（魯京遼）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球?qū)W案 新人教B版必修2

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1、 1.1.3　圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.認(rèn)識(shí)組成我們生活世界的各種各樣的旋轉(zhuǎn)體.2.認(rèn)識(shí)和把握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球體的幾何結(jié)構(gòu)特征． 知識(shí)點(diǎn)一　圓柱、圓錐、圓臺(tái) 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征 (1)定義 分別看作以所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將 分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體→這類幾何體叫旋轉(zhuǎn)體． (2)相關(guān)概念 ①高：在軸上的這條邊(或它的長(zhǎng)度)． ②底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面． ③側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面． ④母線：繞軸旋轉(zhuǎn)的邊． (3)圖形表示 知識(shí)點(diǎn)二　球 1．定義：一個(gè)球面可以看作半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所

2、形成的曲面，球面圍成的幾何體叫做球． 2．相關(guān)概念 (1)球心：形成球的半圓的圓心；球的半徑：連接球心和球面上一點(diǎn)的線段． (2)球的直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且通過(guò)球心的線段． (3)球的大圓：球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓． (4)球的小圓：球面被不經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓． (5)兩點(diǎn)的球面距離：在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離． 3．球形表示 特別提醒：球與球面是完全不同的兩個(gè)概念，球指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分． 知識(shí)點(diǎn)三　旋轉(zhuǎn)體 1．定義：由一個(gè)平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面

3、所圍成的幾何體． 2．軸：這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸． 知識(shí)點(diǎn)四　組合體 思考　組合體是由簡(jiǎn)單幾何體堆砌(或疊加)而成的嗎？ 答案　不是，組合體的組合方式有多種，可以堆砌，可以挖空等． 梳理　由柱、錐、臺(tái)、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體． 1．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)．(　√　) 2．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體是一圓柱．(　×　) 3．半圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球．(　×　) 類型一　旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 例1　下列命題正確的是________．(填序號(hào)) ①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰所

4、在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； ③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓； ④以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐； ⑤半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球； ⑥用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面． 答案　④⑤⑥ 解析?、僖灾苯侨切蔚囊粭l直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；③它們的底面為圓面；④⑤⑥正確． 反思與感悟　(1)判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法 ①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成． ②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線． (2)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用 ①簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸

5、截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量． ②在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問(wèn)題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想． 跟蹤訓(xùn)練1　下列命題： ①圓柱的軸截面是過(guò)母線的截面中最大的一個(gè)； ②用任意一個(gè)平面去截圓錐得到的截面一定是一個(gè)圓； ③圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線，可能相交也可能不相交； ④球的半徑是球面上任意一點(diǎn)與球心的連線段． 其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析?、阱e(cuò)誤，截面可能是一個(gè)三角形；③錯(cuò)誤，圓臺(tái)的任意兩條母線的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)；①④正確．故選C. 類型二　簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征 例2　如圖所示，已知

6、AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰．分別以AB，CD，AD為軸旋轉(zhuǎn)，試說(shuō)明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征． 解　(1)以AB邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，如圖(1)所示． (2)以CD邊為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)小圓錐．如圖(2)所示． (3)以AD邊為軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)組合體，它是一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐．如圖(3)所示． 反思與感悟　(1)平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，要過(guò)有關(guān)頂點(diǎn)向軸作垂線，然后想象所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成． (2)必要時(shí)作模型，培養(yǎng)動(dòng)手能力． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪

7、些簡(jiǎn)單幾何體組成的？ 解　圖(1)、圖(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示分別是圖①、圖②.其中圖①是由一個(gè)圓柱O1O2和兩個(gè)圓臺(tái)O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個(gè)圓錐O5O4，一個(gè)圓柱O3O4及一個(gè)圓臺(tái)O1O3中挖去圓錐O2O1組成的． 類型三　旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算 命題角度1　有關(guān)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算 例3　一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2，求： (1)圓臺(tái)的高； (2)將圓臺(tái)還原為圓錐后，圓錐的母線長(zhǎng)． 解　(1)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)． 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由題意知，腰長(zhǎng)為

8、12 cm， 所以高AM＝ ＝3(cm)． (2)如圖所示，延長(zhǎng)BA，OO1，CD交于點(diǎn)S， 設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l， 則由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm. 即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20 cm. 反思與感悟　用平行于底面的平面去截柱、錐、臺(tái)等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的截面(軸截面)的性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，構(gòu)設(shè)相關(guān)幾何變量的方程組而得解． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的底面半徑． 解　設(shè)圓錐的底面半徑為R，圓柱的底面半徑為r，則由三角

9、形相似， 得＝， 即1－＝，解得r＝1. 即圓柱的底面半徑為1. 命題角度2　球的截面的有關(guān)計(jì)算 例4　在球內(nèi)有相距9 cm的兩個(gè)平行截面面積分別為49π cm2和400π cm2，求此球的半徑． 解?、偃魞山孛嫖挥谇蛐牡耐瑐?cè)，如圖(1)所示的是經(jīng)過(guò)球心O的大圓截面，C，C1分別是兩平行截面的圓心，設(shè)球的半徑為R cm，截面圓的半徑分別為r cm，r1 cm. 由πr＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)， 由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)． 在Rt△OB1C1中，OC1＝＝， 在Rt△OBC中，OC＝＝. 由題意可知OC1－OC＝9，即－＝9， 解

10、此方程，取正值得R＝25. ②若球心在兩截面之間，如圖(2)所示，OC1＝，OC＝. 由題意可知OC1＋OC＝9，即＋＝9. 整理，得＝－15，此方程無(wú)解，這說(shuō)明第二種情況不存在． 綜上所述，此球的半徑為25 cm. 引申探究 若將把本例的條件改為“球的半徑為5，兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別為6π和8π”，則兩平行截面間的距離是________． 答案　1或7 解析　畫(huà)出球的截面圖，如圖所示． 兩平行直線是球的兩個(gè)平行截面的直徑，有兩種情形： ①兩個(gè)平行截面在球心的兩側(cè)， ②兩個(gè)平行截面在球心的同側(cè)． 對(duì)于①，m＝＝4，n＝＝3， 兩平行截面間的距離是m＋n＝7；

11、 對(duì)于②，兩平行截面間的距離是m－n＝1. 反思與感悟　設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A，球心為O，截面圓心為O1，則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形，解答球的截面問(wèn)題時(shí)，常用該直角三角形或者用過(guò)球心和截面圓心的軸截面求解． 跟蹤訓(xùn)練4　設(shè)地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩地，它們?cè)诰暥热ι系幕￠L(zhǎng)等于πR.求A，B兩地間的球面距離． 解　如圖所示，A，B是北緯45°圈上的兩點(diǎn)，AO′為它的半徑，O為地球的球心， ∴OO ′⊥AO′，OO′⊥BO′. ∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°， ∴AO′＝BO′＝OA·cos 45°＝R. 設(shè)∠AO′B的度數(shù)為α， 則·AO′＝·R

12、＝πR，∴α＝90°. ∴AB＝＝ ＝R. 在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R，則△AOB為正三角形， ∴∠AOB＝60°. ∴A，B兩地間的球面距離為＝R. 1．下列幾何體是臺(tái)體的是(　　) 考點(diǎn)　圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn)　圓臺(tái)的概念的應(yīng)用 答案　D 解析　臺(tái)體包括棱臺(tái)和圓臺(tái)兩種，A的錯(cuò)誤在于四條側(cè)棱沒(méi)有交于一點(diǎn)，B的錯(cuò)誤在于截面與圓錐底面不平行．C是棱錐，結(jié)合棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義可知D正確． 2．下列選項(xiàng)中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，能得到如下圖中的幾何體的是(　　) 答案　B 解析　由題意知，所得幾何體是組合體，上、下各一圓錐，顯然B正確． 3．下面幾何體

13、的截面一定是圓面的是(　　) A．圓臺(tái) B．球 C．圓柱 D．棱柱 答案　B 解析　截面可以從各個(gè)不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球． 4．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　圓錐的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn)　與圓錐有關(guān)的運(yùn)算 答案　2 解析　如圖所示，設(shè)等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長(zhǎng)即為△ABC的邊長(zhǎng)，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.故圓錐的母線長(zhǎng)為2. 5．湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后，將球取出，冰上留下一個(gè)直徑為24 cm，深為8 cm的空穴，則球的半徑為_(kāi)_____

14、__ cm. 答案　13 解析　設(shè)球的半徑為R cm， 由題意知，截面圓的半徑r＝12 cm，球心距d＝(R－8)cm， 由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2， 即208－16R＝0，解得R＝13 cm. 1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示． 2．處理臺(tái)體問(wèn)題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想． 3．處理組合體問(wèn)題常采用分割思想． 4．重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何問(wèn)題中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)空間幾何平面化的思想. 一、選擇題 1．下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是(　　) 答案　D 2．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是

15、球 B．球面上不同的三點(diǎn)可能在同一條直線上 C．用一個(gè)平面截球，其截面是一個(gè)圓 D．球心與截面圓心(截面不過(guò)球心)的連線垂直于該截面 考點(diǎn)　球的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn)　球的概念的應(yīng)用 答案　D 解析　對(duì)于A，球是球體的簡(jiǎn)稱，球體的外表面我們稱之為球面，球面是一個(gè)曲面，是空心的，而球是幾何體，是實(shí)心的，故A錯(cuò)；對(duì)于B，球面上不同的三點(diǎn)一定不共線，故B錯(cuò)；對(duì)于C，用一個(gè)平面截球，其截面是一個(gè)圓面，而不是一個(gè)圓，故C錯(cuò)，故選D. 3．一個(gè)圓柱的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為2，則圓柱的軸截面的面積為(　　) A．10 B．20 C．40 D．15 答案　B 4．一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為20 c

16、m，母線與軸的夾角為30°，則圓錐的高為(　　) A．10 cm B．20 cm C．20 cm D．10 cm 答案　A 解析　如圖所示，在Rt△ABO中，AB＝20 cm，∠A＝30°，所以AO＝AB·cos 30°＝20·＝10(cm)． 5．如果圓臺(tái)兩底面的半徑分別是7和1，則與兩底面平行且等距離的截面面積是(　　) A．24π B．16π C．8π D．4π 答案　B 解析　截面圓的半徑為＝4， 面積為πr2＝16π. 6.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是(　　) A．該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的 B．該幾何

17、體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn) C．該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形 D．該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形 答案　D 解析　其中ABCD不是面，該幾何體有8個(gè)面． 7．用一張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則相應(yīng)圓柱的底面半徑是(　　) A．2 B．2π C.或 D.或 答案　C 解析　如圖所示，設(shè)底面半徑為r，若矩形的長(zhǎng)8為卷成圓柱底面的周長(zhǎng)，則2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的寬4為卷成圓柱的底面周長(zhǎng)，則2πr＝4，所以r＝，故選C. 8.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為(　　) A．一個(gè)球體 B

18、．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱 C．一個(gè)圓柱 D．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長(zhǎng)方體 答案　B 解析　圓面繞著直徑所在的軸，旋轉(zhuǎn)而形成球，矩形繞著軸旋轉(zhuǎn)而形成圓柱. 故選B. 二、填空題 9．正方形繞其一條對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是________． 答案　兩個(gè)圓錐 解析　連接正方形的兩條對(duì)角線知對(duì)角線互相垂直，故繞對(duì)角線所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)底面相同的圓錐． 10．若母線長(zhǎng)是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是________． 答案　2 解析　設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)＝， ∴由題意可知·2r·h＝r＝8， ∴r2＝8，∴h＝2. 11．若一

19、個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的高為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　圓錐的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn)　與圓錐有關(guān)的運(yùn)算 答案　 解析　由題意知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2π的半圓面，因?yàn)?π＝πl(wèi)2，所以母線長(zhǎng)為l＝2，又半圓的弧長(zhǎng)為2π，圓錐的底面的周長(zhǎng)為2πr＝2π，所以底面圓半徑為r＝1，所以該圓錐的高為h＝＝＝ . 三、解答題 12．A，B，C是球面上三點(diǎn)，已知弦(連接球面上兩點(diǎn)的線段)AB＝18 cm，BC＝24 cm，AC＝30 cm，平面ABC與球心的距離恰好為球半徑R的一半，求球的半徑． 解　如圖所示， 因?yàn)锳B2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三

20、角形． 所以△ABC的外接圓圓心O1是AC的中點(diǎn)． 過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面截球O得圓O1的半徑為 r＝15 cm. 在Rt△OO1C中，R2＝2＋r2. 所以R2＝＋152，所以R2＝300， 所以R＝10(cm)． 即球的半徑為10 cm. 13．圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為2a，母線與軸的夾角為30°，一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的2倍．求兩底面的半徑與兩底面面積之和． 解　設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為r，則下底面半徑為2r，圓臺(tái)上底面面積為S1，下底面面積為S2，兩底面面積之和為S. 如圖所示，∠ASO＝30°， 在Rt△SO′A′中，＝sin 30°， ∴SA′＝2r.在Rt

21、△SOA中，＝sin 30°，∴SA＝4r. 又SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a. ∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2. ∴圓臺(tái)上底面半徑為a，下底面半徑為2a，兩底面面積之和為5πa2. 四、探究與拓展 14．一個(gè)正方體內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，作正方體的對(duì)角面，所得截面圖形是下圖中的(　　) 答案　B 解析　由組合體的結(jié)構(gòu)特征知，球與正方體各面相切，與各棱相離，故選B. 15．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5 cm,10 cm，母線長(zhǎng)AB＝20 cm，從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求： (1)繩子的最短長(zhǎng)度； (2)

22、在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離． 考點(diǎn)　圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征 題點(diǎn)　與圓臺(tái)有關(guān)的運(yùn)算 解　(1)如圖所示，將側(cè)面展開(kāi)，繩子的最短距離為側(cè)面展開(kāi)圖中AM的長(zhǎng)度， 設(shè)OB＝l， 則θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10， 解得θ＝，l＝20 cm. ∴OA＝40 cm，OM＝30 cm. ∴AM＝＝50 cm. 即繩子最短長(zhǎng)度為50 cm. (2)作OQ⊥AM于點(diǎn)Q，交弧BB′于點(diǎn)P， 則PQ為所求的最短距離． ∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm. 故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即在繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離為4 cm. 14