（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)學案

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1、 第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　指數(shù)及指數(shù)運算 1．根式的概念 2．分數(shù)指數(shù)冪 (1)a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)； (2)a＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)； (3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． 3．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 考點2　指數(shù)函數(shù)及其性質 1．指數(shù)函數(shù)的概念 函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指

2、數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù)． 說明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù)． 2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質 底數(shù) a>1 00時，恒有y>1； 當x<0時，恒有00時，恒有01 函數(shù)在定義域R上為增函數(shù) 函數(shù)在定義域R上為減函數(shù) [必會結論] 1．()n＝a(n∈N*且n>1)． 2.＝n為偶數(shù)且n>1. 3．底數(shù)a的大小決定了圖象相對

3、位置的高低，不論是a＞1，還是0＜a＜1，在第一象限內底數(shù)越大，函數(shù)圖象越高． [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1) ＝π－4.(　　) (2)函數(shù)y＝a－x(a>0，且a≠1)是R上的增函數(shù)．(　　) (3)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (4)函數(shù)y＝ax與y＝a－x(a>0，且a≠1)的圖象關于y軸對稱．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．[課本改編]0－[1－(0.5)－2]÷的值為(　　) A．0 B. C．3 D．4 答案　C 解析　原式＝1－(1－4

4、)÷＝3.故選C. 3．[課本改編]函數(shù)f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的圖象必經過點(　　) A．(0,1) B．(1,1) C．(2,0) D．(2,2) 答案　D 解析　∵a0＝1故x－2＝0時f(x)＝2，即x＝2時f(x)＝2.故選D. 4．[2018·吉林模擬]已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.75，則(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 答案　A 解析　由0.2<0.75<1，并結合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.40.2>0.40.75，即b>c；因為a＝20.2>1，b＝0.40.2

5、<1，所以a>b.綜上，a>b>c. 5．[課本改編]函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖象為(　　) 答案　A 解析　∵f(x)＝21－x＝2·2－x.∴f(x)在R上為減函數(shù)，排除C，D；又f(0)＝21＝2>1，排除B.故選A. 6．[2018·南通調研]函數(shù)f(x)＝x2－2x的值域為________． 答案　(0,4] 解析　∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴0

6、3) ； 觸類旁通 指數(shù)冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算． (2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)． (4)若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質來解答． (5)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)，形式力求統(tǒng)一． 【變式訓練1】　(1)化簡： (a>0，b>0)； (2)計算：2×(×)6＋()－4×－×80.25＋(－2018)0. 考向　指數(shù)函數(shù)的圖象及應用 例　2　若

7、曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________． 答案　[－1,1] 解析　曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[－1，1]． 　若將本例中“|y|＝2x＋1”改為“y＝|2x－1|”，且與直線y＝b有兩個公共點，求b的取值范圍． 解　曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍是(0,1)． 若將本例改為：直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個公共點，

8、則a的取值范圍是什么？ 解　y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax先向下平移1個單位，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折過來得到的． 當a＞1時，兩圖象只有一個交點，不合題意，如圖(1)； 當0＜a＜1時，要使兩個圖象有兩個交點，則0＜2a＜1，得到0＜a＜，如圖(2)． 綜上，a的取值范圍是. 觸類旁通 指數(shù)函數(shù)圖象的應用技巧 對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論． 【變式訓練2】　[2018·廣東佛山模擬]已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，af(c

9、)>f(b)，則下列結論中，一定成立的是(　　) A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 答案　D 解析　作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象(如圖中實線所示)，又af(c)>f(b)，結合圖象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1,2c>1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1. 又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2. 考向　指數(shù)函數(shù)的性質及其應用 命題角度1　比較指數(shù)冪的大小 例　3　已知a＝，b＝2，c＝，則下列關系式中正

10、確的是(　　) A．c>，所以<<，即b0的解集是(　　) A．{x|x<－2或x>2} B．{x|x<－2或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<1或x>5} 答案　D 解析　當x≥0時，由f(x)＝3x－9>0得x>2，所以f(x)>0的解集為{x|x>2或x<－2}．將函數(shù)f(x)的圖象向右平移3個

11、單位，得到函數(shù)f(x－3)的圖象，所以不等式f(x－3)>0的解集為{x|x<1或x>5}．選D. 命題角度3　與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題 例　5　(1)[2018·桂林模擬]已知函數(shù)y＝2－x2＋ax＋1在區(qū)間(－∞，3)內單調遞增，則a的取值范圍為________． 答案　[6，＋∞) 解析　函數(shù)y＝2－x2＋ax＋1是由函數(shù)y＝2t和t＝－x2＋ax＋1復合而成．因為函數(shù)t＝－x2＋ax＋1在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，且函數(shù)y＝2t在R上單調遞增，所以函數(shù)y＝2－x2＋ax＋1在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．又因為函數(shù)y＝2－x2＋ax＋1在區(qū)間(－∞，3)內單調遞

12、增，所以3≤，即a≥6. (2)函數(shù)y＝x－x＋1在x∈[－3,2]上的值域為________． 答案　 解析　令t＝x，則y＝t2－t＋1＝2＋， ∵x∈[－3,2]，∴t∈，∴當t＝時，ymin＝. 當t＝8時，ymax＝57.所以函數(shù)的值域為. 觸類旁通 有關指數(shù)函數(shù)性質的問題類型及解題思路 (1)比較指數(shù)冪大小問題．常利用指數(shù)函數(shù)的單調性及中間值(0或1)． (2)簡單的指數(shù)不等式的求解問題．解決此類問題應利用指數(shù)函數(shù)的單調性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時進行分類討論． (3)求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調性等相關

13、性質，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題歸結為內層函數(shù)相關的問題加以解決． 核心規(guī)律 1.判斷指數(shù)函數(shù)圖象的底數(shù)大小的問題，可以通過令x＝1得到底數(shù)值，再進行大小比較． 2.指數(shù)型函數(shù)、方程及不等式問題，可以利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質求解． 滿分策略 1.解決指數(shù)函數(shù)有關問題時，若底數(shù)不確定，應注意對a>1及00，且a≠1)的函數(shù)、方程、不等式等問題，可以利用換元法求解．但一定要注意新元的范圍. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯警示系列2——

14、忽略指數(shù)函數(shù)底數(shù)的分類討論致誤 [2018·海南模擬]若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)·在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________. 錯因分析　誤認為a>1，只按一種情況求解，而忽略了01時，f(x)＝ax在[－1,2]上的最大值a2＝4得a＝2，最小值a－1＝m，即m＝，這時g(x)＝(1－4m)＝－在[

15、0，＋∞)上為減函數(shù)，不合題意，舍去，所以a＝. 答案　 答題啟示　由于指數(shù)函數(shù)y＝ax，當a>1時為增函數(shù)，當00，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________. 答案?。? 解析?、佼?1時，函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調遞增，由題意可得即顯然無解． 所以a＋b＝－. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎

16、達標] 1．[2015·山東高考]設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 答案　C 解析　函數(shù)y＝0.6x在定義域R上為單調遞減函數(shù)， ∴1＝0.60＞0.60.6＞0.61.5. 而函數(shù)y＝1.5x為單調遞增函數(shù)， ∴1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c. 2．函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結論正確的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0

17、 解析　由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調遞減，所以0

18、2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3. ∴f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7. 5．當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－2,1) B．(－4,3) C．(－1,2) D．(－3,4) 答案　C 解析　原不等式變形為m2－m0，且a≠1)的值域為[1，＋∞)，則

19、f(－4)與f(1)的關系是(　　) A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1) C．f(－4)1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由單調性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)． 7．[2018·北京模擬]函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)＝(　　) A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 答案　D 解析　與曲線y＝ex關于y軸對稱的曲線為y＝e－x，函數(shù)y＝e－x的圖象向左平移一個單位長度即可得到函數(shù)f(x)的圖象，即

20、f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故選D. 8．函數(shù)y＝x2＋2x－1的值域為________． 答案　(0,4] 解析　設t＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，則t≥－2. 因為y＝t是關于t的減函數(shù)，所以y≤－2＝4.又y>0，所以01時，y＝ax是增函數(shù)，∴a2－a＝，∴a＝.當0

21、______． 答案　2 解析　因為f(x)為奇函數(shù)，所以f＋f＝0，令h(x)＝，則h＋h＝＋＝2，所以g＋g＝2. [B級　知能提升] 1．[2018·廈門模擬]函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　) 答案　A 解析　將函數(shù)解析式與圖象對比分析，因為函數(shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個性質． 2．[2018·長春模擬]若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　D 解析　不等式2x(x－a)<1可變形為

22、x－a－1. 3．[2017·山東濟寧月考]已知函數(shù)f(x)＝(a－2)ax(a>0，且a≠1)，若對任意x1，x2∈R，>0，則a的取值范圍是________． 答案　(0,1)∪(2，＋∞) 解析　當02時，a－2>0，y＝ax單調遞增，所以f(x)單調遞增．又由題意知f(x)單調遞增

23、，故a的取值范圍是(0,1)∪(2，＋∞)． 4．如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 解　令t＝ax， 則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 當a>1時，因為x∈[－1,1]，所以t∈，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在上單調遞增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)． 當0

24、知函數(shù)f(x)＝ax2－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的單調區(qū)間； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 解　(1)當a＝－1時，f(x)＝－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2，＋∞)上單調遞減，而y＝t在R上單調遞減， 所以f(x)在(－∞，－2)上單調遞減，在(－2，＋∞)上單調遞增，即函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調遞減區(qū)間是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)應有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即當f(x)有最大值3時，a的值等于1. (3)由指數(shù)函數(shù)的性質知，要使f(x)＝g(x)的值域為(0，＋∞)．應使g(x)＝ax2－4x＋3的值域為R， 因此只能a＝0(因為若a≠0，則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)．故a的值為0. 13