2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題作業(yè)1 北師大版選修1 -1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.1 命題作業(yè)1 北師大版選修1 -1 1.命題“若a＞b，則2a＞2b”的否命題為(　　) A．若a＞b，則2a≤2b B．若a≤b，則2a≤2b C．若a≤b，則2a＞2b D．若a＞b，則2a＜2b 解析：選B.把條件和結(jié)論分別加以否定． 2.“若x＞1，則p”為真命題，那么p不能是(　　) A．x＞－1 B．x＞0 C．x＞1 D．x＞2 解析：選D.x＞1x＞2，故選D. 3.給出下列命題：①a＞|b|?a2＞b2；②a＞b?a3＞b3；③|a|＞b?a2＞b2.其中正確的個數(shù)是(　　) A．

2、0 B．2 C．1 D．3 解析：選B.由不等式的性質(zhì)可知①②正確．當(dāng)|a|≤|b|時，③不正確． 4.已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命題中的假命題是(　　) A．若a∥b，則α∥β B．若α⊥β，則a⊥b C．若a，b相交，則α，β相交 D．若α，β相交，則a，b相交 解析：選D.舉反例如圖，已知α，β為兩個不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于點(diǎn)A，b⊥β于點(diǎn)B，a與b異面．故“若α，β相交，則a，b相交”是假命題． 5.命題“如果a，b都是奇數(shù)，則ab必為奇數(shù)”的逆否命題是(　　) A．如果ab是奇數(shù)，則a，b都是奇

3、數(shù) B．如果ab不是奇數(shù)，則a，b不都是奇數(shù) C．如果a，b都是奇數(shù)，則ab不是奇數(shù) D．如果a，b不都是奇數(shù)，則ab不是奇數(shù) 解析：選B.先寫原命題的否命題為“如果a，b不都是奇數(shù)，則ab不是奇數(shù)，”再把否命題的條件和結(jié)論交換，得“如果ab不是奇數(shù)，則a、b不都是奇數(shù)”． 6.下列語句中是命題的有________，其中是真命題的有________(寫序號)． ①北京是中國的首都； ②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根； ③3n不是個大數(shù)； ④sin x＞－x2； ⑤0是自然數(shù)嗎？ ⑥我希望明年考上北京大學(xué)． 解析：①是命題，且是真命題． ②是命題，且是真命題． ③

4、不是命題，因?yàn)闊o法判斷其真假． ④不是命題，因?yàn)殡S著x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即無法判斷其真假． ⑤不是命題，因?yàn)樗且蓡柧洌? ⑥不是命題，因?yàn)樗瞧硎咕洌? 答案：①②　①② 7.命題“已知a、x為實(shí)數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題為________． 解析：先寫出逆命題，再把逆命題條件和結(jié)論交換即可． 答案：已知a、x為實(shí)數(shù)，如果a<1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為? 8.有下列四個命題： ①命題“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ②命題“面積相等的三角形全等”的否

5、命題； ③命題“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題； ④命題“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題． 其中是真命題的是________(填上正確命題的序號)． 解析：④中由A∩B＝B，應(yīng)該得出B?A，原命題為假命題，所以逆否命題為假命題． 答案：①②③ 9.判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，同時判斷這些命題的真假． (1)若a＞b，則ac2＞bc2； (2)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，則該二次函數(shù)圖像與x軸有公共點(diǎn)． 解：(1)該命題為假．因?yàn)楫?dāng)c＝0時，ac2＝bc2. 逆命題：若ac2＞bc2，則

6、a＞b，為真． 否命題：若a≤b，則ac2≤bc2，為真． 逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b，為假． (2)該命題為假．∵當(dāng)b2－4ac＜0時，二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)數(shù)根，因此二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸無公共點(diǎn)． 逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有公共點(diǎn)，則b2－4ac＜0，為假． 否命題：若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，則該二次函數(shù)圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，為假． 逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，則b2－4ac≥0，為假． 10.(1)如圖，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是平

7、面π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真． (2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需要證明)． 解：(1)證明：如圖，設(shè)c∩b＝A，P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，作PO⊥π，垂足為O，則O∈c， ∵PO⊥π，aπ，∴PO⊥a， 又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P， ∴a⊥平面PAO，又c平面PAO， ∴a⊥c. (2)逆命題為：a是平面π內(nèi)的一條直線，b是平面π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在平面π上的投影，若a⊥c，則a⊥b.逆命題為真命題． [能力提升] 1.(2014·衡水高二檢測)下列命題正確的

8、個數(shù)為(　　) ①已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，則3x－y的范圍是[1，7]； ②若不等式2x－1＞m(x2－1)對滿足|m|≤2的所有m都成立，則x的范圍是(，)； ③如果正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是[8，＋∞)； ④a＝log2，b＝log3，c＝()0.5的大小關(guān)系是a＞b＞c. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B.對①，令3x－y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，得，∴ ∴(3x－y)min＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x－y)max＝1×1＋2×3＝7， ∴3x－y∈[1，7]，①正確；

9、對②，令f(m)＝(x2－1)m－2x＋1，由題意f(m)＜0在[－2，2]上恒成立，即， 解得＜x＜，②正確； 對③，∵a，b∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2，由ab＝a＋b＋3，得ab≥2＋3. 即()2－2－3≥0，解得≥3或≤－1(舍)，∴ab≥9，③不正確； 對④，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴④不正確． 2. 設(shè)p：平面向量a，b，c互不共線，q表示下列不同的結(jié)論： ①|(zhì)a＋b|＜|a|＋|b|.②a·b＝|a|·|b|. ③(a·b)c－(a·c)b與a垂直．④(a·b)c＝a(b·c)． 其中，使命題“若p，則q”為真命題的所有序號是________． 解析：由于p

10、：平面向量a，b，c互不共線， 則必有|a＋b|＜|a|＋|b|，①正確； 由于a·b＝|a||b|cos θ＜|a||b|，②不正確； 由于[(a·b)c－(a·c)b]·a＝(a·b)(c·a)－(a·c)(b·a)＝0，所以(a·b)c－(a·c)b與a垂直，③正確； 由于平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，且a，b，c互不共線，故(a·b)c≠a(b·c)，④不正確． 綜上可知真命題的序號是①③. 答案：①③ 3.求證：若p2＋q2＝2，則p＋q≤2. 證明：該命題的逆否命題為：若p＋q＞2，則p2＋q2≠2. p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2. ∵p＋q＞2，∴(p＋q)2＞4，∴p2＋q2＞2. 即p＋q＞2時，p2＋q2≠2成立． ∴若p2＋q2＝2，則p＋q≤2. 4．已知命題p：lg(x2－2x－2)≥0；命題q：1－x＋＜1，若命題p是真命題，命題q是假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． 解：由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1， 即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3. 由1－x＋＜1， 得x2－4x＜0，解得0＜x＜4. 因?yàn)槊}p為真命題，命題q為假命題， 所以，解得x≤－1或x≥4. 所以，滿足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，－1]∪[4，＋∞)．