2019高考物理系列模型之過程模型 專題02 追趕模型學(xué)案

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1、 專題02 追趕模型 模型界定 本模型主要處理兩物體能否追及的判定、距離極值的計(jì)算等問題.從時(shí)間和空間的角度來講，追及相遇是指同一時(shí)刻兩物體到達(dá)同一位置,包括兩物體的運(yùn)動(dòng)軌跡在同一直線及不在同一直線上的情況。 模型破解 1.同一直線上的追及問題 （i）空間條件： ①若同地出發(fā)，相遇時(shí)位移相等。 ②若不是同地出發(fā)，通常需畫出兩物體運(yùn)動(dòng)過程示意圖尋找位移聯(lián)系。 （ii）時(shí)間關(guān)系： ①同時(shí)出發(fā)且相遇時(shí)兩物體還處于運(yùn)動(dòng)之中，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等； ②不是同時(shí)出發(fā)時(shí)或相遇時(shí)兩物體之一已停止運(yùn)動(dòng)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間一般不相等，需分析兩物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系，如甲比乙早出發(fā)△t，相遇時(shí)甲乙都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

2、，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為。 （iii）常見情況 兩物體同方向運(yùn)動(dòng)且開始相距一定距離d，設(shè)前后物體的加速度大小分別為、（即a1≥0,a2≥0），以下幾種情況能追及（碰）： ①二者同向加速，，如果二者速度相等時(shí)后面物體比前面物體多通過的位移大于初始距離時(shí)，即時(shí)則能追上；否則以后無法追上； ②二者同向加速，； ③前一物體減速，后一物體加速，一定能追及；追及前二者間最大距離為 ④前一物體加速，后一物體減速，如果二者速度相等時(shí)不能追上則以后無法追及； ⑤二者均減速運(yùn)動(dòng)，，如果二者速度相等時(shí)不能追及則無法追及；，二者不相撞的安全條件是二者速度等于零時(shí)后一物體恰好追上前一物體

3、． （iv）處理方法： ①數(shù)學(xué)方法 設(shè)兩物體同方向運(yùn)動(dòng)且開始相距一定距離d，前后物體的加速度大小分別為、，初速度分別為v1、v2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間t時(shí)兩物體間的距離為。 首先根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)得到兩物體間距離隨時(shí)間變化的表達(dá)式，通常是一個(gè)二次函數(shù)： 。 然后由配方法可解決求解兩物體間距離的極值、距離出現(xiàn)極值時(shí)刻、以及判定兩物體能不能相遇、相遇的次數(shù)等問題： 由知當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。 若時(shí)不能相遇；若時(shí)可相遇兩次；當(dāng)時(shí)恰好相遇。 當(dāng)求解兩物體能否相遇及相遇幾次時(shí)，也可直接由二次方程的判別式判定： 當(dāng)時(shí)且有兩個(gè)正根時(shí)，可相遇兩次；一正根一負(fù)根時(shí)相遇一次 當(dāng)時(shí)恰好相遇 不能相遇距離此

4、時(shí)出現(xiàn)極值 ②物理方法一_____臨界值法 兩物體能否相遇、能相遇幾次、運(yùn)動(dòng)中的距離極值問題都可臨界狀態(tài)下兩物體的位移關(guān)系來確定，設(shè)兩物體同方向運(yùn)動(dòng)且開始相距一定距離d，前后物體的加速度大小分別為、，初速度分別為v1、v2,兩物體達(dá)到相等速度v時(shí)經(jīng)歷時(shí)間為t，此時(shí)兩物體間的距離為。 首先由可確定v與t. 其次可由、、中之一計(jì)算兩物體的位移，進(jìn)而得到兩物體此時(shí)的距離。 然后由作出判定：若時(shí)不能相遇，為兩物體運(yùn)動(dòng)中距離的極值；若時(shí)可相遇兩次；當(dāng)時(shí)恰好相遇。 ③物理方法二_____相對(duì)運(yùn)動(dòng)法 以其中一個(gè)物體為參考系，則由物體的相對(duì)速度為零時(shí)物體通過的相對(duì)位移與兩物體初始相距的距離關(guān)系可

5、判定兩物體是否相遇、相遇的次數(shù)、距離的極值等。 ④運(yùn)動(dòng)圖象法 作出兩物體的速度圖象，則兩物體的圖線與時(shí)間軸所圍面積是物體的對(duì)地位移，兩圖之間的面積是兩物體的相對(duì)位移（即一物體比另一物體多通過的位移），兩圖線的交點(diǎn)是兩物體間距離出現(xiàn)極值的時(shí)刻。 （v）注意“剎車陷阱” 對(duì)于汽車剎車、物塊在粗糙面上減速運(yùn)動(dòng)等一類問題中，一要注意物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，二要注意當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)方向反向時(shí)加速度的大小可能發(fā)生的變化。 另外需注意有些題目中對(duì)物體加速時(shí)運(yùn)動(dòng)速度的的限制。 例１.甲乙兩車在一平直道路上同向運(yùn)動(dòng)，其圖像如圖所示，圖中和的面積分別為和.初始時(shí)，甲車在乙車前方處。 A．若，兩車不會(huì)相遇

6、 B．若，兩車相遇2次 C．若，兩車相遇1次 D．若，兩車相遇1次 【答案】ＡＢＣ 例２.A、B兩輛汽車在筆直的公路上同向行駛。當(dāng) B車在A車前84 m處時(shí)，B車速度為4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)；經(jīng)過一段時(shí)間后，B車加速度突然變?yōu)榱?。A車一直以20 m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過12 s后兩車相遇。問B車加速行駛的時(shí)間是多少？ 【答案】６s 【解析】 設(shè)A車的速度為vA，B車加速行駛時(shí)間為t，兩車在t0時(shí)相遇。則有 ①

7、 ② 式中，t0 =12s，sA、sB分別為 A、B兩車相遇前行駛的路程。依題意有 ③ 式中 s＝84 m。由①②③式得 ④ 代入題給數(shù)據(jù) vA=20m/s，vB=4m/s，a =2m/s2， 有 ⑤ 式中t的單位為s。解得 t1=6 s，t2=18 s

8、 ⑥ t2＝18s不合題意，舍去。因此，B車加速行駛的時(shí)間為 6 s。 例3.一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。試求： （1） 汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？ （2） 什么時(shí)候汽車追上自行車，此時(shí)汽車的速度是多少？ 【答案】（１）２s，６m（２）4s,12m/s 即 （2）汽車追上自行車時(shí)，二車位移相等，則 , 解法二：由臨界速度求解 汽車開動(dòng)后速度由零逐漸增大，而自行車的速度是定值。當(dāng)汽車的速度還小

9、于自行車速度時(shí)，兩者的距離將越來越大，而一旦汽車速度增加到超過自行車速度時(shí)，兩車距離就將縮小。因此兩者速度相等時(shí)兩車相距最大，有，所以， 解法三：用相對(duì)運(yùn)動(dòng)求解更簡捷 選勻速運(yùn)動(dòng)的自行車為參考系，則從運(yùn)動(dòng)開始到相距最遠(yuǎn)這段時(shí)間內(nèi)，汽車相對(duì)此參考系的各個(gè)物理量為： 初速度v0 = v汽初－v自 =（0－6）m/s = －6m/s 末速度vt = v汽末－v自 =（6－6）m/s = 0 加速度 a = a汽－a自 =（3－0）m/s2 = 3m/s2 所以相距最遠(yuǎn) s= =－6m（負(fù)號(hào)表示汽車落后） 解法四：用圖象求解 （1）自行車和汽車的v-t圖如圖，

10、 由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出：在相遇之前，在t時(shí)刻兩車速度相等時(shí)，自行車的位移（矩形面積）與汽車的位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達(dá)最大，所以 t=v自/a=s=2s △s= vt－at2/2 =（6×2－3×22/2）m= 6m （2）由圖可看出：在t時(shí)刻以后，由v自或與v汽線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時(shí)，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時(shí)，t’= 2t = 4s，v’= 2v自=12m/s 例４.如圖所示，A、B兩物體相距S=7m，物體A以=4m/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，而物體B此時(shí)的速度B=l0m/s，只在摩擦力作

11、用下向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度=－2m／s2．那么物體A追上物體B所用的時(shí)間 A．7s B．8S C．9s D．10s 【答案】Ｂ 可得t=8s，選項(xiàng)B正確。 模型演練 １.甲乙兩運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練交接棒的過程中發(fā)現(xiàn)：甲經(jīng)短距離加速后能保持9 mis的速度跑完全程：乙從起跑后到接棒前的運(yùn)動(dòng)是勻加速的，為了確定乙起跑的時(shí)機(jī)，需在接力區(qū)前適當(dāng)?shù)奈恢迷O(shè)置標(biāo)記，在某次練習(xí)中，甲在接力區(qū)前S0-13.5 m處作了標(biāo)記，并以V-9 m/s的速度跑到此標(biāo)記時(shí)向乙發(fā)出起跑口令，乙在接力區(qū)的前端聽到口令時(shí)起跑，并恰好在速度達(dá)到與甲相同時(shí)被甲追上，完成交接棒，已知接力區(qū)的長度為L=20m

12、. 求：(1)此次練習(xí)中乙在接棒前的加速度a. (2)在完成交接棒時(shí)乙離接力區(qū)末端的距離. 【答案】（１)3s(2)6.5m 【解析】(1)設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，甲追上乙，則根據(jù)題意有vt-vt/2=13.5 將v=9代入得到：t=3s, 再有 v=at 解得：a=3m/s2 (2)在追上乙的時(shí)候，乙走的距離為s, 則：s=at2/2 代入數(shù)據(jù)得到 s=13.5m 所以乙離接力區(qū)末端的距離為?s=20-13.5=6.5m ２.在平直道路上，甲汽車以速度v勻速行駛。當(dāng)甲車司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方距離為d處的乙汽車時(shí)，立即以大小為a1的加速度勻減速行駛，與此同時(shí)，乙車司機(jī)也發(fā)現(xiàn)了甲，立即

13、從靜止開始以大小為a2的加速度沿甲運(yùn)動(dòng)的方向勻加速運(yùn)動(dòng)。則 A．甲、乙兩車之間的距離一定不斷減小 B．甲、乙兩車之間的距離一定不斷增大 C．若，則兩車一定不會(huì)相撞 D．若，則兩車一定不會(huì)相撞 【答案】Ｄ 3.處于平直軌道上的甲、乙兩物體相距s，乙在甲前且兩物體同時(shí)、同向開始運(yùn)動(dòng)，甲以初速度v、加速度a1做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙做初速度為零、加速度為a2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)甲能從乙旁邊通過，下述情況可能發(fā)生的是 ( ) A．a(chǎn)1＝a2時(shí)，能相遇兩次 B．a(chǎn)1＞a2時(shí)，能相遇兩次 C．a(chǎn)1＜a2時(shí)，能相遇兩次 D．a(chǎn)1＜a2時(shí)，能相遇一次

14、 【答案】ＣＤ 【解析】利用圖象進(jìn)行分析，如圖所示， 分別表示a1＝a2時(shí)、a1＞a2時(shí)、a1＜a2時(shí)的速度圖象． 對(duì)于A選項(xiàng)，甲的速度總是大于乙的速度，它們只能相遇一次，即甲追上乙車并超過乙；對(duì)于B選項(xiàng)，甲追上乙后，并超過乙，只能相遇一次；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)甲、乙速度相等時(shí)，若是甲剛好追上乙，那么它們只能相遇一次，若是甲在速度未相等之前追上乙，以后乙的加速度比甲大，故其速度總會(huì)超過甲，乙會(huì)追上甲并超過甲，有可能相遇兩次，若甲在速度與乙相等時(shí)還沒有追上乙，則永遠(yuǎn)追不上乙，一次相遇的機(jī)會(huì)都沒有．故正確答案為C、D. 4.兩輛完全相同的汽車，沿平直公路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車

15、突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時(shí)，后車以前車剎車時(shí)的加速度開始剎車．已知前車在剎車過程中所行的距離為s，若要保證兩車在上述情況中不相撞，則兩車在勻速行駛時(shí)的距離至少應(yīng)為： A．s B．2s C．3s D．4s 【答案】Ｂ 5.汽車甲沿著平直的公路以速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它路過某處的同時(shí)，該處有一輛汽車乙開始做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)去追趕甲車，根據(jù)上述的已知條件（ ） A. 可求出乙車追上甲車時(shí)乙車的速度 B. 可求出乙車追上甲車時(shí)乙車所走的路程 C. 可求出乙車從開始起動(dòng)到追上甲車時(shí)所用的時(shí)間 D. 不能求出上述三者中任何一個(gè) 【答案】Ａ 【解

16、析】根據(jù)題意，從汽車乙開始追趕汽車甲直到追上，兩者運(yùn)動(dòng)距離相等，即s甲==s乙=s，經(jīng)歷時(shí)間t甲=t乙=t. 那么，根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)甲應(yīng)有： 根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)乙有：，及 由前2式相除可得at=2v0，代入后式得vt=2v0，這就說明根據(jù)已知條件可求出乙車追上甲車時(shí)乙車的速度應(yīng)為2v0。因a不知，無法求出路程和時(shí)間，如果我們采取作v－t圖線的方法，則上述結(jié)論就比較容易通過圖線看出。圖中當(dāng)乙車追上甲車時(shí)，路程應(yīng)相等，即從圖中圖線上看面積s甲和s乙，顯然三角形高vt等于長方形高v0的2倍，由于加速度a未知，乙圖斜率不定，a越小，t越大，s也越大，也就是追趕時(shí)間和路程就越大。

17、 6.測(cè)速儀安裝有超聲波發(fā)射和接收裝置，如圖所示，B為測(cè)速儀，A為汽車，兩者相距335 m，某時(shí)刻B發(fā)出超聲波，同時(shí)A由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)B接收到反射回來的超聲波信號(hào)時(shí)，A、B相距355 m，已知聲速為340 m/s，則汽車的加速度大小為 A．20 m/s2 B．10 m/s2 C．5 m/s2 D．無法確定 【答案】Ｂ 7.如圖所示，將小球從地面以初速度豎直上拋的同時(shí)，將另一相同質(zhì)量的小球從距地面處由靜止釋放，兩

18、球恰在處相遇（不計(jì)空氣阻力）。則 A．兩球同時(shí)落地 B．相遇時(shí)兩球速度大小相等 C．從開始運(yùn)動(dòng)到相遇，球動(dòng)能的減少量等于球動(dòng)能的增加量 D．相遇后的任意時(shí)刻，重力對(duì)球做功功率和對(duì)球做功功率相等 【答案】Ｃ 【解析】相遇時(shí)b球速度,所經(jīng)歷時(shí)間.相遇時(shí)兩球位移滿足，所以，此時(shí)A球的速度,可見相遇時(shí)兩球雖在同一高度,但速度不同,故不能同時(shí)著地,AB皆錯(cuò)誤；兩球運(yùn)動(dòng)中各自的機(jī)械能守恒,而相遇前兩球的重力勢(shì)能改變量相等,故兩球動(dòng)能改變量也必相同,C正確；相遇后的任意時(shí)刻，球的速度始終大于球的速度，因而重力對(duì)球做功功率大于對(duì)球做功功率，D錯(cuò)誤。 8.從離地面高度為h處有自由下

19、落的甲物體，同時(shí)在它正下方的地面上有乙物體以初速度v0豎直上拋，要使兩物體在空中相碰，則做豎直上拋運(yùn)動(dòng)物體的初速度v0應(yīng)滿足什么條件？（不計(jì)空氣阻力，兩物體均看作質(zhì)點(diǎn)）.若要乙物體在下落過程中與甲物體相碰，則v0應(yīng)滿足什么條件？ 【答案】當(dāng)v0≥,兩物體在空中相碰；≤v0≤時(shí),乙物體在下落過程中與甲物體相碰 【解析】（巧選參照物法）選擇乙物體為參照物，則甲物體相對(duì)乙物體的初速度: v甲乙=0-v0=-v0 甲物體相對(duì)乙物體的加速度 a甲乙=-g-（-g）=0 由此可知甲物體相對(duì)乙物體做豎直向下，速度大小為v0的勻速直線運(yùn)動(dòng).所以，相遇時(shí)間為：t= 對(duì)第一種情況，乙物體做豎直上拋運(yùn)

20、動(dòng)，在空中的時(shí)間為： 0≤t≤ 即:0≤≤ 所以當(dāng)v0≥,兩物體在空中相碰. 對(duì)第二種情況，乙物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，下落過程的時(shí)間為： ≤t≤ 即≤≤. 所以當(dāng) ≤v0≤時(shí),乙物體在下落過程中與甲物體相碰 9.如圖所示，在傾角為的光滑斜面頂端有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)A3由靜止釋放，與此同時(shí)，在斜面底部有另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)B由靜止開始，以加速度a在光滑水平面上向左做勻加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)斜面與水平面通過極小的一段光滑圓弧連接，A質(zhì)點(diǎn)能平穩(wěn)地通過該圓弧，且它通過圓弧所用的時(shí)間可以忽略。要使質(zhì)點(diǎn)A不能追上質(zhì)點(diǎn)B，試求質(zhì)點(diǎn)B的加速度a的取值范圍。 【答案】 ……⑤

21、 （3分） 由②⑤化簡得：……⑥ （2分） 要使A不能追上B，只需t2無實(shí)數(shù)解即可，即 即，故A不能追上B時(shí)，B的加速度的取值范圍為 10.甲、乙兩物體相距s，在同一直線上同方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后就保持靜止不動(dòng)。甲物體在前，初速度為v1，加速度大小為a1。乙物體在后，初速度為v2，加速度大小為a2且知v1

22、，說明乙物體先停止運(yùn)動(dòng)那么兩物體在運(yùn)動(dòng)過程中總存在速度相等的時(shí)刻，此時(shí)兩物體相距最近，根據(jù)，求得 在t時(shí)間內(nèi) 甲的位移 乙的位移 代入表達(dá)式 求得 11.２００８年９月南京軍區(qū)某部進(jìn)行了一次海上軍事演習(xí)一艘魚雷快艇以30m/s的速度追擊前面同一直線上正在勻速逃跑的敵艦。當(dāng)兩者相距L0=2km時(shí)，以60m/s的速度發(fā)射一枚魚雷，經(jīng)過t1=50s艇長通過望遠(yuǎn)鏡看到了魚雷擊中敵艦爆炸的火光，同時(shí)發(fā)現(xiàn)敵艦仍在繼續(xù)勻速逃跑，于是馬上發(fā)出了第二次攻擊的命令，第二枚魚雷以同樣的速度發(fā)射后，又經(jīng)t2=30s，魚雷再次擊中敵艦將其擊沉。求第一枚魚雷擊中前后，敵艦逃跑的速度v1、v2分別為多大？

23、 【答案】20 m/s，10 m/s. 擊中敵艦時(shí)，魚雷快艇與敵艦的距離為L0－(30－v1)t1＝1500 m，馬上發(fā)射第二枚魚雷，第一枚魚雷擊中后敵艦的速度為v2，經(jīng)t2＝30 s，魚雷再次擊中敵艦，則有 (v－v2)t2＝1500，即：(60－v2)×30＝1500， 解得v2＝10 m/s. 12.甲乙兩年在公路上沿同一方向做直線運(yùn)動(dòng)，它們的v-t圖象如圖所示。兩圖象在t=t1時(shí)相交于P點(diǎn)，P在橫軸上的投影為Q，△OPQ的面積為S。在t=0時(shí)刻，乙車在甲車前面，相距為d。已知此后兩車相遇兩次，且第一次相遇的時(shí)刻為t′，則下面四組t′和d的組合可能是 A. t′＝t1

24、 ,d=S B. t′= C. t′ D. t′= 【答案】Ｄ 【解析】:由于兩車能相遇兩次,則在t1時(shí)間內(nèi)甲與乙通過的位移最大差值S應(yīng)大于d,t'時(shí)刻甲與乙的位移差值恰好等于d.由圖可知,當(dāng)t'=t1/2時(shí),乙通過的位移為S/4,甲通過的位移為S,故這種情況下d=3S/4,D正確. 13. 在平直的飛機(jī)跑道上進(jìn)行了一次特殊的比賽，飛機(jī)與摩托車同時(shí)從同一起跑線出發(fā)，做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。已知飛機(jī)的加速度為a1、最大速度為v1，摩托賽車的加速度為a2、最大速度為v2，且a1

25、v1=2v2，以下說法正確的是 Ａ．運(yùn)動(dòng)初始階段摩托賽車在前，經(jīng)過時(shí)間摩托賽車與飛機(jī)相距最遠(yuǎn) Ｂ．運(yùn)動(dòng)初始階段摩托賽車在前，經(jīng)過時(shí)間摩托賽車與飛機(jī)相距最遠(yuǎn) Ｃ．當(dāng)飛機(jī)與摩托賽車再次相遇時(shí)，飛機(jī)已經(jīng)達(dá)到最大速度 Ｄ．當(dāng)飛機(jī)與摩托賽車再次相遇時(shí)，飛機(jī)沒有達(dá)到最大速度 【答案】Ｄ 位移為，這表明在飛機(jī)速度達(dá)到最大之前飛機(jī)已趕上了摩托賽，Ｃ錯(cuò)誤Ｄ正確。 14.一輛值勤的警車停在公路邊，當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以10m/s的速度勻速行駛的貨車嚴(yán)重超載時(shí)，決定前去追趕，經(jīng)過5.5s后警車發(fā)動(dòng)起來，并以2.5m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，但警車的行駛速度必須控制在90km/h 以內(nèi)．問： （1）警

26、車在追趕貨車的過程中，兩車間的最大距離是多少？ （2）警車發(fā)動(dòng)后要多長時(shí)間才能追上貨車？ 【答案】（１）75m（２）１２s 【解析】（l）當(dāng)兩車速度相等時(shí).它們的距離最大，設(shè)警車發(fā)動(dòng)后經(jīng)過t1時(shí)間兩車的速度相等．則： s貨=v1(t0+t1)==10(5.5+4)m = 95m s警 所以兩車間的最大距離△s=s貨-s警=75m (2) 警車剛達(dá)到最大速度v=90km/h=25m/s的時(shí)間： t = t內(nèi)兩車的位移 t時(shí)刻兩車距離

27、 警車達(dá)到最大速度后做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)再經(jīng)過△t時(shí)間追趕上貨車． 則： 所以警車發(fā)動(dòng)后要經(jīng)過才能追上貨車 15.在光滑水平面上有兩個(gè)半徑都是r的小球A和B，其質(zhì)量分別是m和2m，當(dāng)兩球心的距離大于l(l≥2r)時(shí)，兩球之間無相互作用力．當(dāng)兩球心的距離等于或小于l時(shí)，兩球間有相互作用的恒定斥力F．設(shè)A球從遠(yuǎn)離B球處以速度v0沿兩球連心線向原來靜止的B球運(yùn)動(dòng)，如圖所示，欲使兩球不發(fā)生接觸，則v0應(yīng)滿足何條件? 【答案】v0< ， 由前設(shè)兩球剛好接觸的條件應(yīng)有 SA－(l－2r)＝SB， 由上四式聯(lián)立可解得 v 0′

28、＝ ． 以上所得的v0′對(duì)應(yīng)于兩球剛好能接觸這一臨界情況，顯然，為使兩球不相接觸，則v0應(yīng)滿足的條件是v0

29、決該類問題的切入點(diǎn)。 例５.飛機(jī)以恒定的速度沿水平方向飛行，距地面的高度為H=500m，在飛行過程中釋放一個(gè)炸彈，炸彈著地即刻爆炸，爆炸聲向各個(gè)方向傳播的速度都是，炸彈受到的空氣阻力忽略不計(jì)。已知從釋放炸彈到飛行員聽到爆炸聲經(jīng)過的時(shí)間t=13s。求： （1）炸彈的飛行時(shí)間（2）飛機(jī)的飛行速度v (取g=10m/s2) 【答案】（１）１０s（２） 【解析】（1）設(shè)炸彈平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，炸彈平拋、飛機(jī)水平運(yùn)動(dòng)以及聲音傳播過程如圖。 ……（1） ……（2） （2）由圖示可知： ……（3） 整理得飛機(jī)速度 ……（4） 模型演練 1６.如圖所示，在高

30、為h的平臺(tái)邊緣水平拋出小球A,同時(shí)在水平地面上距臺(tái)面邊緣水平距離為s處豎直上拋小球B，兩球運(yùn)動(dòng)軌跡在同一豎直平面內(nèi)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g。若兩球能在空中相遇，則小球A的初速度VA應(yīng)大于 , A、B兩球初速度之比為 【答案】； 【解析】兩球相遇時(shí)在水平方向上Ａ球通過的位移為s，有s=vAt,豎直方向Ａ球通過的位移小于h，即，聯(lián)立可得．相遇時(shí)兩球在豎直方向上通過的位移之和等于h，即，與第一式聯(lián)立可得． 1７.在水平地面上M點(diǎn)的正上方某一高度處，將S1球以初速度v1水平向右拋出，同時(shí)在M點(diǎn)右方地面上N點(diǎn)處，將S2球以初速度v2斜向左上方拋出，兩球恰在

31、M、N連線的中點(diǎn)正上方相遇，不計(jì)空氣阻力，則兩球從拋出到相遇過程中 A．初速度大小關(guān)系為 v1 = v2 B．速度變化量相等 C．水平位移相等 D．都不是勻變速運(yùn)動(dòng) 【答案】Ｂ 17.如圖所示：正方形絕緣光滑水平臺(tái)面WXYZ邊長=1.8m，距地面h=0.8m。平行板電容器的極板CD間距d=0.1m且垂直放置于臺(tái)面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔。電容器外的臺(tái)面區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場。電荷量q=5×10-13C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U=2.5V，板間微粒經(jīng)電場加速后由D板所開小孔進(jìn)入磁場（微粒始終不與極板接觸），然后

32、由XY邊界離開臺(tái)面。在微粒離開臺(tái)面瞬時(shí)，靜止于X正下方水平地面上A點(diǎn)的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時(shí)恰好與之相遇。假定微粒在真空中運(yùn)動(dòng)、極板間電場視為勻強(qiáng)電場，滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，滑塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2，取g=10m/s2 （1）求微粒在極板間所受電場力的大小并說明的極板極性； （2）求由XY邊界離開臺(tái)面的微粒的質(zhì)量范圍； （3）若微粒質(zhì)量mo=1×10-13kg，求滑塊開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所獲得的速度。 【答案】（１）1.25×10-11N，C板為正極,D板為負(fù)極（２）（３）大小為4.15m/s，方向與平臺(tái)前側(cè)面成530方向 【解析】:(1)微粒在極板間受到的電場力大小為

33、(1) 代入數(shù)據(jù)F=1.25×10-11N (2) 由微粒在磁場中的運(yùn)動(dòng)可判斷微粒在正電荷,微粒在極板間電場加速,故C板為正極,D板為負(fù)極 (2)若微粒質(zhì)量為m,剛進(jìn)入磁場時(shí)速度大小為v,由動(dòng)能定理 (3) 微粒在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),洛倫力充當(dāng)向心力,若圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R,有 (4) 微粒要從XY邊界離開臺(tái)面,則圓周運(yùn)動(dòng)的邊緣軌跡如圖所示,半徑的極小值與極大值分別為 (5) (6) 聯(lián)立③到⑥，代入數(shù)據(jù)得到 .....⑦ 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng) (9) S=vt (10) 對(duì)于滑塊,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程有 (11) (1

34、2) 再由余弦定理 (13) 以及正弦定理 (14) 聯(lián)立(3)(4)和(8)-(14),并代入數(shù)據(jù)得到v0=4.15m/s (15) 或 (16) 3.圓周運(yùn)動(dòng)中的追及問題 （i）同一圓、同方向追擊的物體轉(zhuǎn)過的角度時(shí)表明兩物體相遇或相距最近； （ii）不同一圓、同方向追擊的物體轉(zhuǎn)過的角度（n=0、1、2、……）時(shí)表明兩物體相距最近。 （iii）反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的物體轉(zhuǎn)過的角度（n=0、1、2、……）時(shí)表明兩物體相遇或相距最近。 例6.某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓。每過N年，該行星會(huì)運(yùn)行到日地連線的延長線上，如題圖所示。該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑比為 A．

35、 B． C． D． 【答案】Ｂ 【解析】由題意每過N年地球比行星多運(yùn)動(dòng)一周,即,再結(jié)合開普勒第三定律有,B正確. 三模型演練 18.如圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為、、（）.在C的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑之比,則它們的周期之比=______;從圖示位置開始，在b運(yùn)動(dòng)一周的過程中，a、b、c共線了____次。 【答案】１：８，８ 19.如圖所示，有A、B兩顆行星繞同一顆恒星O做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同。A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，在某一時(shí)刻兩行星相距最近，則：（ ） A

36、. 經(jīng)過時(shí)間，兩行星再次相距最近 B. 經(jīng)過時(shí)間，兩行星再次相距最近 C. 經(jīng)過時(shí)間，兩行星相距最遠(yuǎn) D. 經(jīng)過時(shí)間，兩行星相距最遠(yuǎn) 【答案】ＢＤ 【解析】當(dāng)兩行星與恒星位于同一直線時(shí)，兩行星位于恒星的同一側(cè)相距最近，兩行星分別位于恒星的兩側(cè)時(shí)相距最遠(yuǎn)。由于繞同一中心天體運(yùn)行的天體，半徑越小周期越短，故從圖示位置到再一次相距最近時(shí)A比B恰好多運(yùn)動(dòng)一周，即，可得，A錯(cuò)誤B正確。同理從圖示位置到再一次相距最遠(yuǎn)時(shí)A比B恰好多運(yùn)動(dòng)半周，即，可得，C錯(cuò)誤D正確。 20.如圖為宇宙中有一個(gè)恒星系的示意圖。A為星系的一顆行星，它繞中央恒星O運(yùn)行的軌近似為圓。天文學(xué)家觀測(cè)得到A行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

37、、周期為。 經(jīng)長期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，A行星實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔時(shí)間發(fā)生一次最大的偏離。天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運(yùn)行軌道與A在同一水平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對(duì)A行星的萬有引力引起A軌道的偏離。根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，你能對(duì)未知行星B的運(yùn)動(dòng)得到哪些定量的預(yù)測(cè)？ 【答案】周期、軌道半徑 ２１.在地球周圍同一平面內(nèi)的兩顆衛(wèi)星A和B，繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度分別為v1、v2，則兩衛(wèi)星由距離最近轉(zhuǎn)至距離最遠(yuǎn)時(shí)所需的時(shí)間最短的是（已知v1>v2，地球半徑為R，表面重力加速度為 g）（ ） A. B. C. D. 【答案】Ａ 【解析】:由有，當(dāng)兩衛(wèi)星同向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由相距最近到相距最遠(yuǎn)的最短時(shí)間內(nèi)角速度大的衛(wèi)星多轉(zhuǎn)半周，可得，A正確；當(dāng)兩衛(wèi)星反向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由相距最近到相距最遠(yuǎn)的最短時(shí)間內(nèi)兩衛(wèi)星共轉(zhuǎn)動(dòng)半周，可得，BCD皆錯(cuò)誤。 26