2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版 自主梳理 1. 正弦定理：____＝______＝___＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑. 由正弦定理可以變形為：(1)a∶b∶c＝____ sin A∶sin B∶sin C _____； (2)a＝___)2Rsin A _____，b＝__2Rsin B _____，c＝__2Rsin C ___； (3)sin A＝_______，sin B＝______，sin C＝_______等形式，以解決不同的三角形問題. 2.余弦定理：a2＝__ b2＋c2－2bccos A ________，b2＝__　a2

2、＋c2－2accos B　_____， c2＝____ a2＋b2－2abcos C　____. 余弦定理可以變形為：cos A＝___________，cos B＝_________， cos C＝_________. 3.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r. 4.在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角.情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分. 余弦定理可解決兩類問題： (1)已知兩邊及夾角或兩邊及一

3、邊對(duì)角的問題；(2)已知三邊問題. 解三角形時(shí)，三角形解的個(gè)數(shù)的判斷 在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 5．判斷三角形的形狀特征 必須從研究三角形的邊角關(guān)系入手，充分利用正、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化角為邊，邊角統(tǒng)一． ①等腰三角形：a＝b或A＝B. ②直角三角形： b2＋c2＝a2 或 A＝90° . ③鈍角三角形： a2＞b2＋c2

4、 或 A＞90° . ④銳角三角形：若a為最大邊，且滿足 a2＜b2＋c2 或A為最大角，且 A＜90° . 6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即A＞B?a＞b?sinA＞sinB. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.在△ABC中，若A＝60°，a＝，則＝________. 2.(xx·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________. 3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cos B＝________. 4.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、

5、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，則b的值為________. 5.已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為 (　　) A.2 B.8 C. D. 1.2　2.1　3.　4.　5.C 6．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若a、b、c成等差數(shù)列，B＝30°，△ABC的面積為，則b＝ . 【解析】∵S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝，∴ac＝6. 又a、b、c成等差數(shù)列，故2b＝a＋c. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB

6、 ＝(a＋c)2－2ac－2accos30°， ∴b2＝4b2－12－6，得b2＝4＋2，∴b＝1＋. 7．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝2bcosC，則此三角形一定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解析】由a＝2bcosC得sinA＝2sinBcosC ∵A＋B＋C＝π ∴sinA＝sin(B＋C) ∴sin(B＋C)＝2sinBcosC 即sin(B－C)＝0 ∵0

7、q：△ABC是等邊三角形，則命題p是命題q的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】∵＝＝，由正弦定理知：＝＝. ∴sinB＝sinA＝sinC ∴A＝B＝C?a＝b＝c，∴p?q 又若a＝b＝c，則A＝B＝C＝60°?sinA＝sinB＝sinC. ∴＝＝，∴q?p. 題型一　利用正弦定理求解三角形及有關(guān)三角形中的三角函數(shù)的范圍(最值) 例1?、旁凇鰽BC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和邊c. (2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求邊b和c. 解　(1)由正弦定

8、理得＝， ＝，∴sin A＝. ∵a>b，∴A＝60°或A＝120°. 當(dāng)A＝60°時(shí)，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝； 當(dāng)A＝120°時(shí)，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝. (2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.由正弦定理＝＝， 得b＝＝4，c＝＝4＋4.∴b＝4，c＝4＋4. (2)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝2bsinA. ①求角B的大小； ②求cosA＋sinC的取值范圍． 解析 ①由a＝2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA＝2sinBsinA， 所以sinB＝，由△ABC為銳角三角形得B＝

9、. ②cosA＋sinC＝cosA＋sin(π－－A)＝cosA＋sin(＋A) ＝cosA＋cosA＋sinA＝sin(A＋)． 由△ABC為銳角三角形知，＞A＞－B，又－B＝－＝. ∴＜A＋＜，∴＜sin(A＋)＜. 由此有＜sin(A＋)＜×＝，所以cosA＋sinC的取值范圍為(，)． 點(diǎn)評(píng) 解決這類問題的關(guān)鍵是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成邊，要么把邊化成角，然后再進(jìn)行三角恒等變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋B型函數(shù)，從而求解單調(diào)區(qū)間、最值、參數(shù)范圍等問題，注意限制條件A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π的應(yīng)用，如本題中由△ABC為銳角三角形得到A＋B＞，從而推

10、到＜A＋＜. 探究提高　(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意. 變式訓(xùn)練1 (1) 已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，則角A的大小為________. (2)在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，則AB＝________； （3）在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45°，則B＝______ 解析　(2)∵在△ABC中，tan A＝，C＝150°

11、， ∴A為銳角，∴sin A＝.又∵BC＝1. ∴根據(jù)正弦定理得AB＝＝. (3)由b>a，得B>A，由＝， 得sin B＝＝×＝， ∵0°

12、cos(B＋)＝sinA－cos(π－A) ＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)． ∵0＜A＜，∴＜A＋＜， 從而當(dāng)A＋＝，即A＝時(shí)，2sin(A＋)取最大值2. 綜上所述，sinA－cos(B＋)的最大值為2， 此時(shí)A＝，B＝. （5）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過△ABC的重心G.設(shè)∠MGA＝α(≤α≤)． ①試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S1與S2)表示為α的函數(shù)； ②求y＝＋的最大值與最小值． 解析①因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的重心， 所以AG＝×＝，∠MAG＝， 由正弦定理＝，得GM＝.

13、 則S1＝GM·GA·sinα＝(或)． 又＝，得GN＝， 則S2＝GN·GA·sin(π－α) ＝(或)， ②y＝＋＝·[sin2(α＋)＋sin2(α－)]＝72(3＋cot2α)． 因?yàn)椤堞痢?，所以，?dāng)α＝或α＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240； 當(dāng)α＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216. 題型二　利用余弦定理求解三角形 例2　在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且＝－. (1)求角B的大??； (2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積. 　解　(1)由余弦定理知： cos B＝，cos C＝. 將上式代入＝－得： ·＝－， 整理得：a2＋c2

14、－b2＝－ac.∴cos B＝＝＝－. ∵B為三角形的內(nèi)角，∴B＝π. (2)將b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，∴13＝16－2ac，∴ac＝3. ∴S△ABC＝acsin B＝. 探究提高　(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵. (2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用. 變式訓(xùn)練2　 1．已知a、b、c分別是△ABC中角A、B、C的對(duì)邊，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大??； (2)若c＝3a，求t

15、an A的值． 解　(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cos B＝＝. ∵0a，∴B>A，∴cos A＝＝. ∴tan A＝＝. 方法三　∵c＝3a，由正弦定理，得sin C＝3sin A. ∵B＝，∴C＝π－(A＋B)＝－A，∴sin(－A)＝3sin A， ∴s

16、incos A－cossin A＝3sin A，∴cos A＋sin A＝3sin A， ∴5sin A＝cos A，∴tan A＝＝. 2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足cos ＝， 　·＝3. (1)求△ABC的面積； (2)若b＋c＝6，求a的值. 　解　(1)∵cos ＝，∴cos A＝2cos2－1＝， ∴sin A＝.又·＝3，∴bccos A＝3，∴bc＝5. ∴S△ABC＝bcsin A＝×5×＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6， 根據(jù)余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bcc

17、os A＝36－10－10×＝20， ∴a＝2. ３．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，＝8，∠BAC＝θ，a＝4. (1)求b·c的最大值及θ的取值范圍； (2)求函數(shù)f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－的值． 【解析】(1)∵＝8，∠BAC＝θ，∴bccosθ＝8. 又a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42 即b2＋c2＝32. 又b2＋c2≥2bc ∴bc≤16，即bc的最大值為16. 而bc＝，∴≤16，∴cosθ≥ ∵0<θ<π，∴0<θ≤. (2)f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－＝[1－cos(＋2θ)]＋1＋c

18、os2θ－ ＝sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋)＋1 ∵0<θ≤， ∴<2θ＋≤ ∴≤sin(2θ＋)≤1. 當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)，f(θ)min＝2×＋1＝2. 當(dāng)2θ＋＝，即θ＝時(shí)，f(θ)max＝2×1＋1＝3. 點(diǎn)評(píng) 有關(guān)三角形中的三角函數(shù)求值問題，既要注意內(nèi)角的范圍，又要靈活利用基本不等式． 題型三　正、余弦定理的綜合應(yīng)用 例3　(xx·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B (p∈R)，且ac＝b2. (1)當(dāng)p＝，b＝1時(shí)，求a，c的值； (2)若角B為銳角，求p的取值范圍.

19、解　(1)由題設(shè)并由正弦定理， 得　解得或 (2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝p2b2－b2－b2cos B，即p2＝＋cos B. 因?yàn)?0，所以

20、ABC的形狀. 解　(1)∵c＝2，C＝，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C 得a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC的面積為，∴absin C＝，ab＝4. 聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2. (2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A·(sin A－sin B)＝0， ∴cos A＝0或sin A－sin B＝0，當(dāng)cos A＝0時(shí)，∵0

21、 A，由正弦定理得a＝b， 即△ABC為等腰三角形.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形. 2. ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,asinAsinB+bcos2A= a ⑴ ⑵若c2=b2+ a2求B. 解:　(1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A ＝sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A. 故sin B＝sin A，所以＝. (2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝. 由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2. 可得cos2B＝，又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°. 題型

22、四　判斷三角形的形狀 一、判斷三角形的形狀 例1在△ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求角A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀． 解析 (1)由已知得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c. 即a2＝b2＋c2＋bc 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA ∴cosA＝－ ∵A∈(0°，180°)，∴A＝120°. (2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC 又sinB＋sinC＝1得sinB＝sinC＝ ∵0°

23、60°，0°

24、n Acos B. 方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sinA·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC為等腰或直角三角形. 方法二　由正弦定理、余弦定理得： a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2

25、)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC為等腰或直角三角形. 變式訓(xùn)練4 1.已知在△ABC中，，則△ABC的形狀是 解析：∵cos2＝，∴＝. ∴cos A＝. 又∵＝，即b2＋c2－a2＝2b2. ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC為直角三角形． 探究提高　利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷. 2. 設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)

26、邊長(zhǎng)分別為a、b、c， 且3b2＋3c2－3a2＝4bc. (1)求sin A的值； (2)求的值． 解　(1)∵3b2＋3c2－3a2＝4bc，∴b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得，cos A＝＝， 又0

27、可以減少角的種數(shù). 3.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊， 練題一 一、選擇題 1．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B＝( ) A．－ 　　　B. 　　　　　 C．－1 　　　　　　 D．1 【解析】根據(jù)正弦定理，由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B. ∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1，故選D. 2.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝2bcos C，則此三角形一定是

28、 (　　) A.等腰直角三角形　　　B.直角三角形 C.等腰三角形　　　　　　D.等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則的值為(　　) A. B.　　　　　 C. D. 　　4.若△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足6sinA＝4sinB＝3sinC，則cosB＝( ) A. B. C. D. 【解析】結(jié)合正弦定理得：6a＝4b＝3c 設(shè)3c＝12k(k>0) 則a＝2k，b＝3k，c＝4k. 由余弦定理得cosB＝＝＝，選D. 5.若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a，b，c滿足(a

29、＋b)2－c2＝4且C＝60°，則ab的值為( ) A. B．8－4 C．1 D. 【解析】由已知得： 兩式相減得：ab＝，選A. 二、填空題 6.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sin A＝，則a＝________. 7.若△ABC的面積為，BC＝2，C＝60°，則邊AB的長(zhǎng)度等于____2____. 8.在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝________.4或5. 9．已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為 . 【解析】不妨設(shè)A＝120°，c

30、a＝b＋4，c＝b－4 ∴cos120°＝＝－ 解得：b＝10. ∴S△ABC＝bcsin120°＝15. 三、解答題 10．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A是銳角，且b＝2a·sin B. (1)求A； (2)若a＝7，△ABC的面積為10，求b2＋c2的值. 解　(1)∵b＝2a·sin B，由正弦定理知 sin B＝2sin A·sin B. ∵B是三角形的內(nèi)角，∴sin B>0，從而有sin A＝， ∴A＝60°或120°，∵A是銳角，∴A＝60°. (2)∵10＝bcsin 60°，∴bc＝40， 又72＝b2＋c2－2bcc