《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時(shí)訓(xùn)練21 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時(shí)訓(xùn)練21 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題 理(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 限時(shí)訓(xùn)練21 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題 理
1.(xx·高考重慶卷)如圖,橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e.
解:(1)由橢圓的定義,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.
設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF1⊥PF2,
因此2c=|F1F2|=
==2.
即c=,從而b==1,
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)方法一:連接F
2、1Q,如圖,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,
且PF1⊥PF2,則+=1,
x+y=c2,
求得x0=±,
y0=±.
由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,從而|PF1|2=(+c)2+
=2(a2-b2)+2a=(a+)2.
由橢圓的定義,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|,
又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,
解得e=?。剑?
方法二:
3、如圖,由橢圓的定義,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.
又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,則|PF1|=2(2-)a,從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.
由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,
因此e==
===-.
2.(xx·石家莊市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線x=-相切,設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線E.
(
4、1)求曲線E的方程;
(2)設(shè)P是曲線E上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B、C在y軸上,△PBC的內(nèi)切圓的方程為(x-1)2+y2=1,求△PBC面積的最小值.
解:(1)由題意可知圓心到的距離等于到直線x=-的距離,由拋物線的定義可知,曲線E的方程為y2=2x.
(2)法一:設(shè)P(x0,y0),B(0,b),C(0,c),
直線PB的方程為:(y0-b)x-x0y+x0b=0,
又圓心(1,0)到PB的距離為1,
所以=1,整理得:(x0-2)b2+2y0b-x0=0,
同理可得:(x0-2)c2+2y0c-x0=0,
所以b,c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩根,
所以b+c=
5、,bc=,
依題意bc<0,即x0>2,
則(b-c)2=,
因?yàn)閥=2x0,所以|b-c|=,
所以S=|b-c|x0=(x0-2)++4≥8,
當(dāng)x0=4時(shí)上式取得等號(hào),
所以△PBC面積的最小值為8.
法二:設(shè)P(x0,y0),直線PB:y-y0=k(x-x0),由題知PB與圓(x-1)2+y2=1相切,則
=1,整理得:
(x-2x0)k2+2(1-x0)y0k+y-1=0,
k1+k2=-,k1k2=,
依題意x0>2,
則|yB-yC|=|(y0-k1x0)-(y)-k2x0|=|k1-k2|x0,
又|k1-k2|=,則|yB-yC|=,
所以S=|y
6、B-yC||x0|=(x0-2)++4≥8,當(dāng)且僅當(dāng)x0=4時(shí)上式取得等號(hào),
所以△ PBC面積的最小值為8.
3.(xx·長(zhǎng)春市高三模擬)在△ABC中,頂點(diǎn)B(-1,0),C(1,0),G,I分別是△ABC的重心和內(nèi)心,且∥.
(1)求頂點(diǎn)A的軌跡M的方程;
(2)過點(diǎn)C的直線交曲線M于P,Q兩點(diǎn),H是直線x=4上一點(diǎn),設(shè)直線CH,PH,QH的斜率分別為k1,k2,k3,試比較2k1與k2+k3的大小,并加以證明.
解:(1)由題意知S△ABC=(|AB|+|AC|+|BC|)·r=|BC|·|yA|,且|BC|=2,|yA|=3r,其中r為內(nèi)切圓半徑, 化簡(jiǎn)得:|AB|+|AC|
7、=4,頂點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn),4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓(去掉長(zhǎng)軸端點(diǎn)),其中a=2,c=1,b=,
所以軌跡M的方程為+=1(y≠0).
(2)2k1=k2+k3,以下進(jìn)行證明:
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)直線PQ:y=k(x-1)且P(x1,y1),Q(x2,y2),H(4,m),
聯(lián)立可得x1+x2=,
x1x2=.
由題意:k1=,k2=,k3=.
k2+k3=
=
=
==2k1.
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí),不妨取P,Q,
則k2+k3=+==2k1.
綜上可得2k1=k2+k3.
4.(xx·洛陽(yáng)市高三模擬)設(shè)M是焦距為2的橢圓E:+=1(a>b>0)上一點(diǎn)
8、,A,B是其左、右頂點(diǎn),直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,且k1k2=-.
(1)求橢圓E的方程;
(2)已知橢圓E:+=1(a>b>0)上點(diǎn)N(x0,y0)處切線方程為+=1,若與橢圓E相切于C(x1,y1),D(x2,y2)兩點(diǎn)的切線相交于P點(diǎn),且·=0.求證:點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為定值.
(1)解:由題意,2c=2,c=1,A(-a,0),B(a,0),設(shè)M(x,y),
∵k1k2=-,∴·=-,即=-.
∵M(jìn)(x,y)在橢圓上,∴+=1.
∴=-,∴=,∴a2=2b2.
又a2-b2=c2=1,∴a2=2,b2=1.
∴橢圓E的方程為+y2=1.
(2)證明:依題意,切線PC,PD的方程分別為+y1y=1,+y2y=1,即x1x+2y1y=2,x2x+2y2y=2.
由,得P,
∵·=0,∴PC⊥PD,
∴=-1,即x1x2=-4y1y2.
∵C,D在橢圓E上,∴x+2y=2,x+2y=2.
∴x=2-2y,x=2-2y.
∴|PO|2=
=
=.
∵x1x2=-4y1y2,∴xx=16yy.
即(2-2y)(2-2y)=16yy,(1-y)(1-y)=4yy,
得yy=.
∴|OP|2===3.
∴|PO|=,
∴P到原點(diǎn)的距離為定值.