2022年高中數(shù)學(xué) 第三講《柯西不等式與排序不等式》教案（1） 新人教版選修4-5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第三講《柯西不等式與排序不等式》教案（1） 新人教版選修4-5 教學(xué)要求：認(rèn)識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義， 并會證明二維柯西不等式及向量形式. 教學(xué)重點(diǎn)：會證明二維柯西不等式及三角不等式. 教學(xué)難點(diǎn)：理解幾何意義. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 提問： 二元均值不等式有哪幾種形式？ 答案：及幾種變式. 2. 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證 證法：（比較法）=….= 二、講授新課： 1. 教學(xué)柯西不等式： ① 提出定理1：若a、b、c、d為實(shí)數(shù)，則. → 即二維形式的柯西不等式 → 什么時(shí)候

2、取等號？ ② 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？ 證法二：（綜合法） . （要點(diǎn)：展開→配方） 證法三：（向量法）設(shè)向量，，則，. ∵ ，且，則. ∴ ….. 證法四：（函數(shù)法）設(shè)，則 ≥0恒成立. ∴ ≤0，即….. ③ 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？ 變式： 或 或. ④ 提出定理2：設(shè)是兩個(gè)向量，則. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 討論：上面時(shí)候等號成立？（是零向量，或者共線） ⑤ 練習(xí)：已知a、b、c、d為實(shí)數(shù)，求證. 證法：（分析法）平方

3、 → 應(yīng)用柯西不等式 → 討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形） 2. 教學(xué)三角不等式： ① 出示定理3：設(shè)，則. 分析其幾何意義 → 如何利用柯西不等式證明 → 變式：若，則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？ 3. 小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點(diǎn)、三點(diǎn)） 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式 2. 作業(yè)：教材P37 4、5題. 第二課時(shí) 3.1 二維形式的柯西不等式（二） 教學(xué)要求：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體

4、問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系，經(jīng)過適當(dāng)變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系. 教學(xué)重點(diǎn)：利用二維柯西不等式解決問題. 教學(xué)難點(diǎn)：如何變形，套用已知不等式的形式. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？ 幾何意義？ 答案：； 2. 討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？ 3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值? 要點(diǎn)：利用變式. 二、講授新課： 1. 教學(xué)最大（小）值： ① 出示例1：求函數(shù)的最大值？ 分析：如何變形？ → 構(gòu)造柯西不等式的形式 → 板演 → 變式： →

5、 推廣： ② 練習(xí)：已知，求的最小值. 解答要點(diǎn)：（湊配法）. 討論：其它方法 （數(shù)形結(jié)合法） 2. 教學(xué)不等式的證明： ① 出示例2：若，，求證：. 分析：如何變形后利用柯西不等式？ （注意對比 → 構(gòu)造） 要點(diǎn)：… 討論：其它證法（利用基本不等式） ② 練習(xí)：已知、，求證：. 3. 練習(xí)： ① 已知，且，則的最小值. 要點(diǎn)：…. → 其它證法 ② 若，且，求的最小值. （要點(diǎn)：利用三維柯西不等式） 變式：若，且，求的最大值. 3. 小結(jié)：比較柯西不等式的形式，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧. 三、鞏固練

6、習(xí)： 1. 練習(xí)：教材P37 8、9題 2. 作業(yè)：教材P37 1、6、7題 第三課時(shí) 3.2 一般形式的柯西不等式 教學(xué)要求：認(rèn)識一般形式的柯西不等式，會用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等式，并應(yīng)用其解決一些不等式的問題. 教學(xué)重點(diǎn)：會證明一般形式的柯西不等式，并能應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)：理解證明中的函數(shù)思想. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 練習(xí)： 2. 提問：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？ 答案：； 二、講授新課： 1. 教學(xué)一般形式的柯西不等式： ① 提問：由平面向量的柯西不等式，如果

7、得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ ② 猜想：n維向量的坐標(biāo)？n維向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ 結(jié)論：設(shè)，則 討論：什么時(shí)候取等號？（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，假設(shè)） 聯(lián)想：設(shè)，，，則有，可聯(lián)想到一些什么？ ③ 討論：如何構(gòu)造二次函數(shù)證明n維形式的柯西不等式？ （注意分類） 要點(diǎn)：令 ，則 . 又，從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知， ≤0 即有要證明的結(jié)論成立. （注意：分析什么時(shí)候等號成立.） ④ 變式：. （討論如何證明） 2. 教學(xué)柯西不等式的應(yīng)用： ① 出示例1：已知，求的最小值. 分析：如何變形后構(gòu)造柯西不等式

8、？ → 板演 → 變式： ② 練習(xí)：若，且，求的最小值. ③ 出示例2：若>>，求證：. 要點(diǎn)： 3. 小結(jié)：柯西不等式的一般形式及應(yīng)用；等號成立的條件；根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造證明. 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：教材P41 4題 2. 作業(yè)：教材P41 5、6題 第四課時(shí) 3.3 排序不等式 教學(xué)要求：了解排序不等式的基本形式，會運(yùn)用排序不等式分析解決一些簡單問題，體會運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法. 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用排序不等式證明不等式. 教學(xué)難點(diǎn)：排序不等式的證明思路. 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1. 提問： 前面所學(xué)

9、習(xí)的一些經(jīng)典不等式？ （柯西不等式、三角不等式） 2. 舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實(shí)例. 二、講授新課： 1. 教學(xué)排序不等式： ① 看書：P42~P44. ② 提出排序不等式（即排序原理）： 設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組:···;···.···是，···的任一排列,則有 ···+ (同序和) +···+ (亂序和) +···+ (反序和) 當(dāng)且僅當(dāng)···=或···=時(shí)，反序和等于同序和. （要點(diǎn)：理解其思想，記住其形式） 2. 教學(xué)排序不等式的應(yīng)用： ① 出示例1：設(shè)是n個(gè)互不相同的正整數(shù)，求證： . 分析：如何構(gòu)造有序排列？ 如何運(yùn)用套用排序不等式？ 證明過程： 設(shè)是的一個(gè)排列，且，則. 又，由排序不等式，得 … 小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列. ② 練習(xí)： 已知為正數(shù)，求證：. 解答要點(diǎn)：由對稱性，假設(shè)，則， 于是 ，， 兩式相加即得. 3. 小結(jié)：排序不等式的基本形式. 三、鞏固練習(xí)： 1. 練習(xí)：教材P45 1題 2. 作業(yè)：教材P45 3、4題