2015高考數(shù)學(xué)理科全國(guó)一卷及詳解答案

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理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)。 2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題相應(yīng)的位置。 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效。 4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 （1）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i，則|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 （2）sin20cos10-con160sin10= （A） （B） （C） （D） （3）設(shè)命題P：nN，>，則P為 （A）nN, > （B） nN, ≤ （C）nN, ≤ （D） nN, = （4）投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是 （A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，） （6）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則 （A） (B) （C） (D) （8）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A) (B) (C) (D) （9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的t=0.01，則輸出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10） 的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 （11） 圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示。若該幾何體的表面積為16 + 20，則= （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 12. 設(shè)函數(shù),其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 第II卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第（13）題~第（21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第（22）題~第（24）題未選考題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本大題共3小題，每小題5分 （13）若函數(shù)為偶函數(shù)，則 （14）一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。 （15）若滿足約束條件則的最大值為 . （16）在平面四邊形中，∠A=∠B=∠C=75，BC=2，則AB的取值范圍是 三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。 （17）（本小題滿分12分） 為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知， （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式： （Ⅱ）設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和。 （18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）證明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值 （19）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值。 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中， （Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由） （Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； （Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為。根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問(wèn)題： （i） 年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？ （ⅱ）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： （20）（本小題滿分12分） 在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交與兩點(diǎn)， （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程； （Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由。 （21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù) (Ⅰ)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線 的切線； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 請(qǐng)考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑。 （22）（本題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，是的直徑，是的切線，交于 （I） 若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是的切線； （II） 若，求∠ACB的大小. （23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中。直線:，圓：,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。 （I） 求，的極坐標(biāo)方程； （II） 若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為, ,求的面積 （24）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數(shù). （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （Ⅱ）若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍 參考答案 一．選擇題 （1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D 二．填空題 （13）1 （14） （15）3 （16） 三．解答題 （17）解： （Ⅰ）由，可知 可得，即 由于，可得 又，解得（舍去）， 所以是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為…………………6分 （Ⅱ）由可知 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 …………………………………………………………………………12分 （18）解： （Ⅰ）連結(jié)BD，設(shè)，連結(jié) 在菱形中，不妨設(shè)，由，可得 由平面，，可知，又，所以，且 在中，可得，故 在中，可得， 在直角梯形中，由，可得 從而，所以 又，可得平面 因?yàn)槠矫?，所以平面平面………………………?分 （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，由（Ⅰ）可得，，，， 所以…………………………………10分 故 所以直線與直線所成角的余弦值為…………………………12分 （19）解： （Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類(lèi)型………………2分 （Ⅱ）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于 所以關(guān)于的線性回歸方程為，因此關(guān)于的線性回歸方程…………………………………………6分 （Ⅲ）（?。┯桑á颍┲?dāng)時(shí)，年銷(xiāo)售量的預(yù)報(bào)值 年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值 …………………………………9分 （ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果知，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值 所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值， 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大……………12分 （20）解： （Ⅰ）由題設(shè)可得，或 又，故在處的導(dǎo)數(shù)值為，在點(diǎn)處的切線方程為，即 在處的導(dǎo)數(shù)值為，在點(diǎn)處的切線方程為，即 故所求切線方程為和…………………5分 （Ⅱ）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下： 設(shè)為符合題意的點(diǎn)，，直線的斜率分別為 將代入的方程得 故 從而 當(dāng)時(shí)，有，則直線PM的傾角與直線PN的傾角互補(bǔ)，故，所以點(diǎn)符合題意…………………………12分 （21）解： （Ⅰ）設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，即 解得 因此，當(dāng)時(shí)，軸為曲線的切線…………………………5分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，從而， 故在無(wú)零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，若，則，故是的零點(diǎn)；若，則，故不是的零點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)，。所以只需考慮在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。 （?。┤艋?，則在（0，1）無(wú)零點(diǎn)，故在（0，1）單調(diào)，而，所以，當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0，1）沒(méi)有零點(diǎn)。 （ⅱ）若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在（0，1）中，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為。 ①，即，在（0，1）無(wú)零點(diǎn)； ②，即，則在（0，1）有唯一零點(diǎn)； ③，即，由于，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)………………………………………………10分 綜上，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)……………………………12分 （22）解： （Ⅰ）連結(jié)，由已知得， 在中，由已知得，，故 連結(jié)，則 又，所以，故，是的切線……………………………………5分 （Ⅱ）設(shè)，由已知得 由射影定理可得，，所以，即 可得，所以……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）因?yàn)椋缘臉O坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為……………………………5分 （Ⅱ）將代入，得，解得，故，即 由于的半徑為1，所以的面積為………………………10分 （24）解： （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，化為 當(dāng)時(shí)，不等式化為，無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得； 當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得 所以的解集為…………………5分 （Ⅱ）由題設(shè)可得， 所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，的面積為 由題設(shè)得，故 所以的取值范圍為………………………………10分