2022年高考數(shù)學二輪復習 限時訓練21 直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題 理

上傳人:xt****7 文檔編號:105340004 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):5 大?。?3.02KB
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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 限時訓練21 直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題 理 1.(xx·高考重慶卷)如圖,橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點,且PQ⊥PF1. (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求橢圓的標準方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e. 解:(1)由橢圓的定義,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2. 設橢圓的半焦距為c,由已知PF1⊥PF2, 因此2c=|F1F2|= ==2. 即c=,從而b==1, 故所求橢圓的標準方程為+y2=1. (2)方法一:連接F

2、1Q,如圖,設點P(x0,y0)在橢圓上, 且PF1⊥PF2,則+=1, x+y=c2, 求得x0=±, y0=±. 由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,從而|PF1|2=(+c)2+ =2(a2-b2)+2a=(a+)2. 由橢圓的定義,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|, 又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4, 解得e=?。剑? 方法二:

3、如圖,由橢圓的定義,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,則|PF1|=2(2-)a,從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a. 由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, 因此e== ===-. 2.(xx·石家莊市模擬)在平面直角坐標系xOy中,一動圓經過點且與直線x=-相切,設該動圓圓心的軌跡為曲線E. (

4、1)求曲線E的方程; (2)設P是曲線E上的動點,點B、C在y軸上,△PBC的內切圓的方程為(x-1)2+y2=1,求△PBC面積的最小值. 解:(1)由題意可知圓心到的距離等于到直線x=-的距離,由拋物線的定義可知,曲線E的方程為y2=2x. (2)法一:設P(x0,y0),B(0,b),C(0,c), 直線PB的方程為:(y0-b)x-x0y+x0b=0, 又圓心(1,0)到PB的距離為1, 所以=1,整理得:(x0-2)b2+2y0b-x0=0, 同理可得:(x0-2)c2+2y0c-x0=0, 所以b,c是方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的兩根, 所以b+c=

5、,bc=, 依題意bc<0,即x0>2, 則(b-c)2=, 因為y=2x0,所以|b-c|=, 所以S=|b-c|x0=(x0-2)++4≥8, 當x0=4時上式取得等號, 所以△PBC面積的最小值為8. 法二:設P(x0,y0),直線PB:y-y0=k(x-x0),由題知PB與圓(x-1)2+y2=1相切,則 =1,整理得: (x-2x0)k2+2(1-x0)y0k+y-1=0, k1+k2=-,k1k2=, 依題意x0>2, 則|yB-yC|=|(y0-k1x0)-(y)-k2x0|=|k1-k2|x0, 又|k1-k2|=,則|yB-yC|=, 所以S=|y

6、B-yC||x0|=(x0-2)++4≥8,當且僅當x0=4時上式取得等號, 所以△ PBC面積的最小值為8. 3.(xx·長春市高三模擬)在△ABC中,頂點B(-1,0),C(1,0),G,I分別是△ABC的重心和內心,且∥. (1)求頂點A的軌跡M的方程; (2)過點C的直線交曲線M于P,Q兩點,H是直線x=4上一點,設直線CH,PH,QH的斜率分別為k1,k2,k3,試比較2k1與k2+k3的大小,并加以證明. 解:(1)由題意知S△ABC=(|AB|+|AC|+|BC|)·r=|BC|·|yA|,且|BC|=2,|yA|=3r,其中r為內切圓半徑, 化簡得:|AB|+|AC|

7、=4,頂點A的軌跡是以B,C為焦點,4為長軸長的橢圓(去掉長軸端點),其中a=2,c=1,b=, 所以軌跡M的方程為+=1(y≠0). (2)2k1=k2+k3,以下進行證明: 當直線PQ的斜率存在時,設直線PQ:y=k(x-1)且P(x1,y1),Q(x2,y2),H(4,m), 聯(lián)立可得x1+x2=, x1x2=. 由題意:k1=,k2=,k3=. k2+k3= = = ==2k1. 當直線PQ的斜率不存在時,不妨取P,Q, 則k2+k3=+==2k1. 綜上可得2k1=k2+k3. 4.(xx·洛陽市高三模擬)設M是焦距為2的橢圓E:+=1(a>b>0)上一點

8、,A,B是其左、右頂點,直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,且k1k2=-. (1)求橢圓E的方程; (2)已知橢圓E:+=1(a>b>0)上點N(x0,y0)處切線方程為+=1,若與橢圓E相切于C(x1,y1),D(x2,y2)兩點的切線相交于P點,且·=0.求證:點P到原點的距離為定值. (1)解:由題意,2c=2,c=1,A(-a,0),B(a,0),設M(x,y), ∵k1k2=-,∴·=-,即=-. ∵M(x,y)在橢圓上,∴+=1. ∴=-,∴=,∴a2=2b2. 又a2-b2=c2=1,∴a2=2,b2=1. ∴橢圓E的方程為+y2=1. (2)證明:依題意,切線PC,PD的方程分別為+y1y=1,+y2y=1,即x1x+2y1y=2,x2x+2y2y=2. 由,得P, ∵·=0,∴PC⊥PD, ∴=-1,即x1x2=-4y1y2. ∵C,D在橢圓E上,∴x+2y=2,x+2y=2. ∴x=2-2y,x=2-2y. ∴|PO|2= = =. ∵x1x2=-4y1y2,∴xx=16yy. 即(2-2y)(2-2y)=16yy,(1-y)(1-y)=4yy, 得yy=. ∴|OP|2===3. ∴|PO|=, ∴P到原點的距離為定值.

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