2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.1 曲線與方程講義（含解析）蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第2章 圓錐曲線與方程 2.6 曲線與方程 2.6.1 曲線與方程講義（含解析）蘇教版選修2-1 在平面直角坐標(biāo)系中，到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程中． 問題1：直線y＝x上任一點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等嗎？ 提示：相等． 問題2：到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)都在直線y＝x上，對嗎？ 提示：不對． 問題3：到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是什么？ 提示：y＝±x. 曲線的方程和方程的曲線 如果曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，那么，方程f(

2、x，y)＝0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線． 正確理解曲線與方程的概念 (1)定義中的條件(1)闡明了曲線具有純粹性(或方程具有完備性)，即曲線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都適合這個(gè)方程而毫無例外；條件(2)闡明了曲線具有完備性(或方程具有純粹性)，即適合條件的點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏． (2)曲線的方程和方程的曲線是兩個(gè)不同的概念，曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系，而方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形． 曲線與方程的概念 [例1]　如果曲線C上的點(diǎn)滿足方程F(x，y)＝0，有以下說法： ①曲線C的方程是F(x，y)＝0； ②方

3、程F(x，y)＝0的曲線是C； ③坐標(biāo)滿足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)在曲線C上； ④坐標(biāo)不滿足方程F(x，y)＝0的點(diǎn)不在曲線C上． 其中正確的是________．(填序號) [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)曲線與方程的概念進(jìn)行判斷． [精解詳析]　依據(jù)曲線的方程及方程的曲線的定義，曲線上的點(diǎn)應(yīng)具備純粹性和完備性．由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性． [答案]?、? [一點(diǎn)通]　判定曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，必須注意兩點(diǎn)： (1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有

4、點(diǎn)和解一一對應(yīng)，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程． 1．判斷下列結(jié)論的正誤，并說明理由． (1)過點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x＝3； (2)到y(tǒng)軸距離為2的點(diǎn)的直線方程為x＝－2. 解：(1)正確．理由如下： ∵滿足曲線方程的定義． ∴結(jié)論正確． (2)錯(cuò)誤．理由如下： ∵到y(tǒng)軸距離為2的點(diǎn)的直線方程還有一個(gè)， ∴結(jié)論錯(cuò)誤． 2. 下列方程表示如圖所示的直線c，對嗎？為什么？ (1)－＝0； (2)x2－y2＝0； (3)|x|－y＝0. 解：第(1)題中，曲線C上的點(diǎn)不全都是方程－＝0的解，如點(diǎn)(－1，－1)等，即不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)

5、都是方程的解”這一結(jié)論； 第(2)題中，盡管“曲線C上的坐標(biāo)都是方程的解”，但以方程x2－y2＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不全在曲線C上，如點(diǎn)(2，－2)等，即不符合“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”這一結(jié)論； 第(3)題中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”．事實(shí)上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲線應(yīng)該是下圖的三種情況： 點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系 [例2]　方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲線經(jīng)過點(diǎn)A(0，－3)、B(0,4)、C、D(8,0)中的________個(gè)． [思路點(diǎn)撥]　方程表

6、示兩條直線x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但應(yīng)注意對數(shù)的真數(shù)大于0，即x＋2y>0. [精解詳析]　由對數(shù)的真數(shù)大于0，得x＋2y>0， ∴A(0，－3)、C(，－)不符合要求； 將B(0,4)代入方程檢驗(yàn)，符合要求；將D(8,0)代入方程檢驗(yàn)，符合要求． [答案]　2 [一點(diǎn)通]　點(diǎn)與實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：C上的點(diǎn)(x0，y0)f(x，y)＝0的解，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，因此要判斷點(diǎn)是否在曲線上只需驗(yàn)證該點(diǎn)是否滿足方程即可． 3．已知直線l：x＋y＋3＝0，曲線C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，則點(diǎn)P與l、C的關(guān)系是________．

7、 解析：由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P?l； 又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4， ∴點(diǎn)P在曲線C上，即P∈C. 答案：P?l，P∈C 4．證明圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程是x2＋y2＝25，并判斷點(diǎn)M1(3，－4)、M2(－2，2)是否在這個(gè)圓上． 解：(1)設(shè)M(x0，y0)是圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M到原點(diǎn)的距離等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解． (2)設(shè)(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，兩邊開方取算術(shù)平方根，得＝5，即點(diǎn)M(x0，y0)到原點(diǎn)的距離等于5，點(diǎn)M(x0，y0)是這個(gè)圓上的點(diǎn)．

8、 由(1)、(2)可知，x2＋y2＝25是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑等于5的圓的方程． 把點(diǎn)M1(3，－4)的坐標(biāo)代入方程x2＋y2＝25，左右兩邊相等，(3，－4)是方程的解，所以點(diǎn)M1在這個(gè)圓上；把點(diǎn)M2(－2，2)的坐標(biāo)代入方程x2＋y2＝25，左右兩邊不等，(－2，2)不是方程的解，所以點(diǎn)M2不在這個(gè)圓上． 坐標(biāo)法在求曲線的方程中的應(yīng)用 [例3]　 如圖，雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25 m，高為55 m．試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1 m)． [思路點(diǎn)撥]　按照對

9、稱建系，把中心放在坐標(biāo)原點(diǎn)上，焦點(diǎn)放在坐標(biāo)軸上，然后用待定系數(shù)法求解． [精解詳析]　 如圖，建立冷卻塔的軸截面所在平面的直角坐標(biāo)系xOy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合．這時(shí)，上、下口的直徑CC′，BB′都平行于x軸，且CC′＝13×2，BB′＝25×2. 設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，易知a＝12，令點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13，y)， 則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(25，y－55)． 因?yàn)辄c(diǎn)B，C在雙曲線上，所以 由方程②，得y＝(負(fù)值舍去)，代入方程①，得 －＝1， 化簡得19b2＋275b－18 150＝0.③ 用計(jì)算器解方程③，得b≈25. 所以，所求雙曲線的

10、方程為－＝1. [一點(diǎn)通]　對于此類已知曲線類型求曲線方程的實(shí)際應(yīng)用問題，求解的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用待定系數(shù)法求解．采用此法要善于聯(lián)系平面圖形的性質(zhì)，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系． 5.一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖，衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，已知接收天線的口徑為4.8 m，深度為0.5 m．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解： 如圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合． 設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2＝2px(p＞0)． 由已知條件可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0.5，2.

11、4)，代入方程，得2.42＝2p×0.5， 即p＝5.76. 所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝11.52x. 1．理解曲線的方程與方程的曲線的概念必須注意： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解． (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，二者缺一不可． 2．點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件是f(x0，y0)＝0. [對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十五)]　 1．曲線C的方程為y＝x(1≤x≤5)，則下列四點(diǎn)中在曲線C上的序號是________． ①(0,0)；②；③(1,5)；④(4,4)． 解析：∵y＝x(1≤x≤5)， ∴(4,4

12、)在曲線C上． 答案：④ 2．若P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上，則a的值為________． 解析：∵P(2，－3)在曲線x2－ay2＝1上， ∴4－9a＝1，解得a＝. 答案： 3．以下各組方程表示的曲線相同的是________(填序號)． ①x2＝y(tǒng)2與y＝|x|?、趛＝與y＝10lg x ③xy＝1與y＝?、埽?與＝1 解析：①、②、③中方程表示的曲線不相同． 答案：④ 4．方程(x＋y－1)＝0所表示的曲線是________． 解析：由題意，得或x＝1，故方程表示的是一條射線與一條直線． 答案：一條射線與一條直線 5．若點(diǎn)M(m，m)在曲線x－y2＝

13、0上，則m的值為________． 解析：∵點(diǎn)M在曲線x－y2＝0上， ∴m－m2＝0， 解得m＝0或m＝1. 答案：0或1 6．下列命題是否正確？若不正確，說明原因． (1)過點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線l的方程是|x|＝2； (2)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是y＝x. 解：(1)錯(cuò)誤，因?yàn)橐苑匠蘾x|＝2的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，不都在直線l上，直線l只是方程|x|＝2所表示的圖形的一部分． (2)錯(cuò)誤，因?yàn)榈絻勺鴺?biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡有兩條直線y＝x和y＝－x，故命題錯(cuò)誤． 7．已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判斷P(1，－2)，Q(，3)兩點(diǎn)是否在此方程表

14、示的曲線上； (2)若點(diǎn)M(，－m)在此方程表示的曲線上，求m的值． 解：(1)因?yàn)?2＋(－2－1)2＝10，而()2＋(3－1)2≠10.所以點(diǎn)P(1，－2)在方程表示的曲線上，點(diǎn)Q(，3)不在方程表示的曲線上． (2)因?yàn)辄c(diǎn)M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲線上，所以2＋(－m－1)2＝10， 解得m＝2或m＝－. 8. 如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1⊥l2，點(diǎn)N∈l1，以A、B為端點(diǎn)的曲線C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，AM＝，AN＝3，且BN＝6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程． 解：如圖，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．依題意可設(shè)曲線C的方程為y2＝2px(p>0)，則p＝MN. 由題意知x1≤x≤x2，y>0，其中x1、x2分別為A、B的橫坐標(biāo)． ∵M(jìn)、N， AM＝，AN＝3， ∴ 解得或 ∵△AMN為銳角三角形， ∴>x1，故舍去 ∴ 由點(diǎn)B在曲線C上，得x2＝BN－＝4. 綜上得，曲線C的方程為y2＝8x(1≤x≤4，y>0)．