（魯京遼）2018-2019學年高中數學 第一章 立體幾何初步 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺和球學案 新人教B版必修2

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1、 1.1.3　圓柱、圓錐、圓臺和球 學習目標　1.認識組成我們生活世界的各種各樣的旋轉體.2.認識和把握圓柱、圓錐、圓臺、球體的幾何結構特征． 知識點一　圓柱、圓錐、圓臺 圓柱、圓錐、圓臺的定義及結構特征 (1)定義 分別看作以所在的直線為旋轉軸，將 分別旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體→這類幾何體叫旋轉體． (2)相關概念 ①高：在軸上的這條邊(或它的長度)． ②底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面． ③側面：不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面． ④母線：繞軸旋轉的邊． (3)圖形表示 知識點二　球 1．定義：一個球面可以看作半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所

2、形成的曲面，球面圍成的幾何體叫做球． 2．相關概念 (1)球心：形成球的半圓的圓心；球的半徑：連接球心和球面上一點的線段． (2)球的直徑：連接球面上兩點并且通過球心的線段． (3)球的大圓：球面被經過球心的平面截得的圓． (4)球的小圓：球面被不經過球心的平面截得的圓． (5)兩點的球面距離：在球面上，兩點之間的最短距離，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，把這個弧長叫做兩點的球面距離． 3．球形表示 特別提醒：球與球面是完全不同的兩個概念，球指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分． 知識點三　旋轉體 1．定義：由一個平面圖形繞著一條直線旋轉產生的曲面

3、所圍成的幾何體． 2．軸：這條直線叫做旋轉體的軸． 知識點四　組合體 思考　組合體是由簡單幾何體堆砌(或疊加)而成的嗎？ 答案　不是，組合體的組合方式有多種，可以堆砌，可以挖空等． 梳理　由柱、錐、臺、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體． 1．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺．(　√　) 2．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是一圓柱．(　×　) 3．半圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成球．(　×　) 類型一　旋轉體的結構特征 例1　下列命題正確的是________．(填序號) ①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐； ②以直角梯形的一腰所

4、在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的幾何體是圓錐； ⑤半圓面繞其直徑所在直線旋轉一周形成球； ⑥用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面． 答案?、堍茛? 解析　①以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉一周才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉一周可得到圓臺；③它們的底面為圓面；④⑤⑥正確． 反思與感悟　(1)判斷簡單旋轉體結構特征的方法 ①明確由哪個平面圖形旋轉而成． ②明確旋轉軸是哪條直線． (2)簡單旋轉體的軸截面及其應用 ①簡單旋轉體的軸

5、截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量． ②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想． 跟蹤訓練1　下列命題： ①圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個； ②用任意一個平面去截圓錐得到的截面一定是一個圓； ③圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交也可能不相交； ④球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段． 其中正確的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析?、阱e誤，截面可能是一個三角形；③錯誤，圓臺的任意兩條母線的延長線必相交于一點；①④正確．故選C. 類型二　簡單組合體的結構特征 例2　如圖所示，已知

6、AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰．分別以AB，CD，AD為軸旋轉，試說明所得幾何體的結構特征． 解　(1)以AB邊為軸旋轉所得旋轉體是圓臺，如圖(1)所示． (2)以CD邊為軸旋轉所得旋轉體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐．如圖(2)所示． (3)以AD邊為軸旋轉得到一個組合體，它是一個圓柱上部挖去一個圓錐．如圖(3)所示． 反思與感悟　(1)平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉時，要過有關頂點向軸作垂線，然后想象所得旋轉體的結構和組成． (2)必要時作模型，培養(yǎng)動手能力． 跟蹤訓練2　如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪

7、些簡單幾何體組成的？ 解　圖(1)、圖(2)旋轉后的圖形如圖所示分別是圖①、圖②.其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的． 類型三　旋轉體中的有關計算 命題角度1　有關圓柱、圓錐、圓臺的計算 例3　一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2，求： (1)圓臺的高； (2)將圓臺還原為圓錐后，圓錐的母線長． 解　(1)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)． 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由題意知，腰長為

8、12 cm， 所以高AM＝ ＝3(cm)． (2)如圖所示，延長BA，OO1，CD交于點S， 設截得此圓臺的圓錐的母線長為l， 則由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm. 即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm. 反思與感悟　用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的經過旋轉軸的截面(軸截面)的性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方程組而得解． 跟蹤訓練3　如圖，在底面半徑為2，母線長為4的圓錐中內接一個高為的圓柱，求圓柱的底面半徑． 解　設圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，則由三角

9、形相似， 得＝， 即1－＝，解得r＝1. 即圓柱的底面半徑為1. 命題角度2　球的截面的有關計算 例4　在球內有相距9 cm的兩個平行截面面積分別為49π cm2和400π cm2，求此球的半徑． 解　①若兩截面位于球心的同側，如圖(1)所示的是經過球心O的大圓截面，C，C1分別是兩平行截面的圓心，設球的半徑為R cm，截面圓的半徑分別為r cm，r1 cm. 由πr＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)， 由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)． 在Rt△OB1C1中，OC1＝＝， 在Rt△OBC中，OC＝＝. 由題意可知OC1－OC＝9，即－＝9， 解

10、此方程，取正值得R＝25. ②若球心在兩截面之間，如圖(2)所示，OC1＝，OC＝. 由題意可知OC1＋OC＝9，即＋＝9. 整理，得＝－15，此方程無解，這說明第二種情況不存在． 綜上所述，此球的半徑為25 cm. 引申探究 若將把本例的條件改為“球的半徑為5，兩個平行截面的周長分別為6π和8π”，則兩平行截面間的距離是________． 答案　1或7 解析　畫出球的截面圖，如圖所示． 兩平行直線是球的兩個平行截面的直徑，有兩種情形： ①兩個平行截面在球心的兩側， ②兩個平行截面在球心的同側． 對于①，m＝＝4，n＝＝3， 兩平行截面間的距離是m＋n＝7；

11、 對于②，兩平行截面間的距離是m－n＝1. 反思與感悟　設球的截面圓上一點A，球心為O，截面圓心為O1，則△AO1O是以O1為直角頂點的直角三角形，解答球的截面問題時，常用該直角三角形或者用過球心和截面圓心的軸截面求解． 跟蹤訓練4　設地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩地，它們在緯度圈上的弧長等于πR.求A，B兩地間的球面距離． 解　如圖所示，A，B是北緯45°圈上的兩點，AO′為它的半徑，O為地球的球心， ∴OO ′⊥AO′，OO′⊥BO′. ∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°， ∴AO′＝BO′＝OA·cos 45°＝R. 設∠AO′B的度數為α， 則·AO′＝·R

12、＝πR，∴α＝90°. ∴AB＝＝ ＝R. 在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R，則△AOB為正三角形， ∴∠AOB＝60°. ∴A，B兩地間的球面距離為＝R. 1．下列幾何體是臺體的是(　　) 考點　圓臺的結構特征 題點　圓臺的概念的應用 答案　D 解析　臺體包括棱臺和圓臺兩種，A的錯誤在于四條側棱沒有交于一點，B的錯誤在于截面與圓錐底面不平行．C是棱錐，結合棱臺和圓臺的定義可知D正確． 2．下列選項中的三角形繞直線l旋轉一周，能得到如下圖中的幾何體的是(　　) 答案　B 解析　由題意知，所得幾何體是組合體，上、下各一圓錐，顯然B正確． 3．下面幾何體

13、的截面一定是圓面的是(　　) A．圓臺 B．球 C．圓柱 D．棱柱 答案　B 解析　截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球． 4．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的母線長為________． 考點　圓錐的結構特征 題點　與圓錐有關的運算 答案　2 解析　如圖所示，設等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長即為△ABC的邊長，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.故圓錐的母線長為2. 5．湖面上浮著一個球，湖水結冰后，將球取出，冰上留下一個直徑為24 cm，深為8 cm的空穴，則球的半徑為______

14、__ cm. 答案　13 解析　設球的半徑為R cm， 由題意知，截面圓的半徑r＝12 cm，球心距d＝(R－8)cm， 由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2， 即208－16R＝0，解得R＝13 cm. 1．圓柱、圓錐、圓臺的關系如圖所示． 2．處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想． 3．處理組合體問題常采用分割思想． 4．重視圓柱、圓錐、圓臺的軸截面在解決幾何問題中的特殊作用，切實體會空間幾何平面化的思想. 一、選擇題 1．下列幾何體中不是旋轉體的是(　　) 答案　D 2．下列說法正確的是(　　) A．到定點的距離等于定長的點的集合是

15、球 B．球面上不同的三點可能在同一條直線上 C．用一個平面截球，其截面是一個圓 D．球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面 考點　球的結構特征 題點　球的概念的應用 答案　D 解析　對于A，球是球體的簡稱，球體的外表面我們稱之為球面，球面是一個曲面，是空心的，而球是幾何體，是實心的，故A錯；對于B，球面上不同的三點一定不共線，故B錯；對于C，用一個平面截球，其截面是一個圓面，而不是一個圓，故C錯，故選D. 3．一個圓柱的母線長為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積為(　　) A．10 B．20 C．40 D．15 答案　B 4．一個圓錐的母線長為20 c

16、m，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為(　　) A．10 cm B．20 cm C．20 cm D．10 cm 答案　A 解析　如圖所示，在Rt△ABO中，AB＝20 cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos 30°＝20·＝10(cm)． 5．如果圓臺兩底面的半徑分別是7和1，則與兩底面平行且等距離的截面面積是(　　) A．24π B．16π C．8π D．4π 答案　B 解析　截面圓的半徑為＝4， 面積為πr2＝16π. 6.如圖所示的幾何體，關于其結構特征，下列說法不正確的是(　　) A．該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的 B．該幾何

17、體有12條棱、6個頂點 C．該幾何體有8個面，并且各面均為三角形 D．該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形 答案　D 解析　其中ABCD不是面，該幾何體有8個面． 7．用一張長為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側面，則相應圓柱的底面半徑是(　　) A．2 B．2π C.或 D.或 答案　C 解析　如圖所示，設底面半徑為r，若矩形的長8為卷成圓柱底面的周長，則2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的寬4為卷成圓柱的底面周長，則2πr＝4，所以r＝，故選C. 8.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為(　　) A．一個球體 B

18、．一個球體中間挖去一個圓柱 C．一個圓柱 D．一個球體中間挖去一個長方體 答案　B 解析　圓面繞著直徑所在的軸，旋轉而形成球，矩形繞著軸旋轉而形成圓柱. 故選B. 二、填空題 9．正方形繞其一條對角線所在直線旋轉一周，所得幾何體是________． 答案　兩個圓錐 解析　連接正方形的兩條對角線知對角線互相垂直，故繞對角線所在直線旋轉一周形成兩個底面相同的圓錐． 10．若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是________． 答案　2 解析　設圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h＝， ∴由題意可知·2r·h＝r＝8， ∴r2＝8，∴h＝2. 11．若一

19、個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的高為________． 考點　圓錐的結構特征 題點　與圓錐有關的運算 答案　 解析　由題意知一個圓錐的側面展開圖是面積為2π的半圓面，因為4π＝πl(wèi)2，所以母線長為l＝2，又半圓的弧長為2π，圓錐的底面的周長為2πr＝2π，所以底面圓半徑為r＝1，所以該圓錐的高為h＝＝＝ . 三、解答題 12．A，B，C是球面上三點，已知弦(連接球面上兩點的線段)AB＝18 cm，BC＝24 cm，AC＝30 cm，平面ABC與球心的距離恰好為球半徑R的一半，求球的半徑． 解　如圖所示， 因為AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三

20、角形． 所以△ABC的外接圓圓心O1是AC的中點． 過A，B，C三點的平面截球O得圓O1的半徑為 r＝15 cm. 在Rt△OO1C中，R2＝2＋r2. 所以R2＝＋152，所以R2＝300， 所以R＝10(cm)． 即球的半徑為10 cm. 13．圓臺側面的母線長為2a，母線與軸的夾角為30°，一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍．求兩底面的半徑與兩底面面積之和． 解　設圓臺上底面半徑為r，則下底面半徑為2r，圓臺上底面面積為S1，下底面面積為S2，兩底面面積之和為S. 如圖所示，∠ASO＝30°， 在Rt△SO′A′中，＝sin 30°， ∴SA′＝2r.在Rt

21、△SOA中，＝sin 30°，∴SA＝4r. 又SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a. ∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. ∴圓臺上底面半徑為a，下底面半徑為2a，兩底面面積之和為5πa2. 四、探究與拓展 14．一個正方體內有一個內切球，作正方體的對角面，所得截面圖形是下圖中的(　　) 答案　B 解析　由組合體的結構特征知，球與正方體各面相切，與各棱相離，故選B. 15．圓臺的上、下底面半徑分別為5 cm,10 cm，母線長AB＝20 cm，從圓臺母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A，求： (1)繩子的最短長度； (2)

22、在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離． 考點　圓臺的結構特征 題點　與圓臺有關的運算 解　(1)如圖所示，將側面展開，繩子的最短距離為側面展開圖中AM的長度， 設OB＝l， 則θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10， 解得θ＝，l＝20 cm. ∴OA＝40 cm，OM＝30 cm. ∴AM＝＝50 cm. 即繩子最短長度為50 cm. (2)作OQ⊥AM于點Q，交弧BB′于點P， 則PQ為所求的最短距離． ∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離為4 cm. 14