2022年高三數學 專題5 三角函數的圖象與性質練習

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1、2022年高三數學 專題5 三角函數的圖象與性質練習 一、前測訓練 1．(1)若tanα＝，α∈(π，π)，則sinα＝ ，cosα＝ ． 答案：－；－ (2)已知tana ＝2，則＝ ，sin2a－2sinacosa＋2＝ ． 答案：；2 (3)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，則cosα－sinα＝ ，tanα＝ ． 答案：；－ 2． (1) 函數的定義域為 ． 答案：[kπ＋ ，kπ＋] (2) 函數的值域為 ． 答案：[－

2、 ，1] (3) 函數單調減區(qū)間為 ． 答案：[＋，＋] (4)函數 的對稱軸為 ；中心對稱點為 ． 答案：x＝＋；(－，0) 3．(1)函數y＝2sin2x＋sinxcosx ＋3 cos2x的值域為 ． 答案：[，] (2)函數y＝4sin2x－12cosx－1 x ?[－ ， ]的值域為 ． 答案：[－13，8] (3)函數y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2(x∈[0，π])的值域為 ． 答案：[，3＋] (4)函數y＝的值域

3、為 ． 答案：[0，＋∞) 提示：方法一：看作斜率，數形結合處理； 方法二：導數法處理． 4．(1)已知函數y＝Asin(2x＋φ)的對稱軸為x＝，則φ的值為 ． 答案：kπ＋ (2)已知函數y＝cos(2x＋φ)為奇函數，求φ的值為 ． 答案：kπ＋ 5．已知函數(其中)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為，則的解析式 ． 答案：f(x)＝2sin(2x＋) 二、方法聯(lián)想 1．三角函數求值 (1) 知一求其余三角函數值； (2)關于sinα與cosα的齊

4、次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1＝sin2α＋cos2α構造齊次． (3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα間關系式 sinα＋cosα sinα－cosα sinαcosα sinα和cosα tanα sin2α 注意 根據角的范圍確定三角函數值正負．無法確定正負時可根據三角函數值的正負(或與特殊角的三角函數值)縮小角的范圍． 2．y＝Asin(ωx＋φ)的性質 對于y＝Asin(ωx＋φ)，將ωx＋φ看成整體，轉化為由y＝sinx，解決其定義域、值域、對稱軸、中心對稱點問題． 形如y＝asin2ωx＋bsinωxco

5、sωx＋ccos2ωx的形式 方法 先利用降冪公式化為一次形式，將用輔助角公式化為y＝Asin(2ωx＋φ)形式求值域． 形如①含有?sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；②含有sinx±cosx，sinxcosx 方法 利用換元法轉化為二次函數值域問題． 形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式 方法1 化為sin(ωx＋φ)＝M形式，再得用三角函數的有界性(|sinx|≤1，|cosx|≤1)求值域． 方法2 導數法 3．求f(x)＝Asin(wx＋j)＋B(A＞0)的解析式 方法 (1)由周期T＝得w； (2)由得

6、 (3)將點代入求j(盡量代入最高點或最低點)． 4．三角函數對稱問題 方法 對于函數y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) ①若x＝x0為對稱軸?f(x0)＝±A． ②若(x0，0)為中心對稱點?f(x0)＝0． 推論：對于函數y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) ①若函數y＝f(x)為偶函數?f(0)＝±A． ②若函數y＝f(x)為奇函數?f(0)＝0． 三、例題分析 [第一層次] 例1、已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，且在區(qū)間上是單調函數． (1)求φ的值； (2)求ω的值

7、． 解：(1)φ＝． (2)ω＝或2. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 三角函數圖象軸對稱問題 函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，說明f(x)的圖象關于y軸對稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f(x)為偶函數很容易得到f(0)＝sinφ ＝±1，從而有φ＝kπ＋，這個結論要讓學生理解并推理，不需要記憶． (2)主要問題歸類與方法： 三角函數圖象中心對稱問題 函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)圖象關于點M對稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．

8、再結合函數的單調性推導出ω的值． 例2、設函數． (1)求的最小正周期． (2)若函數與的圖像關于直線對稱，求當時的最大值． 解：(1)的最小正周期為8． (2)最大值為．　　 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 求三角函數周期、單調區(qū)間、最值等性質的問題 化為y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函數式中只含有一個一次的三角函數． 方法選擇與優(yōu)化建議： 采用展開、降冪等方法“化一”． (2)主要問題歸類與方法： 求三角函數的最值問題 常用的方法有①化為只含有一個一次的三角函數y＝Asin(ωx＋φ)形式；②通過換元等辦法將函數化為二次函數處理

9、． 方法選擇與優(yōu)化建議： 由第一問知道，本題可以化為只含有一個一次的三角函數y＝Asin(ωx＋φ)形式，所以選擇①方便． 例3、某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A，B 及CD的中點P 處，已知AB＝20km，CB ＝10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界)，且A，B 與等距離的一點O 處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP ，設排污管道的總長為km． (1)設∠BAO＝(rad)，將表示成的函數關系式； (2)請你選用(1)中的函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短． 解 (1) (2)

10、點P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊km處． 〖教學建議〗 (2)主要問題歸類與方法： 求三角函數的最值問題 化為只含有一個一次的三角函數y＝Asin(ωx＋φ)形式，或者通過換元等辦法將函數化為二次函數等方法都無法解決函數的最值問題． 方法選擇與優(yōu)化建議： 選擇利用導數法求最值． [第二層次] 例1 已知函數． (1)若，求的最大值和最小值； (2)若，求的值． 解　(1) ． (2)2－． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 求三角函數周期、單調區(qū)間、最值等性質的問題 化為y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函數式中只含有一個一次的三角

11、函數． 方法選擇與優(yōu)化建議： 采用輔助角的方法“化一”，在求最值得時候特別要注意角的范圍，要防止學生只是將兩個端點代入計算． (2)主要問題歸類與方法： 三角函數求值 ①知一求其余三角函數值； ②關于sinα與cosα的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1＝sin2α＋cos2α構造齊次． 方法選擇與優(yōu)化建議： 對于方法①，從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值，但是由于題目沒有給定角x的范圍，所以采用這個方法的話，就需要分類討論，解決起來比較麻煩，不宜采用． 由于可以化為sinα與cosα的齊次式，所以選擇②方便． 例2 已知

12、向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα， 5sinα－4cosα)，α∈()，且a⊥b． (1)求tanα的值； (2)求cos()的值． 解 (1) tanα＝－． (2) ． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 三角函數求值 ①知一求其余三角函數值； ②關于sinα與cosα的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1＝sin2α＋cos2α構造齊次． 方法選擇與優(yōu)化建議： a⊥b化簡后得到sinα與cosα的齊次式，同除以cos2a求得tanα值，所以選擇方法②方便． (2)主要問題歸類與方法： 三角變換問題

13、 方法選擇與優(yōu)化建議： 注意條件已知角與未知角之間的聯(lián)系，從α化到 例3 已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，且在區(qū)間上是單調函數． (1)求φ的值； (2)求ω的值． 解 (1)φ＝． (2)ω＝或2. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 三角函數圖象軸對稱問題 函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，說明f(x)的圖象關于y軸對稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f(x)為偶函數很容易得到f(0)＝sinφ ＝±1，從而有φ＝kπ＋，這個結論要讓學生理解并推理，不

14、需要記憶． (2)主要問題歸類與方法： 三角函數圖象中心對稱問題 函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)圖象關于點M對稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再結合函數的單調性推導出ω的值． [第三層次] 例1 已知函數． (1)若，求的最大值和最小值； (2)若，求的值． 解　(1) ． (2)2－． 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 求三角函數周期、單調區(qū)間、最值等性質的問題 化為y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函數式中只含有一個一次的三角函數． 方法選擇與優(yōu)化

15、建議： 采用輔助角的方法“化一”，在求最值得時候特別要注意角的范圍，要防止學生只是將兩個端點代入計算． (2)主要問題歸類與方法： 三角函數求值 ①知一求其余三角函數值； ②關于sinα與cosα的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1＝sin2α＋cos2α構造齊次． 方法選擇與優(yōu)化建議： 對于方法①，從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值，但是由于題目沒有給定角x的范圍，所以采用這個方法的話，就需要分類討論，解決起來比較麻煩，不宜采用． 由于可以化為sinα與cosα的齊次式，所以選擇②方便． 例2 設函數． (1)求的最小正周期．

16、 (2)若函數與的圖像關于直線對稱，求當時的最大值． 解 (1)的最小正周期為8． (2)最大值為．　　 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 求三角函數周期、單調區(qū)間、最值等性質的問題 化為y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函數式中只含有一個一次的三角函數． 方法選擇與優(yōu)化建議： 采用展開、降冪等方法“化一”． (2)主要問題歸類與方法： 求三角函數的最值問題 常用的方法有①化為只含有一個一次的三角函數y＝Asin(ωx＋φ)形式；②通過換元等辦法將函數化為二次函數處理． 方法選擇與優(yōu)化建議： 由第一問知道，本題可以化為只含有一個一次的

17、三角函數y＝Asin(ωx＋φ)形式，所以選擇①方便． 例3 已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，其圖象關于點M對稱，且在區(qū)間上是單調函數． (1)求φ的值； (2)求ω的值． 解（1）φ＝； （2）ω＝或2. 〖教學建議〗 (1)主要問題歸類與方法： 三角函數圖象軸對稱問題 函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數，說明f(x)的圖象關于y軸對稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f(x)為偶函數很容易得到f(0)＝sinφ ＝±1，從而有φ＝kπ＋，這個結論要讓學生理解并推理，不需要記憶． (2)主要問題歸類與方法： 三角函數圖象中心對稱問題 函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)圖象關于點M對稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再結合函數的單調性推導出ω的值． 四、反饋練習