2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第5節(jié) 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積學(xué)案 理 北師大版

《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第5節(jié) 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第5節(jié) 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積學(xué)案 理 北師大版（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第五節(jié)　簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第117頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．多面體的表(側(cè))面積 因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和． 2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面展開圖　 側(cè)面積公式　 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l 3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積 名稱 幾何體　　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱)

2、 S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [知識(shí)拓展]　幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 (1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R， ①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝a； ②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a； ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝a. (2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. (3)棱長(zhǎng)為a的正四面體，其高H＝a，則其外接球半徑R＝H，內(nèi)切球半徑R＝H. [基本能力自

3、測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和．(　　) (2)錐體的體積等于底面面積與高之積．(　　) (3)球的體積之比等于半徑比的平方．(　　) (4)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差．(　　) (5)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差．(　　) (6)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a，則R＝a.(　　) [答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ 2．(教材改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(　　

4、) A．1 cm　　　　　　 B．2 cm C．3 cm D． cm B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4， ∴r＝2(cm)．] 3．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　) A．12π B．π C．8π D．4π A　[設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則a3＝8，所以a＝2. 所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2，所以正方體外接球的半徑為，所以球的表面積為4π·()2＝12π，故選A．] 4．(2017·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖7-5-1所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　)

5、 圖7-5-1 A．＋1 B．＋3 C．＋1 D．＋3 A　[由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長(zhǎng)是的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體， 所以該幾何體的體積 V＝×π×12×3＋××××3＝＋1. 故選A．] 5．已知某幾何體的三視圖如圖7-5-2所示，則該幾何體的體積為________． 圖7-5-2 π　[由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)圓錐，其體積為π×22×2－π×22×2＝π.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第118頁(yè)) 簡(jiǎn)單幾何體的表面積 　(1)(2018·石家莊一模)某幾何體的三視

6、圖如圖7-5-3所示(在網(wǎng)格線中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則該幾何體的表面積為(　　) 圖7-5-3 A．48　　　　　　 B．54 C．64 D．60 (2)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)如圖7-5-4，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) 圖7-5-4 A．17π B．18π C．20π D．28π (1)D　(2)A　[(1)根據(jù)三視圖還原直觀圖，如圖所示，則該幾何體的表面積S＝6×3＋×6×4＋2××3×5＋×6×5＝60，故選D. (2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去

7、掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A．] [規(guī)律方法]　簡(jiǎn)單幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.必須還原出直觀圖. (2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理. (3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用. [跟蹤訓(xùn)練]　(2018·合肥第一次質(zhì)檢)一個(gè)幾何體的三視圖如圖7-5-5所示(其中主視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為(　　) 圖7-5-5 A．

8、48＋4π B．72＋4π C．48＋6π D．72＋6π D　[由三視圖可得該幾何體是棱長(zhǎng)為4的正方體截去底面是邊長(zhǎng)為2的正方形、高為4的長(zhǎng)方體，再補(bǔ)上個(gè)底面圓半徑為2、高為4的圓柱，則該幾何體的表面積為16×2＋2(12＋π)＋8×2＋×2π×2×4＝72＋6π，故選D.] 簡(jiǎn)單幾何體的體積 　(1)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖7-5-6，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) 圖7-5-6 A．90π B．63π C．42π D．36π (2)(2018·深

9、圳二調(diào))一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖7-5-7所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖7-5-7 A．24 B．48 C．72 D．96 (1)B　(2)B　[ (1)法一：(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示． 將圓柱補(bǔ)全，并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π. 故選B. 法二：(估值法)由題意知，V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V

10、幾何體＜90π.觀察選項(xiàng)可知只有63π符合．故選B. (2)由三視圖知，該幾何體是由長(zhǎng)、寬、高分別為6,4,4的長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去所剩下的部分，如圖所示，其中C，G均為長(zhǎng)方體對(duì)應(yīng)邊的中心，該平面恰好把長(zhǎng)方體一分為二，則該幾何體的體積為V＝×6×4×4＝48，故選B.] [規(guī)律方法]　簡(jiǎn)單幾何體體積問(wèn)題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解. (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解. (3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的底面積和高，一

11、般不需畫直觀圖. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140239】 A．3 B． C．1 D． (2)(2017·山東高考)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖7-5-8，則該幾何體的體積為________． 圖7-5-8 (1)C　(2)2＋　[(1)由題意可知，AD⊥平面B1DC1，即AD為三棱錐A-B1DC1的高，且AD＝×2＝， 易求得S＝×2×＝， 所以V＝××＝1. (2)該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1的長(zhǎng)方體和兩個(gè)底面半徑為1

12、，高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成， 所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.] 與球有關(guān)的切、接問(wèn)題 　(2016·全國(guó)卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B． C．6π D． B　[由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤，∴Vmax＝π＝π.故選B.] 1．若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC

13、，AA1＝12，求球O的表面積． [解]　將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1， 則球O是長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1的外接球， 所以體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑． 因此2R＝＝13， 故S球＝4πR2＝169π. 2．若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，求該球的體積． [解]　如圖，設(shè)球心為O，半徑為r， 則在Rt△AFO中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝， 則球O的體積V球＝πr3＝π×＝. [規(guī)律方法]　與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的求解方法 (1)與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球

14、與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題. (2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體①利用2R＝求R. ②確定球心位置，把半徑放在直角三角形中求解. (3)一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問(wèn)題：可補(bǔ)形成直三棱柱. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π B． C． D． (2)(2018·深圳二調(diào))已知三棱錐S-ABC，△A

15、BC是直角三角形，其斜邊AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，則三棱錐的外接球的表面積為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140240】 A．64π B．68π C．72π D．100π (1)B　(2)D　[(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1， 由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知， r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 故選B. (2)由于△ABC是直角三角形，則對(duì)應(yīng)的截面圓的圓心為AB的中點(diǎn)，截面圓半徑r＝4，且球心就在過(guò)截面圓的圓心且垂直于截面的直線上，且球心到平面ABC的距離等于SC的一半，故三棱錐的外接球的半徑R＝＝5，故三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝100π，故選D.] 10