B兩個探測點探測到C處是信號發(fā)射點 已知A B兩點相距400m 探測線與海平面的夾角分別是30 和60 如圖 CD的長是點C到海平面的距離 1 問BD與AB有什么數(shù)量關(guān)系 試說明理由 2 求信號發(fā)射點的深度 結(jié)果精確到1m 參考數(shù)據(jù) 1 414 1 732 解析 1 BD AB 理由 由題圖可得 BAC 30 BCA 60 30 30 BCA BAC CB BA 400米 又在Rt CDB中 可得 DCB 30 DB CB 200米 BD AB 2 由勾股定理得DC 200 346米 信號發(fā)射點的深度約為346米