2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題講座四 知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題講座四 知能訓(xùn)練輕松闖關(guān) 1．設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，集合A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|16x2＋8x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，問是否存在自然數(shù)k，b使(A∪B)∩C＝?？ 解：因?yàn)閽佄锞€y2－x－1＝0和16x2＋8x－2y＋5＝0在y軸上的截距分別為±1，，所以取b＝2． 由無實(shí)數(shù)解， 得1－

2、1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4． (1)若O是AB的中點(diǎn)，求證：OC1⊥A1B1； (2)在線段AB1上是否存在一點(diǎn)D，使得CD∥平面A1B1C1？若存在，確定點(diǎn)D的位置；若不存在，請說明理由． 解：(1)證明：取線段A1B1的中點(diǎn)E，連接OE，C1E，CO， 已知等邊三角形ABC的邊長為4， AA1＝BB1＝2CC1＝4，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1， ∴四邊形AA1B1B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB． ∵CO∩OE＝O，∴AB⊥平面EOCC1． 又A1B1∥AB，OC1?平面EOCC1，∴OC1⊥A1B1． (2)設(shè)OE∩A

3、B1＝D，連接CD，則點(diǎn)D是AB1的中點(diǎn)， ∴ED∥AA1，ED＝AA1， 又∵CC1∥AA1，CC1＝AA1， ∴四邊形CC1ED是平行四邊形， ∴CD∥C1E，∴CD∥平面A1B1C1， 即存在點(diǎn)D，使得CD∥平面A1B1C1，且點(diǎn)D是AB1的中點(diǎn)． 3．(xx·江蘇鹽城期中考試)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，bn＝log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2＝0，bn＋1＝bn＋log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若p＝2，設(shè)數(shù)列{cn}對任意的n∈N*，都有c1bn＋c2bn－1＋c3bn－2＋…＋cnb1＝－2n成立，問數(shù)列{cn

4、}是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項(xiàng)公式；若不是，請說明理由． 解：(1)因?yàn)閎n＋1＝bn＋log2p，所以bn＋1－bn＝log2p， 所以數(shù)列{bn}是以log2p為公差的等差數(shù)列， 又b2＝0，所以bn＝b2＋(n－2)(log2p)＝log2pn－2， 故由bn＝log2an，得an＝2bn＝2log2pn－2＝pn－2． (2)因?yàn)閜＝2，由(1)得bn＝n－2， 所以c1(n－2)＋c2(n－3)＋c3(n－4)＋…＋cn(－1) ＝－2n，① 則c1(n－1)＋c2(n－2)＋c3(n－3)＋…＋cn＋1(－1) ＝－2(n＋1)，② 由②－①，得c1＋c2

5、＋c3＋…＋cn－cn＋1＝－2，③ 所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＋cn＋1－cn＋2＝－2，④ 再由④－③，得2cn＋1＝cn＋2，即＝2(n∈N*)， 所以當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{cn}為等比數(shù)列， 又由①式，可得c1＝2，c2＝4，則＝2， 所以數(shù)列{cn}一定是等比數(shù)列，且cn＝2n． 4．(xx·貴陽市適應(yīng)性考試) 如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2＝2py(p＞0)上． (1)求拋物線E的方程； (2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y＝－1相交于點(diǎn)Q，以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上某定點(diǎn)M，若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請

6、說明理由． 解：(1)依題意|OB|＝8，據(jù)對稱性知∠BOy＝30°． 設(shè)點(diǎn)B(x，y)，則x＝8×sin 30°＝4， y＝8×cos 30°＝12， 所以B(4，12)在拋物線上， 所以(4)2＝2p×12，解得p＝2， 拋物線E的方程為x2＝4y． (2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠0)，因?yàn)閥＝x2，y′＝x， 直線l的方程為y－y0＝x0(x－x0)， 即y＝x0x－x． 由，得，所以Q(，－1)． 設(shè)滿足條件的定點(diǎn)M存在，坐標(biāo)為M(0，y1)， 所以＝(x0，y0－y1)，＝(，－1－y1)， 又因?yàn)椤ぃ?， 所以－y0－y0y1＋y1＋y＝0，又y0＝x(x0≠0)，聯(lián)立解得y1＝1， 故以PQ為直徑的圓過y軸上的定點(diǎn)M(0，1)．